吉林省“BEST合作体”2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份吉林省“BEST合作体”2022-2023学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分，1-8题为单选，9-12题为多选，少选得2分，错选或不选得0分，）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
，
则
故选：A
2. 命题“”，命题“”，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】对于命题，，得，
可以推出，但是不能推出，
p是q的充分不必要条件.
故选：A.
3. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】因，两边取对数得：，
令，则，而，于是得，即，
所以.
故选：B
4. 已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】抛物线：的焦点，依题意，，
则，
当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，
所以的最大值为.
故选：A
5. 李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种加油方案：
方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油200元；
方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油30升.
李先生下个月采用哪种方案比较经济划算?（ ）
A. 方案一B. 方案二
C. 一样划算D. 不能确定
【答案】A
【解析】设第一次油价为，第二次油价为，，，
方案一的平均油价为：；
方案二的平均油价为：.
则，故.
故选：A.
6. 已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性不妨设点在第一象限，设双曲线的右焦点为F，
因为为顶角为的等腰三角形，所以，，
则，所以，，
则点的坐标为，
代入双曲线方程得，化简得，
所以双曲线的离心率.
故选：D
7. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
故选：A
8. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】构造函数，
则，
所以在上单调递增，则，
故，
构建，则，在上恒成立，
故在上单调递减，则，
∴，
所以，即，
所以，故，
综上，，
故选：C
9. 某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得，经查阅临界值表知，则下列判断错误的是（ ）
A. 每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B. 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
C. 有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”
【答案】ABD
【解析】每100个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，已知数据不能确定结论，故A错误；
若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，故B错误；
由以及可知，有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关，
即在犯错误率不超过前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C正确，D错误.
故选：ABD
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 命题：“”的否定是“”
B. 函数（且）恒过定点
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 函数值域是，则实数m的范围是
【答案】BCD
【解析】A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知：“”的否定是“”，故A错误；
B选项，因为，由，可得恒过定点，故B正确；
C选项，函数的定义域为，，
所以的定义域为，所以，即函数 的定义域为，故C正确；
D选项，函数的值域是，当时，的值域为，符合题意，
当时，则，解得；
综上所述，的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；
的取值为，，，
，，，可知A错；
的取值为，且，，，，，
则，，所以，故C错；
的取值为，且，，，，，
所以，故D正确；
故选：BD.
12. 定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（ ）
A. 是周期为2的函数B. 为偶函数
C. D. 的值域为
【答案】BC
【解析】因为，所以，
在时，，
所以，所以，故在上单调递减．
因为为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，即；
又，所以函数关于直线对称，
所以在单调递增，且，
则，，
可得，是周期为的周期函数，A不正确．
因为，，结合草图可知
，C正确．
对于定义域内任一个，结合周期性可得，故为偶函数，B正确
而的函数最值无法确定，故D错误．
故选：BC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）
13. 已知等差数列的前项和为，且，，则______．
【答案】5
【解析】因为，则，又，所以，
则，所以.
故答案为：
14. 的展开式中，的系数为______．
【答案】
【解析】可以看作5个盒子，每个盒子中有三个元素，
现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，
所以展开式中含的项为
，
所以的系数为.
故答案为：
15. 已知，，且，则的最大值是_____.
【答案】4
【解析】因为，，所以由基本不等式得,
所以，得，所以，
当且仅当即，时取等号,所以的最大值是4,
故答案为：4
16. 在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法，例如：47可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用8根小木棍的概率为__________.
【答案】
【解析】至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况，
用5根小木棍为1、2、6这一种情况的全排列，
6根有123，127，163，167这四种情况的全排列，
7根有124，128，164，168，137，267，263这七种情况的全排列，
用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有种，
表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有种情况
故至少要用8根小木根的概率为.故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，计70分）
17. 在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
（1）求，，
（2）若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
解：（1）方法一：
由题意可得：，
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，
因为，，
所以，
故．
方法二：，
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，
故．
（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
X的分布列：
X的数学期望.
18. 2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.
附：相关系数，
回归方程中斜率和截距最小二乘法估计公式分别为
，，.
（1）试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
（2）建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
解：（1），，
，
，
，
，
订单数量y与月份t的线性相关性较强；
（2），
，
线性回归方程为，
令，（万件），
即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.
19. 已知数列的前n项和为．
（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；
（2）设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．
条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）
解：（1）选择条件①，且，
由题意可得，
∴，即，
∴为公比的等比数列，
∵，∴，解得，
∴；
选择条件②为等比数列，且满足，
由题意可得，
∴，∴；
（2）由（1）得，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴不等式恒成立时，，即的最小值为．
20. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数a的值；
（2）当时，求在上的最大值；
（3）若对任意的，恒有，求实数a的取值范围．
解：（1）由，所以，
又曲线在处的切线方程为，即，
所以；
（2）当时，，
由在上分别单调递增、单调递减可得：
在上单调递增，而，
即，使得，故在上单调递减，上单调递增，
且，即在上的最大值为；
（3）∵，，令，
①当时，，
易知在上恒成立，当时取得等号，符合题意；
②当时，易知，则在上恒成立，即在时单调递增，
又，故上单调递增，
∵，∴恒有，符合题意；
③当时，由②知在时单调递增，
而，
即，使得，故在上单调递减，上单调递增，
又，则，不满足题意；
综上当，能满足任意的，恒有.
21. 2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，74年劈波斩浪．74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰”､“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．
（1）若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；
（2）若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中成功摇到并获得了模型．设他第X个月摇到并获得了模型，求X的数学期望．
解：（1）由题可知，小周第1个月摇上号的概率为，所以小周连续三个月摇上号的概率为，
小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有种情况，三个月获得模型共有种情况，
所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为,
设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则．
（2）由题意得，，
则，
两边同乘得，
两式相减
，
所以．
22. 已知 ，函数，.
（1）当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；
（2）若，求证：
解：（1），定义域均为，
，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
由题：，解得：.
（2）令，因为，所以，
由可得：，
（1）-（2）得：，所以，
要证： ，只要证： ，只要证：
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只要证：，
令， ，
所以在上单调递增，
即有成立，所以成立.
X
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订单数量y（万件）
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