广东省广州市2024年中考模拟数学试卷（解析版）

这是一份广东省广州市2024年中考模拟数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. 0B. 3C. D.
【答案】C
【解析】，，即选项中最小的数是，
故选：C．
2. 苏步青是国际公认的几何学家，中国著名教育家，中国科学院院士，是我国微分几何学派的创始人．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】数据用科学记数法表示为，
故选：B．
3. 九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况，
∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=．
故答案为：．
4. 若，则的值为（ ）
A. 8B. 12C. 24D. 48
【答案】A
【解析】，
故，
故选A．
5. 在平面直角坐标系中，已知，则点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】，，
解得：，
位于第二象限，
故选：B．
6. 下列几何体均是由若干个大小相同的小正方体搭建而成的，其三视图都相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选项A的三视图为，三视图不相同，故该选项不符合题意；
选项B的三视图为，三视图不相同，故该选项不符合题意；
选项C的三视图为，三视图不相同，故该选项不符合题意；
选项C的三视图为，三视图相同，故该选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，、是的切线，B、C为切点，D是上一点，连接、，若，，则的半径长为（ ）
A 1.5B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，
∵是的切线，B、C为切点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径长为，
故选：D．
8. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（ ）
A B. 3C. D. －3
【答案】B
【解析】∵，
∴，即，
∴，即，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴．
故选：B．
9. 我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，，，
，
∴b边上的高为，
故选：A．
10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，即，
由题意，，即，
又方程的根为，
解得，
故函数是，
∴函数图象开口向下，顶点为，
与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过，
由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
且当时，函数的最小值为，最大值为，
∴，故选：C．
．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11. 已知二元一次方程组，则的值为__________．
【答案】4
【解析】对于方程组，
①②得：．
故答案为：4．
12. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】由题意得：平移后的抛物线的解析式为：，
顶点坐标为，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，．是边上一点，且，连接，以点为圆心， 的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】过点D作于点G，如图所示：
，，，
∴，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴和关于对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案：．
14. 若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是______．
【答案】
【解析】∵关于x的方程的两根，满足，
∴，
∴，或，
∵，
∴，
∴，
∵二次函数，
∴对称轴为直线，顶点为，图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵在对称轴的左侧，，
∴当时，点距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，
∴,
∴，
∴顶点纵坐标的最大值是．
故答案为：．
15. 已知实数a，b满足，，则的值为______．
【答案】497
【解析】，，
，
．
故答案为：497．
16. 如图所示，四边形是平行四边形，其中，垂足为，若，，，则 ______ ．
【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，在中，，，，点O是边的中点，点P是边上一动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为______．
【答案】或3
【解析】∵，∴，
∵点O是边的中点，∴，
当时，如图1，过P点作于E点，于F点，
在中，
∵，
∴，
∵线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴；
当时，如图2，过P点作于E点，
在中，
∵，
∴，
∵线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，
∴ ，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
综上所述，的长为或3．
故答案为：或3．
三、解答题（一）：本答题共3小题，每小题6分，共18分．
18. 解不等式组：．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：.
19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．嘉嘉、淇淇的三项测试成绩和总评成绩如下表．
（1）在摄影测试中，七位评委给淇淇打出的分数为：67，72，68，69，74，69，71，这组数据的中位数是 分，平均数是 分；
（2）报名的20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图，学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者，试分析嘉嘉、淇淇能否入选．
解：（1）将从小到大排序，67，68，69，69，71，72，74，
处于中间位置的是69，故中位数是69，
平均数为．
故答案为：69，70．
（2）结论：淇淇能入选，嘉嘉不一定能入选，理由如下：
淇淇总评成绩，
由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小于80分的学生有6名．
淇淇和嘉嘉的总评成绩分别是82分，78分，
学校要选拔12名小记者，淇淇的成绩在前12名，因此淇淇一定能入选；
嘉嘉的成绩不一定在前12名，因此嘉嘉不一定能入选．
20. 如图，在中，，，过点B作于点E，与交于点F，于点D，，．
（1）求证：；
（2）求的面积．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴
∴，即是的平分线．
∵，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可知，，又，
∴，
∴，
设，则，
∴由勾股定理可得：
，即，
解得：，
∴.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
21. 如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标分别为和．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标．
解：（1）把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）把代入得：，
即点的坐标为：，
把代入，
得，
解得：，
∴，
，
，
，
，
∴，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
22. “端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元，45元，这个超市用4300元购进甲、乙两款粽子共100袋
（1）购进甲、乙两款粽子各是多少袋？
（2）市场调查发现：乙款粽子每天的销售量m(袋)与销售单价n(元)满足如下关系：，设乙款粽子每天的销售利润是w元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设购进甲、乙两款粽子各是袋，袋，
根据题意得：，解得：，
答：购进甲、乙两款粽子各是20袋，80袋．
（2），
∴对称轴为，
∵抛物线开口向下，
∴当元时，最大（元）
答：当乙款粽子的销售单价是75元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是900元．
23. 如图，四边形是边长为16的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，求的长．
解：设，
连接，，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
在中，，
在中，，
由折叠的性质得：，
，
即，
解得：，
即．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
24. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
（1）求证：；
（2）求：经过多少秒四边形是矩形；
（3）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，并求出此时四边形的面积；如果不能，说明理由．
（1）证明：在中，，，，
．
又，
；
（2）时，四边形为矩形．
在中，，
．即，
．
答：经过秒四边形是矩形；
（3）能；理由如下：
，，
∴．
又，
四边形为平行四边形．
，，
，
，
若平行四边形为菱形，则，
，
；
当时，四边形能够成为菱形．
此时，，
，
此时四边形的面积．
25. 已知抛物线的顶点在第一象限．
（1）如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．
①求A，B两点坐标；
②D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点D的坐标；
（2）如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值．
解：（1）当时，抛物线的解析式为，
①当时，，解得，，
∴，．
②连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，如图所示：
由题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴点E为的中点，由，，点E的坐标为，
求得的解析式为，
由，得，
解得，（舍去），
∴点D为；
（2）过点N作轴，垂足为H，
∵P是抛物线对称轴与x轴的交点，
∴，
∵T是x轴负半轴上一点，
∴设．
∵，且，
∴，，
两式相加，得，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
整理为关于m的方程为，
由题意，得，
解得，
此时关于m的方程的两根之和，
当时，m必有正根，
∴的最大值是．选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
嘉嘉
83
72
80
78
淇淇
86
84
▲
▲