广东省深圳市南山部分学校2024年中考三模数学试卷（解析版）

这是一份广东省深圳市南山部分学校2024年中考三模数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. 3.14B. C. D.
【答案】C
【解析】A、是有限小数，属于有理数，此项不符题意；
B、，是有理数，此项不符题意；
C、是无理数，此项符合题意；
D、是分数，属于有理数，此项不符题意；
故选：C．
2. 铜鼓是我国古代南方少数民族使用的打击乐器和礼器，世界上最重的铜鼓王出土于广西、如图是铜鼓的实物图，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从左边看，可得选项B的图形，
故选：B．
3. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A. 平均数，方差B. 中位数，方差
C. 中位数，众数D. 平均数，众数
【答案】C
【解析】由表格数据可知，成绩为24分、25分的人数为30-3-3-6-7-9=2（人），
成绩为30分的，出现次数最多，因此成绩的众数是30，
成绩从小到大排列后处在第15、16位的两个数都是29分，因此中位数是29，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：C．
4. 如图，已知三角板，，，，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点A的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，，
，
，
当落在边时，，，
是等边三角形，
转动了，
点转过的路径长，
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选A．
6. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
如图所示，，光线在空气中也平行，
，，
∵，
，.
.
故选：C．
7. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D. 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半
【答案】B
【解析】A、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题，本选项符合题意；
C、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
8. 如图，在中，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以点 E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点O；作射线交于点H，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】过H作，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，在 中，cm，，，过点 向作垂线，垂足为．直线垂直于，直线分别与相交于点，直线分别与相交于点P、Q．直线m从点A出发，沿方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n从点B出发，沿方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及围成的多边形的面积是 ，直线m的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】中，，过点 向作垂线，
∴，
∴，
∴，
同理，
∵cm，，
∴，
在中，运用勾股定理得，
∵，∴，
由得：，
当时，，
由，得：，，
∴，
∴
；
当时，
．
∴ ，根据函数解析式判断A选项符合题意，
故选：A．
10. 如图，中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵于D，于E，
∴，
∴，
∴A、D、P、E四点共圆，且直径为，
∵，是定值，所以直径最小时，所对的弦最小，此时，
在中，
∴是等腰直角三角形，，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
则，
∵，
∴，
过D作于M，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
则线段的最小值为
故选：D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解： _____．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有______个．
【答案】
【解析】根据题意知 ，
解得，
经检验，是该分式方程的解，
∴这个袋中白球大约有3个，
故答案为：3．
13. 关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】解得，
关于的分式方程的解为非正数，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
14. 如图，在中，，交x轴于点D，，C点坐标为，点A在双曲线上，则_____．
【答案】
【解析】过作轴，垂足为，
，
，
，，
，
，
；
又轴平分，，
，
，
，，，
设，则，，
，，
，，．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，是边上一点，连接，于点，点在上，连接，，，若，，则的长为__．
【答案】
【解析】如图，作交的延长线于，连接，
，
，
，，
，
∴是等腰直角三角形，
，
在和中，
∵，
∴，、
∴，
如图，延长交于，
∴，，
∴，，，
∴，
如图，作于，
设，则，，，，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. 计算：．
解：原式
．
17. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）中的一种，小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测．
（1）小明检测的溶液变成红色的概率为 ；
（2）用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果，并求小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率．
解：（1）4种溶液中，有2瓶呈碱性，
则检测的溶液变成红色的概率为，
故答案为：；
（2）将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，
其中小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果，
小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率为：．
18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格, 均在格点上．
（1）在图①中，的值为______；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在上找一点，使；
②如图③，在上找一点,使．
解：（1）图1中，
∵AB∥CD，∴，
故答案为．
（2）在网格图中，
①如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵BC∥AD，
∴，
解得：AP=3
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
∴点P即为所要找的点，
19. 去年夏天，全国多地出现了极端高温天气，某商场抓住这一商机，先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空，商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，商店在销售这种太阳伞时，每把定价都是50元，每天可卖出20把．
（1）求两次共购进这种太阳伞多少把；
（2）商场为了加快资金的回笼速度，打算对第二批太阳伞进行降价销售，经市场调查，如果这种太阳伞每把降价1元，则每天可多售出2把，这种太阳伞降价多少元时，才能使商场每天的销售额最大？每天最大的销售额是多少元？
解：（1）设第一次购进x把这种太阳伞，则第二次购进把这种太阳伞．
由题意得，，解得，
经检验是原方程的解，则，
答：两次共购进这种太阳伞600把；
（2）设商场每天的销售额为y元，太阳伞每把降价x元．
由题意得，
化简得：，
当时y有最大值，y最大值，
答：太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元．
20. 如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．

（1）求证：；
（2）若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积．
（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，点D为切点，
∴，
∵，，，
∴，
∴；

（2）解：①∵，∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半圆O的半径为2；
②在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人．
图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况．
定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）．
问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度．
问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示．
问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：）
解：问题一
当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，
，
，
四边形为矩形，米，
，
，
由题可知，米，米，
在中，由勾股定理得米，
则，
在中，，
解得米，即影长为米，
问题二
延长交于点，
，
，即，
中，，则，
，
在中，，
，则，
当点N在点E右侧时，，
则，
当点N在点E左侧时，，
则，
当点N与点E重合时，，即，
综上所述，；
问题三
过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，
当时，都为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
由题可知：，
，
当时，解得：，
即．
22. 【问题呈现】
（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系 ．
【类比探究】
（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．
【实际应用】
（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系，并证明此结论．
解：（1）∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵以为边作等边，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）（1）中的结论改变，，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，E是的中点，
∴，，
∴，
如图③，将绕点D逆时针旋转得到，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵厘米，厘米，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．成绩
24
25
26
27
28
29
30
人数
■
■
3
3
6
7
9