期末专题复习“终极压轴版”-2022-2023学年八年级数学下册典型例题系列（华东师大版）

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【高频考题1】分式。
1．（2021春·四川内江·八年级统考期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】A. ,不是分式，是整式；
B. ，分母没字母，不是分式，是整式；
C. ，是分式；
D. ，是整式，不是分式.
故选：C
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．（2022春·四川内江·八年级统考期末）下列各式中：，分式有____个 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：根据分式的定义，，，的分母中均含有字母，因此它们是分式．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
【高频考题2】分式的解。
3．（2022春·四川内江·八年级统考期末）已知关于x的分式方程无解，则所有符合条件的m值的和为（ ）
A．1B．2C．6D．7
【答案】D
【分析】根据分式方程无解，可得关于m的方程，根据解方程，求出m的值即可得答案．
【详解】解：
方程两边都乘以（x-2）（x-6），得，mx+2（x-6）=3（x-2），
解得x=．
因为方程无解，
所以m-1=0或，
解得m=1或4或2
所以，所有符合条件的m值的和为1+4+2=7
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，把分式方程的解代入整式方程是解题关键．
4．（2020春·四川内江·八年级统考期末）若关于x的方程1的解为正数，则所有符合条件的正整数a的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解确定出a的范围即可得到结论．
【详解】1
去分母得：2x+a﹣6=x﹣2，
解得：x=4﹣a，
由分式方程有正数解，得到4﹣a＞0，且4﹣a≠2，
解得：a＜4且a≠2，
∴所有符合条件的正整数a的个数为1，3．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练分式方程的解法是解本题的关键．
【高频考题3】科学计数法。
5．（2021春·四川内江·八年级统考期末）成人每天维生素D的摄入量约为0.00000046克，将数据0.00000046用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000046=4.6×10-7．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（2022春·四川内江·八年级统考期末）北斗三号系统产生的时间基准可达到300万年误差1秒，创造了卫星授时的“中国精度”．北斗卫星授时精度为，这个精度以s为单位表示为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将10乘以对应的进率即可得到答案．
【详解】解：10ns=s，
故选：C．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，正确掌握同底数幂的计算法则及单位的换算进率是解题的关键．
【高频考题4】分式的基本性质。
7．（2022春·四川内江·八年级统考期末）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的4倍，现么该分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的D．缩小为原来的
【答案】D
【分析】根据分式的性质可得＝＝•，即可求解．
【详解】解：x，y同时扩大为原来的4倍，
则有＝＝•，
∴该分式的值是原分式值的，
故答案为D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为０），不可遗漏是解答本题的关键．
8．（2023秋·四川广元·八年级统考期末）若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．不变C．缩小D．缩小
【答案】C
【分析】根据题意，分式中的和都扩大2倍，则；
【详解】解：由题意，分式中的和都扩大2倍，
∴；
分式的值是原分式的，即缩小；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【高频考题5】分式有意义。
9．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件计算即可．
【详解】分式有意义的条件是，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零是解题的关键．
10．（2022秋·四川广安·八年级统考期末）若分式有意义，则的值不可以取（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：分式有意义，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键．
【高频考题6】函数与生活实际问题。
11．（2019秋·四川内江·八年级统考期末）近一个月来我市遭受暴雨袭击，沱江水位上涨．小明以警戒水位为0点，用折线统计图表示某一天江水水位情况，请你结合折线统计图判断下列叙述不正确的是（ ）
A．8时水位最高B．8时到16时水位都在下降
C．这一天水位均高于警戒水位D．P点表示12时水位高于警戒水位0.6米
【答案】B
【分析】分析折线统计图表示每段时间中水位的高低，根据图形即可作出判断．
【详解】由折线统计图可知：8时水位为1.0米，是最高的；
从图中可以看出，在这一天中所有的水位都在0点以上，所以这一天水位均高于警戒水位；
8时到12时水位在下降，而12时到16时水位保持不变；
P点表示12时水位为0.6米，又知以警戒水位为0点，则P点表示12时水位高于警戒水位0.6米；
故选B．
【点睛】本题考查的是折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
12．（2022春·四川内江·八年级统考期末）小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷，图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y（米）与爬山所用时间x（分）的关系（从小强开始爬山时计时），根据图象，下列说法错误的是（ ）
A．在爷爷上山80米后，小强开始追赶B．小强在2分钟后追上爷爷
C．爷爷早锻炼到山顶一共用了8分钟D．小强的速度是爷爷的速度的2倍
【答案】C
【分析】由图象可知在爷爷先上了80米后，小强开始追赶；由图象，两条线段的交点即为小强追上爷爷所用的时间；由y轴纵坐标可知，山顶离地面的高度，又有爷爷的速度，可求爷爷所用的时间；利用路程÷时间＝速度，即可求出速度的关系．
【详解】A.由图象可知小强让爷爷先上了80米，故A正确，不符合题意；
B.小强用2分钟追上，故B正确，不符合题意；
C.爷爷速度为：（400−80）÷8＝40（米/分钟），
爷爷早锻炼到山顶一共用了：80÷40＋8＝10（分钟），故C错误，符合题意；
D.小强速度为：400÷5＝80（米/分钟），
爷爷速度为：（400−80）÷8＝40（米/分钟），
80÷40＝2，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是弄清横纵坐标代表的量，能够看懂一些简单的图形．
13．（2022春·四川达州·七年级统考期末）朱师傅从家骑单车到学校，当他骑行一段时间后，想到去商店买材料，于是又折回到刚刚经过的商店，购买完材料后朱师傅继续骑行前往学校．以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中的信息回答下列问题．下列说法错误的是（ ）
A．朱师傅家到学校的路程是1600米
B．朱师傅在商店停留了4分钟
C．本次上学途中，朱师傅一共行驶了2280米
D．若骑单车的速度大于300米/分就有安全隐患，在整个去学校的途中，朱师傅骑车有6分钟的超速骑行，存在安全隐患
【答案】C
【分析】A．根据函数图象的纵坐标，可得答案；
B．根据函数图象的横坐标，可得到达商店时间，离开商店时间，根据有理数的减法，可得答案；
C．根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
D．根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．
【详解】解：A．根据图象可得，朱师傅家到学校的路程是1600米，故本选项不合题意；
B．根据题意，朱师傅在商店停留了10−6＝4（分钟）；故本选项不合题意；
C．一共行驶的总路程＝960＋（960−320）＋（1600−320）＝960＋640＋1280＝2880（米）；故本选项符合题意；
D．由图象可知：0～4分钟时，平均速度＝＝240（米/分），
4～6分钟时，平均速度＝＝320（米/分），
10～14分钟时，平均速度＝＝320（米/分），
所以朱师傅骑车有6分钟的超速骑行，存在安全隐患．故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．
14．（2022春·四川宜宾·八年级统考期末）某星期一上午，小强和小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后，两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（ ）
A．小强从家到公共汽车站步行了2公里B．小强乘坐公共汽车的路程为17公里C．公共汽车的平均速度是15公里/小时D．小强乘公共汽车用了20分钟
【答案】A
【分析】根据图象可以确定小强离公共汽车站2公里；乘坐公共汽车的路程；乘公交车运行的时间和对应的路程，然后确定小强的速度．
【详解】解：A、依题意得小强从家到公共汽车站步行了2公里，故选项正确，符合题意；
B、小强乘坐公共汽车的路程为（17-2）=15公里，故选项错误，不符合题意；
C、公共汽车的速度为15÷=30公里/小时，故选项错误，不符合题意；
D、小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，故选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，同时需注意计算单位的统一．
【高频考题7】反比例函数增减性。
15．（2022春·四川内江·八年级统考期末），是反比例函数的图象上的两点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据函数的增减性，结合，即可得到答案．
【详解】解：反比例函数中的，
该双曲线在第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
∵当时，，
点，，，是反比例函数的图象上的两点，且，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性，是解答此题的关键．
16．（2020春·四川内江·八年级统考期末）若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3
【答案】B
【分析】依据反比例函数图象及性质可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到x1、x2、x3的大小关系．
【详解】解：∵反比例函数为y＝﹣中的﹣（k2+1）＜0，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）
∴点A位于第二象限，点B、C位于第四象限，-2＞-3
∴x1＜0，x2＞x3＞0,
∴x1＜x3＜x2
故选：B．
【点睛】此题考查的是反比例函数的增减性的应用，掌握反比例函数的增减性与比例系数的关系是解决此题的关键．
17．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）在反比例函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据反比例函数的解析式中，判断出函数图像所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图像位于第二、四象限，
∵，位于第二象限，且，
∴，
∵位于第四象象，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键在于通过判断以确定函数图像所在的象限及增减性．
18．（2020秋·四川达州·九年级校考期末）已知点，，都在反比例函数的图象上则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数，k＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴函数的图像位于第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．
【高频考题8】函数图像综合。
19．（2020春·四川内江·八年级统考期末）在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与（k≠0）的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，
②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
20．（2021春·四川内江·八年级统考期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数与反比例函数图像与系数的关系，对选项逐个判断即可求解．
【详解】解：A：反比例函数图像经过一、三象限，，
∴
∴经过一、二、四象限，选项正确，符合题意；
B：反比例函数图像经过一、三象限，，
∴
∴经过一、二、四象限，选项错误，不符合题意；
C：反比例函数图像经过二、四象限，，
∴
∴经过一、三、四象限，选项错误，不符合题意；
D：反比例函数图像经过二、四象限，，
∴
∴经过一、三、四象限，选项错误，不符合题意；
故答案为A．
【点睛】此题主要考查了一次函数、反比例函数图像与系数的关系，熟练掌握一次函数、反比例函数图像与系数的关系是解题的关键．
21．（2016春·四川内江·八年级统考期末）关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝ (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：当k＞0时，函数y=的图像在一三象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过一二三象限，所以选项A、C错误；当k＜0时，函数y=的图像在二四象限，函数y=k（x+1）=kx+k的图像经过二三四象限，所以选项B错误，选项D正确，故选D.
考点：1.一次函数图像；2.反比例函数的图像.
22．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数与y轴的正半轴相交，即可排除C、D两项，再根据一次函数和反比例函数中的系数k的符号即可作答．
【详解】当时，，
即一次函数与y轴的正半轴相交，交点为：，故C、D两项错误，不符合题意，
A项，由一次函数的图象经过一、二、三象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，故A项正确，符合题意；
B项，由一次函数的图象经过一、二、四象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，二者矛盾，故B项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．
【高频考题9】坐标与象限。
23．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据每个象限内点的坐标特点进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴点在第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
24．（2022春·四川内江·八年级统考期末）点，在第一象限，则点，在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】直接利用点，1）在第一象限得出ab＞0，a≠0，即可得出点B所在象限．
【详解】解：∵点，在第一象限，
∴＞0，
∴ab＞0，a≠0，
∴＜0，
则点B（，ab）在第二象限．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键．
25．（2020春·四川内江·八年级统考期末）若点位于第一象限，则点在( )
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【答案】C
【分析】由点P（a，b）在第一象限，可确定a、b的取值范围，从而可得-b的符号，即可得出点Q所在的象限．
【详解】∵点P（a，b）位于第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴-b＜0，
∴点P（-b，a）在第二象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
26．（2021秋·四川达州·八年级校考期末）点P在平面直角坐标系的第二象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0）B．C．D．
【答案】B
【分析】第二象限中横坐标为负，纵坐标为正，到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，进而可表示出点坐标．
【详解】解：由题意知点的横坐标为，纵坐标为1
∴点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系中的点坐标．解题的关键在于确定横、纵坐标的值．
27．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）已知点 和点关于轴对称，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．49
【答案】A
【分析】直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数），得出的值，进而得出答案．
【详解】∵点和点关于轴对称，
∴，
∴，
则，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的性质，正确得出的值是解题的关键．
【高频考题10】四种数的理解。
28．（2021春·四川内江·八年级统考期末）有15名学生参加学校举办的“最强大脑”智力竞赛，比赛结束后根据每个学生的成绩计算平均数、中位数、众数、方差，若去掉一个最高分，一个最低分，则一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】B
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响．
故选：B．
【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义．
29．（2020春·四川内江·八年级统考期末）小欣同学对数据28，2■，48，50，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染看不到了，则分析结果与被污染数字无关的是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
【答案】C
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断，即可得出答案．
【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而由“2■”可知这个数据在20-29之间，因此这组数据的中位数为48，与被涂污数字无关．
故选：C．
【点睛】本题考查平均数、中位数、方差和众数，正确理解平均数、中位数、方差和众数各自的意义是解题的关键.
【高频考题11】分式为0的条件。
30．（2022春·四川内江·八年级统考期末）若分式的值为0，则______________．
【答案】
【分析】根据分式等于零的条件求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟知分式为零的条件为且是解答的关键．
31．（2022秋·四川泸州·八年级统考期末）若分式的值为0，则______．
【答案】
【分析】根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件．熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，是解题的关键．
【高频考题12】大题第一道：计算与化简。
32．（2022春·四川内江·八年级统考期末）计算或化简：
(1)；
(2)先化简：，然后从－1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】(1)
(2)当a=1时，原式=-4或当a=0时，原式=-6．
【分析】（1）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可得到答案；
（2）小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可．
(1)
=
=；
(2)
∵a=-1或a=3时，原式无意义，
∴a只能取1或0，
当a=1时，原式=2-6=-4．（当a=0时，原式=-6．）
【点睛】本题考查了分式的化简求值，把整式看成分母是1的分数，进行通分是解题的关键．同时也考查了零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的代数意义等知识．
33．（2019春·四川内江·八年级统考期末）（1）计算：（-1）2019-|-4|+（3.14-π）0+（）-1
（2）先化简，再求值：（1-）÷，再从-1，0，1和2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】（1）-1；（2）x=-1时，原式=．
【分析】（1）根据绝对值．零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-1，0，1和2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1）（-1）2019-|-4|+（3.14-π）0+（）-1
=（-1）-4+1+3
=-1；
（2）（1-）÷
=
=
=，
当x=-1时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值．零指数幂和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
【高频考题13】大题第二道：分式与函数实际应用题。
34．（2022春·四川内江·八年级统考期末）某商店进货A、B两种冬奥会纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价；
(2)若每件A种纪念品在进价的基础上提高20元销售，每件B种纪念品在进价的基础上提高10元销售，用1万元进货，且A种纪念品不少于100件，则这批货销售完，最高利润是多少？
【答案】(1)A种纪念品每件的进价为50元，B种纪念品每件的进价为20元
(2)最高利润是4500元
【分析】（1）设购进A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x﹣30）元，由题意：用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，设利润为y元，求出y关于m的一次函数，即可解决问题．
【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x﹣30）元，
根据题意得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
则x﹣30=50﹣30=20，
答：A种纪念品每件的进价为50元，B种纪念品每件的进价为20元；
（2）解：设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，
设利润为y元，
则y＝=20m10=﹣5m+5000，
即y=﹣5m+5000（m≥100），
∵﹣5＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m=100时，y的最大值=﹣5×100+5000=4500，
答：最高利润是4500元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
35．（2020春·四川内江·八年级统考期末）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某实验中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）（0≤m≤60）；（3）当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．
【分析】（1）设篮球每个x元，则每个足球元，再根据“购买篮球的个数比足球的个数少2个”的等量关系列分式方程解答即可；
（2）由购买足球m个，则购买篮球60-m个，然后根据篮球、足球的单价以及数量与总费用的关系即可解答；
（3）根据“学校计划总费用不多于5200元”和“篮球数量不能低于15个”确定出m的范围，再结合购买足球个数m与总费用w的关系式即可求解．
【详解】解：（1）设篮球每个x元，足球每个元，由题意得：
解得：
经检验：是原分式方程的解且符合题意
足球的单价为：（元）
答：篮球每个100元，足球每个80元；
（2）如果购买足球m个，则购买篮球60-m个
由题意得：
∴w与m的函数关系式为：（0≤m≤60）；
（3）根据题意得：
解得：
由（2）得：
∵
∴w随m的增大而减小
∴当时，w最小为5100元．
答：当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的增减性以及一元一次方程组的应用，正确列出分式方程并求解是解答本题的关键．
36．（2021春·四川内江·八年级统考期末）为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．
（1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】（1）甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；（2）购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元
【分析】（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，利用“用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍”列方程求解即可；
（2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，结合题目条件得到y的范围，并列出利润关于y的一次函数，运用一次函数的性质结合y范围即可求解．
【详解】解：（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，
由题意，得，
方程两边乘，得，
解得，
检验，当时，，
所以，原分式方程的解为．
故甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元．
（2）设该商场购进甲品牌T恤衫y件，则购进乙品牌T恤衫（100-y）件，
∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，
∴．
∴．
由题意，利润=-20y+4000，
∵，
∴W随y的增大而减小，
∴当时，W的最大值为元，
∴获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，且最大利润是2400元．
【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式、一次函数在实际问题中的应用.熟练运用一次函数的性质确定最大利润方案是解决本题的关键．
【高频考题14】大题第三道：一次函数与反比例函数综合。
37．（2015春·四川内江·八年级统考期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
(1)求这两个函数的关系式；
(2)观察图象，直接写出使得成立的自变量的取值范围；
(3)如果点与点关于轴对称，求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)12
【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可求出k值，根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当反比例函数图像在一次函数图象上方时，，结合两个交点的横坐标即可求解；
（3）求出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，
反比例函数的解析式为，
又点在上，
，
解得，
点B的坐标为，
点A和点B在一次函数上，
，
解得，
一次函数的解析式为，
综上可得，．
（2）解：时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
观察图象可知，当或时，．
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接AC，作于点D，
点A的坐标为，
点C的坐标为，
又点B的坐标为，
，，
的面积．
【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，以及求三角形的面积，其中第2问用到了数形结合的思想，第3问用到了求坐标系内两点之间的距离，都是常考题型，需要多加练习．
38．（2021春·四川内江·八年级统考期末）一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，直线交轴于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）观察图像，直接写出不等式的解集；
（3）过点作轴，垂足为，连接交轴于点，求的面积．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数可得m的值，即确定反比例函数的解析式；再把B（2，n）代入反比例函数的解析式得到n的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由图象函数交点即可求解；
（3）先由BC⊥y轴，垂足为C以及B点坐标确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，然后计算得出△AED的面积S．
【详解】解：（1）把代入反比例函数，
得：，
所以反比例函数的解析式为，
把代入，
得：，
解得：，
所以点坐标为，
把和代入一次函数，得：
，
解得，
所以一次函数的解析式为；
（2）由图象可以看出不等式的解集为：或；
（3）∵轴，垂足为，，
∴点坐标为．
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴点坐标为，
∵直线的解析式为，
∴直线与轴交点的坐标为（1，0），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键．
39．（2020春·四川内江·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C，D两点，交反比例函数的图象交于A（，4），B（3，m）两点．
（1）求直线CD的表达式；
（2）请你根据图象直接写出不等式的解集；
（3）点E是线段OD上一点，若，求点E的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）先把A点坐标代入求出n得到反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定B（3，2），然后利用待定系数法求直线CD的解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）设E（0，t），先确定D（0，6），再利用三角形面积公式，利用面积和差列方程×（6−t）×3−×（6−t）×＝，然后解方程求出t即可得到E点坐标．
【详解】（1）把A（，4）代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为：，
把B（3，m）代入得：，
∴B（3，2），
把A（，4），B（3，2）代入得： ，
解得：，
∴直线CD的表达式为：；
（2）由图象可知：当或时，，
∴不等式的解集为：或；
（3）设E（0，t），当时，，则D（0，6），
∵，
∴，
解得：，
∴E点坐标为（1，0）
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求反比例函数解析式．
40．（2019春·四川内江·八年级统考期末）如图，已知一次函数y1＝ax+b的图象与x轴、y轴分别交于点D、C，与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，且点A的坐标是（1，3）、点B的坐标是（3，m）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求C、D两点的坐标，并求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出：当x在什么取值范围时，y1＞y2？
【答案】（1）y2＝，y1＝﹣x+4；（2）4；（3）当 x 满足 1＜x＜3 、x＜0时，则 y1＞y2．
【分析】（1）把点A（1，3）代入y2＝，求出k，得到反比例函数的解析式；再把B（3，m）代入反比例函数的解析式，求出m，得到点B的坐标，把A、B两点的坐标代入y1=ax+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）把x=0代入一次函数解析式，求出y1=4，得到C点的坐标，把y1=0代入一次函数解析式，求出x=4，得到D点坐标，再根据S△AOB=S△AOD-S△BOD，列式计算即可；
（3）找出一次函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可．
【详解】解：（1）把点A（1，3）代入y2＝，则3＝，即k＝3，
故反比例函数的解析式为：y2＝．
把点B的坐标是（3，m）代入y2＝，得：m＝＝1，
∴点B的坐标是（3，1）．
把A（1，3），B（3，1）代入y1＝ax+b，
得，解得，故一次函数的解析式为：y1＝﹣x+4；
（2）令x＝0，则y1＝4；令y1＝0，则x＝4，
∴C（0，4）， D（4，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝×4×3﹣×4×1＝4；
（3）由图像可知x＜0、1＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，故满足y1＞y2条件的自变量的取值范围： 1＜x＜3 、x＜0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．利用了数形结合思想．
【高频考题15】大题第四道：三种图形的证明与性质应用。
41．（2022春·四川内江·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
（2）证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
42．（2016春·四川内江·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足分别为，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先由平行四边形的性质得，，则，再证，得，即可得出结论．
【详解】解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练正确平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
43．（2020春·四川内江·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形EBFD是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据条件，由ASA即可得出△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF（全等三角形对应边相等），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD+AE＝BC+CF，
即DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
44．（2021春·四川内江·八年级统考期末）在平行四边形中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作平行四边形．
（1）如图1，求证：平行四边形为菱形；
（2）如图2，若，是的中点，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再由条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）连接BM，MC ，首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形．
（2）如图2，连接，，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，，
∴四边形为正方形．
∵，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，掌握以上知识点是解题的关键．
45．（2022秋·四川巴中·九年级校考期末）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；
（2）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是解答本题的关键．
46．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，，且平分，过点C作CE⊥AB交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据证明，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定及菱形的判定可得出结论；
（2）由勾股定理求出，根据菱形的面积可求出的长，根据三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
47．（2021春·四川内江·八年级统考期末）如图，在中，点，分别是，上的点，且，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得//，根据，可得//，证明，可得，进而证明四边形HFGE是平行四边形．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
//，
，
，
，
//，
在和中，
，
，
，
四边形HFGE是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解得关键．
【高频考题16】大题第五道：数据分析与统计应用。
48．（2022春·四川内江·八年级统考期末）2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x