2023-2024学年江西省上饶市余干县蓝天实验学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省上饶市余干县蓝天实验学校高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在数列 1， 2， 3，2， 5…中，根据前5项的规律写出的第12个数为( )
A. 2 2B. 10C. 11D. 2 3
2.下列数列中等差数列的是( )
A. an=3n+1B. an=3n+1C. an=lg2n+1D. an=2n2+1
3.已知等比数列{an}中，a4=−16，公比q=2，则a1=( )
A. −1B. −2C. 1D. 2
4.在数列{an}中，an=1−1an−1(n≥2)，a1=2，则a10=( )
A. 2B. 12C. −12D. −1
5.下列求导运算正确的是( )
A. (e2)′=2eB. [(2x+7)2]′=2(2x+7)
C. (cs2x)′=2sin2xD. (lnxx)′=1−lnxx2
6.一个小球从5m的高处下落，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y=−4.9t2，则t=0.5s时小球的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A. −4.9B. −9.8C. 4.9D. 9.8
7.已知函数f(x)的图象与直线4x−y−4=0相切于点(2,f(2))，则f(2)+f′(2)=( )
A. 4B. 8C. 0D. −8
8.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′(π3)+sinx，则f′(π3)=( )
A. 32B. 12C. −12D. − 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述不正确的是( )
A. 1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B. a，a，a，a，…是等比数列
C. 数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n
D. 数列{n+1n}是递增数列
10.数列2，0，2，0，…的通项公式可以是( )
A. an=(−1)n+1+1B. an=2|cs(n−1)π2|
C. an=2|sinnπ2|D. an=(−1)n+1
11.已知函数f(x)=x3−3x+2，则( )
A. f(x)在区间(−1,1)上单调递减B. f(x)的最小值为0
C. f(x)的对称中心为(0,2)D. 方程f(x)=0有3个不同的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列{an}中，a1=2,an+1=an+1n(n+1)，则通项公式an= ______．
13.如图所示为函数f(x)的图象，则不等式f′(x)x−1<0的解集为______．
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，且anan+1=an+an+1，则a5= ______，S40= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
数列{an}的通项公式是an=n2−7n+6．
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
16.(本小题15分)
已知a1=1，an+1=an+2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前10项和．
17.(本小题15分)
等比数列{an}的公比为2，且a2，a3+2，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=lg2an+an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x3+a，点A(0,0)在曲线y=f(x)上．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)求曲线y=f(x)在点(−1,−1)处的切线方程；
(3)求曲线y=f(x)过点E(2,0)的切线方程．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)．
(1)若a=1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若函数f(x)在x=1处取得极值，且对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：数列 1， 2， 3，2， 5…，
则该数列的通项为 n，
第12个数为 12=2 3．
故选：D．
先求出数列的通项，再将12代入通项公式，即可求解．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对于A，an+1−an=3，相邻两项的差为常数，是等差数列；
对于B，an+1−an=3n+1−3n=2×3n，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；
对于C，an+1−an=lg2(n+1)−lg2n=lg2n+1n，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；
对于D，an+1−an=2(n+1)2−2n2=4n+2，相邻两项的差不为常数，不是等差数列．
故选：A．
利用等差数列的定义判断．
本题主要考查了等差数列的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由等比数列{an}中，a4=−16，公比q=2，
又由a4=a1q3，可得a1=a4q3=−1623=−2．
故选：B．
根据题意，结合等比数列的通项公式，得到a1=a4q3，即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，a1=2，a2=1−1a1=12，a3=1−1a2=−1，a4=1−1a3=2，
故数列{an}的周期为3，
故a10=a7=a4=a1=2．
故选：A．
逐项计算，再根据数列的周期性求解即可．
本题主要考查了数列的递推式，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
A选项，(e2)′=0，A错误；
B选项，[(2x+7)2]′=2(2x+7)⋅2=4(2x+7)，B错误；
C选项，(cs2x)′=−sin2x⋅(2x)′=−2sin2x，C错误；
D选项，(lnxx)′=x(lnx)′−(x)′lnxx2=1−lnxx2，D正确．
故选：D．
根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意知位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y=−4.9t2，
故y′=−9.8t，故t=0.5s时小球的瞬时速度为−9.8×0.5=−4.9(m/s)．
故选：A．
求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案．
本题主要考查了函数平均变化率定义的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：直线4x−y−4=0的斜率为4，直线与函数f(x)的图象相切于点(2,f(2))，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以f′(2)=4，
又点(2,f(2))在函数的图象上，同时也在切线上，所以4×2−f(2)−4=0，
所以f(2)=4.则f(2)+f′(2)=8．
故选：B．
根据导数的几何意义直接求解出f′(2)的值，再根据点在直线上求解出f(2)的值，即可计算出结果．
本题主要考查利用导数研究切线方程，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为f(x)=2xf′(π3)+sinx，所以f′(x)=2f′(π3)+csx，
令x=π3，则f′(π3)=2f′(π3)+csπ3，
变形可得f′(π3)=−12．
故选：C．
根据题意，对等式两边求导，再令x=π3即可得出答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：1，3，5，7与7，5，3，1显然不是相同的数列，因为顺序不一样，故A错误；
对于B：当a=0时常数数列a，a，a，a，…不是等比数列，故B错误；
对于C：数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n−1，故C错误；
对于D：因为n+1+1n+1−(n+1n)=1+1n+1−1n=n2+n−1n(n+1)，
又n∈N*，函数f(x)=x2+x−1在(−12,+∞)上单调递增且f(1)=12+1−1=1>0，
所以n2+n−1>0，所以n+1+1n+1−(n+1n)>0，
即n+1+1n+1>n+1n，
所以数列{n+1n}是递增数列，故D正确．
故选：ABC．
根据数列的概念判断A，当a=0时可判断B，写出C的通项即可判断，利用作差法判断数列的单调性，即可判断D．
本题主要考查了数列的概念，考查了数列的函数特征，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，a1=2，a2=0，a3=2，a4=0，符合题意，A是；
对于B，a1=2，a2=0，a3=2，a4=0，符合题意，B是；
对于C，a1=2，a2=0，a3=2，a4=0，符合题意，C是；
对于D，a1=0，a2=2，a3=0，a4=2，不符合题意，D不是．
故选：ABC．
根据给定条件，逐项验证判断即得．
本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：函数f(x)=x3−3x+2，
对于A：f′(x)=3x2−3，令f′(x)>0，解得x<−1或x>1，
令f′(x)<0，解得−1∴函数f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，
且f(−1)=4>0，f(1)=0，可画出函数f(x)的大致图象如图所示，故A正确；
对于B：此函数无最小值，故B错误；
对于C：f(x)+f(−x)=4，故C正确；
对于D：根据图象可知f(x)有2个不同的解，故D错误．
故选：AC．
根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，以及图象，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】3−1n
【解析】解：因为an+1=an+1n(n+1)，即an+1−an=1n−1n+1，
则an−an−1=1n−1−1n，
an−1−an−2=1n−2−1n−1，
an−2−an−3=1n−3−1n−2，
⋅⋅⋅，a3−a2=12−13，
a2−a1=1−12，
所以上述(n−1)个式子左右分别相加得：
an−an−1+an−1−an−2+an−2−an−3+⋯+a3−a2+a2−a1=1n−1−1n+1n−2−1n−1+1n−3−1n−2+⋯+12−13+1−12，
即an−a1=1−1n(n≥2)，
又因为a1=2，所以an=1−1n+a1=3−1n(n≥2)，
当n=1时，也满足上式，
所以通项公式an=3−1n．
故答案为：3−1n．
利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和．
本题考查累加法求数列的通项公式和裂项相消法求和，属于中档题．
13.【答案】(−∞,12)∪(1,2)
【解析】解：由f(x)的图象可得f(x)在(−∞,12)，(2,+∞)上单调递增，在(12,2)上单调递减，
所以当x∈(−∞,12)∪(2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(12,2)时，f′(x)<0，
因为f′(x)x−1<0，所以f′(x)<0x−1>0或f′(x)>0x−1<0，
即121或x<12x<1或x>2x<1，解得1所以原不等式的解集为(−∞,12)∪(1,2)．
故答案为：(−∞,12)∪(1,2)．
由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式．
本题主要考查了导数与单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】3 90
【解析】解：当n=1时，可得a2=32，
当n=2时，可得a3=3，依次可求得a4=32，
依此类推可知该数列的周期为2，
所以a5=3，S40=20×(3+32)=90．
故答案为：3；90．
利用数列性质求出数列的周期为2，再进一步即可求出a5，S40即可．
本题考查数列的递推式，考查周期数列，属基础题．
15.【答案】解：(1)数列{an}的通项公式是an=n2−7n+6．
∴这个数列的第4项是：
a4=42−7×4+6=−6．
(2)an=n2−7n+6=150，即n2−7n−144=0，
解得n=16或n=−9(舍)，
∴150是这个数列的项，是第16项．
【解析】(1)利用数列{an}的通项公式能求出这个数列的第4项．
(2)由an=n2−7n+6=150，能求出结果．
本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)依题意，由an+1=an+2及a1=1，
可知数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*．
(2)由题意，设数列{an}的前n项和为Sn，
则由(1)及等差数列的求和公式，
可得S10=na1+n(n−1)2d
=10×1+10×92×2
=100．
【解析】(1)先根据题干已知条件判断出数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)根据第(1)题的结果及等差数列的求和公式即可计算出数列{an}的前10项和．
本题主要考查等差数列的基本运算．考查了转化与化归思想，等差数列的定义，等差数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+2，a4成等差数列，
∴2(a3+2)=a2+a4，
∴2(4a1+2)=2a1+8a1，
∴a1=2，又q=2，
∴an=2n；
(2)∵bn=lg2an+an=n+2n，
∴Tn=(1+2+⋅⋅⋅+n)+(2+22+⋅⋅⋅+2n)
=n(n+1)2+2n+1−2．
【解析】(1)根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
(2)根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
18.【答案】解：(1)由A(0,0)在曲线y=f(x)上，
可得0=0+a，即a=0，
则f(x)=x3；
(2)f(x)的导数为f′(x)=3x2，
可得曲线y=f(x)在点(−1,−1)处的切线斜率为3，
则切线方程为y+1=3(x+1)，
即为3x−y+2=0；
(2)设切点为(m,n)，可得n=m3，
则切线方程为y−m3=3m2(x−m)，
代入E(2,0)，可得0−m3=3m2(2−m)，
解得m=0或m=3，
则切线的方程为y=0或y=27x−54．
【解析】(1)代入A的坐标，可得a，即可得到f(x)的解析式；
(2)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
(3)设切点为(m,n)，可得切线的斜率和方程，代入E的坐标，解得m，可得切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x−1−lnx，f′(x)=x−1x，
令f′(x)=0可得x=1，故当x∈(0,1)时f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时f′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)递减区间为(0,1)，递增区间为(1,+∞)；
(2)由f(x)=ax−1−lnx(a∈R)可得：函数定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x，
当a≤0时，f′(x)<0，此时函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减，
当a>0时，令f′(x)<0，解得00，解得x>1a，
此时函数f(x)在区间(0,1a)上单调递减，在区间(1a,+∞)上单调递增．
综上可得：当a≤0时，函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减；
当a>0时，函数f(x)在区间(0,1a)上单调递减，在区间(1a,+∞)上单调递增；
(3)因为函数f(x)在x=1处取得极值，
所以f′(1)=0，即a−1=0，解得a=1．
此时f′(x)=1−1x=x−1x，
令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0所以函数f(x)在x=1处取得极值，故a=1．
所以f(x)=x−1−lnx．
因为对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，
所以对∀x∈(0,+∞)，b−1≤1−lnxx恒成立．
令g(x)=1−lnxx，则g′(x)=lnx−2x2．
令g′(x)>0，解得x>e2；令g′(x)<0，解得0所以函数g(x)=1−lnxx在区间(0,e2)上单调递减，在区间(e2,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(e2)=−1e2，则b−1≤−1e2，解得：b≤1−1e2．
所以实数b的取值范围为(−∞,1−1e2]
【解析】(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x)，进而分析导函数的正负区间与单调区间；
(2)先求出函数f(x)的导函数f′(x)；再分a≤0和a>0两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；
(3)先根据函数f(x)在x=1处取得极值得出a=1；再将问题“对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立”转化为“对∀x∈(0,+∞)，b−1≤1−lnxx恒成立”；最后构造函数g(x)=1−lnxx，并利用导数求出g(x)min即可解答．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．