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广西壮族自治区河池市2024年中考三模数学试卷（解析版）
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这是一份广西壮族自治区河池市2024年中考三模数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个数，0，1，中，最小的数是（ ）
A B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】，最小的数是，
故选：D.
2. 下列几何图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3. 关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A. B. 0C. 2D. 8
【答案】C
【解析】：依题意，解得：，
故选：C．
4. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴不一定成立，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D符合题意；
故选D．
5. 为能表示成绩优秀、良好、合格的人数占班级人数的百分比，小明应选择的统计图是（ ）
A. 条形统计图B. 扇形统计图
C. 复式折线图D. 折线统计图
【答案】B
【解析】小明应选择扇形统计图，表示成绩优秀、良好、合格的人数占班级人数的百分比．
故选：B．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项符合题意．
故选：D．
7. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是的内接四边形，，
∴；
故选：D．
8. 射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩（单位：环）的中位数为（ ）
A. 2B. 8C. 8.5D. 9
【答案】D
【解析】由题意可得：该队员10次射击成绩（单位：环）为：，第5与第6个数据都是9，所以中位数是：9．
故选D．
9. 二次函数的的最大值是（ ）
A. 7B. C. 2D.
【答案】A
【解析】，
∴函数有最大值7．
故选A．
10. 如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．其中点B，C，D，E，处的读数分别为8、16、、，已知直尺宽为3，则中边上的高为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】于H，交DE于F，
点B，C，D，E，处的读数分别为8、16、、，
，，
，，，
直尺宽为3，，，
，
中边上的高为6，
故选：D.
11. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有人，辆车，根据题意列出的方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设有人，辆车，根据题意得，
故选：A．
12. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为，
∵圆锥的底面圆周长为cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm，
由题意得：，解得：，
则，解得，即扇形圆心角为，
故答案为：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 写出一个系数为5，次数为3的单项式是____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，这个单项式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
14. 因式分解：______．
【答案】
【解析】．
15. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里鱼的条数为 _________条．
【答案】2000
【解析】由题意，得：（条），故答案为：2000．
16. 以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转90°后得点B，则B的坐标是_________．
【答案】（-5，4）
【解析】如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵A（4，5），
∴OC=4，AC=5，
∵把点A（4，5）逆时针旋转90°得到点B，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
在△AOC和△OBD中，，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OD=AC=5，BD=OC=4，
∴B（-5，4），
故答案为：（-5，4）．
17. 如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是____（结果保留根号）．
解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴（平方米），
故答案为：．
18. 如图，在中，于点是的中点，G是的中点，连接．若，，则的长是____．
【答案】5
【解析】连接，相交于点O，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是直角三角形，
∴，
故答案：5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
解：原式．
20. 用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务：
填空：
①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ；
②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ；
③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程．
解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质二进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律，
故答案为：等式的基本性质二，乘法分配律；
②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时没有变号（移项时未变号），
故答案为：三，移项时没有变号（移项时未变号）；
③ 第三步，
第四步，
第五步．
21. 如图，平分，且交于点C．
（1）作的平分线交于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形．
（1）解：如图，射线为所求；
（2）证明：∵，
平分，．
，，
同理可证，．
又，四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
22. 已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人；
（3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率．
解：（1）本次抽取的学生有：（人），
其中选择的学生有：（人），
补全的条形统计图如图所示；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：，
该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去基地大约有：（人），
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种，
两校恰好选取同一个基地的概率为．
23. 如图，在中，，D是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：，．
，，．
又，四边形是平行四边形，
．
（2）解：，
．
，，
．
，
，
．
设，则．
，
，
解得，
．
24. 某电商响应国家号召，发挥电商优势，服务乡村振兴，在网络平台上为某农产品直播带货．已知该产品的进货价为元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元/件时，日销售量为件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为件时，产品售价为 元/件；
（2）求出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式并写出x的取值范围；
（3）该产品的售价每件应定为多少元时，电商每天可盈利元？
解：（1）（元/件），
∴当销售量为件时，产品售价为元/件．
故答案为：；
（2）根据题意得：，
∵该产品的进货价为元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元/件，
∴日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式为；
（3）根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该产品的售价每件应定为元．
25. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
（1）证明：如图，连接，
，
，，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）解：是的直径，且于点M，
，
，，
，
，
，
．
26. 综合与实践
小涛在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围会如何呢？小涛尝试从函数的角度进行探究：
【建立模型】设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长分别为x，y，则，即，那么满足要求的可以看作是函数与的图象在第 象限内的公共点坐标．
【画出图象】
【研究图象】平移直线，观察两函数的图象．
①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，直接写出公共点的坐标及周长m的值．
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围．
【结论运用】求面积为9的矩形的周长m的取值范围．
解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点在第一象限，
故答案为：一；
（2）的图像可以看成是由的图像向上平移个单位长度得到．
故答案为：；
（3）①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，如图，
从图象可以看出，公共点的坐标为
把点代入得：，
解得：，
故答案为：；
②由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，；
（4）当矩形的面积为9，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有
，，
∴，即，
两个函数有交点时，，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象
则的图象可以看成是的图象向上平移 个单位长度得到
1. 下列四个数，0，1，中，最小的数是（ ）
A B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】，最小的数是，
故选：D.
2. 下列几何图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3. 关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A. B. 0C. 2D. 8
【答案】C
【解析】：依题意，解得：，
故选：C．
4. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴不一定成立，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故D符合题意；
故选D．
5. 为能表示成绩优秀、良好、合格的人数占班级人数的百分比，小明应选择的统计图是（ ）
A. 条形统计图B. 扇形统计图
C. 复式折线图D. 折线统计图
【答案】B
【解析】小明应选择扇形统计图，表示成绩优秀、良好、合格的人数占班级人数的百分比．
故选：B．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．，故该选项不符合题意；
B．，故该选项不符合题意；
C．，故该选项不符合题意；
D．，故该选项符合题意．
故选：D．
7. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是的内接四边形，，
∴；
故选：D．
8. 射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员成绩（单位：环）的中位数为（ ）
A. 2B. 8C. 8.5D. 9
【答案】D
【解析】由题意可得：该队员10次射击成绩（单位：环）为：，第5与第6个数据都是9，所以中位数是：9．
故选D．
9. 二次函数的的最大值是（ ）
A. 7B. C. 2D.
【答案】A
【解析】，
∴函数有最大值7．
故选A．
10. 如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点D，E．其中点B，C，D，E，处的读数分别为8、16、、，已知直尺宽为3，则中边上的高为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】于H，交DE于F，
点B，C，D，E，处的读数分别为8、16、、，
，，
，，，
直尺宽为3，，，
，
中边上的高为6，
故选：D.
11. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载了“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，空2辆车；每2人共乘一车，9人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设有人，辆车，根据题意列出的方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设有人，辆车，根据题意得，
故选：A．
12. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆锥的母线长为cm，扇形的圆心角为，
∵圆锥的底面圆周长为cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为cm，
由题意得：，解得：，
则，解得，即扇形圆心角为，
故答案为：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 写出一个系数为5，次数为3的单项式是____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，这个单项式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
14. 因式分解：______．
【答案】
【解析】．
15. 为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里鱼的条数为 _________条．
【答案】2000
【解析】由题意，得：（条），故答案为：2000．
16. 以原点为中心，把点A(4，5)逆时针旋转90°后得点B，则B的坐标是_________．
【答案】（-5，4）
【解析】如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵A（4，5），
∴OC=4，AC=5，
∵把点A（4，5）逆时针旋转90°得到点B，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
在△AOC和△OBD中，，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OD=AC=5，BD=OC=4，
∴B（-5，4），
故答案为：（-5，4）．
17. 如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是____（结果保留根号）．
解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴（平方米），
故答案为：．
18. 如图，在中，于点是的中点，G是的中点，连接．若，，则的长是____．
【答案】5
【解析】连接，相交于点O，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是直角三角形，
∴，
故答案：5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
解：原式．
20. 用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务：
填空：
①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ；
②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ；
③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程．
解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质二进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律，
故答案为：等式的基本性质二，乘法分配律；
②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时没有变号（移项时未变号），
故答案为：三，移项时没有变号（移项时未变号）；
③ 第三步，
第四步，
第五步．
21. 如图，平分，且交于点C．
（1）作的平分线交于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形．
（1）解：如图，射线为所求；
（2）证明：∵，
平分，．
，，
同理可证，．
又，四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
22. 已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人；
（3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率．
解：（1）本次抽取的学生有：（人），
其中选择的学生有：（人），
补全的条形统计图如图所示；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：，
该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去基地大约有：（人），
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种，
两校恰好选取同一个基地的概率为．
23. 如图，在中，，D是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：，．
，，．
又，四边形是平行四边形，
．
（2）解：，
．
，，
．
，
，
．
设，则．
，
，
解得，
．
24. 某电商响应国家号召，发挥电商优势，服务乡村振兴，在网络平台上为某农产品直播带货．已知该产品的进货价为元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺商品价格永远不会超过元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为元/件时，日销售量为件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
（1）当销售量为件时，产品售价为 元/件；
（2）求出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式并写出x的取值范围；
（3）该产品的售价每件应定为多少元时，电商每天可盈利元？
解：（1）（元/件），
∴当销售量为件时，产品售价为元/件．
故答案为：；
（2）根据题意得：，
∵该产品的进货价为元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元/件，
∴日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式为；
（3）根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该产品的售价每件应定为元．
25. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
（1）证明：如图，连接，
，
，，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）解：是的直径，且于点M，
，
，，
，
，
，
．
26. 综合与实践
小涛在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围会如何呢？小涛尝试从函数的角度进行探究：
【建立模型】设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长分别为x，y，则，即，那么满足要求的可以看作是函数与的图象在第 象限内的公共点坐标．
【画出图象】
【研究图象】平移直线，观察两函数的图象．
①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，直接写出公共点的坐标及周长m的值．
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围．
【结论运用】求面积为9的矩形的周长m的取值范围．
解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点在第一象限，
故答案为：一；
（2）的图像可以看成是由的图像向上平移个单位长度得到．
故答案为：；
（3）①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，如图，
从图象可以看出，公共点的坐标为
把点代入得：，
解得：，
故答案为：；
②由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，；
（4）当矩形的面积为9，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有
，，
∴，即，
两个函数有交点时，，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象
则的图象可以看成是的图象向上平移 个单位长度得到
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