2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市六校高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|x≤3}，B={x|x2−4=0}，则A∩B=( )
A. {2}B. {−2,0,1,2,3}C. {−2,2}D. {−2}
2.若复数z=2+i1+2i，则|z|=．( )
A. 1B. 55C. 5D. 15
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S21=84，则a11=( )
A. 22B. 10C. 8D. 4
4.已知在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)f′(x)<0的解集为( )
A. (−3,0)
B. (−∞,−3)∪(−1,0)
C. (−∞,−3)∪(0,+∞)
D. (−3,−1)∪(0,+∞)
5.已知向量a=(2,4),b=(3,−1)，则“k= 2”是“(a+kb)⊥(a−kb)”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知直线y=kx+b既是曲线y=ex的切线，也是曲线y=−e−x的切线，则( )
A. k=e，b=0B. k=1，b=0C. k=e，b=−1D. k=1，b=−1
7.中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容(不分先后次序)，则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为( )
A. 15B. 415C. 13D. 25
8.已知f(x)=10x+10−x−csx，则不等式f(2x+1)−f(4−x)<0的解集为( )
A. (−∞,−5)B. (−∞,1)C. (−5,1)D. (1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(2− 3x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则下列选项正确的是( )
A. a3=−360
B. (a0+a2+a4+a6)2−(a1+a3+a5)2=1
C. a1+a2+…+a6=(2− 3)6
D. 展开式中系数最大的为a2
10.从含有3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件Ai：“第i次取出的球是红球”，事件Bi：“第i次取出的球是白球”，则( )
A. P(B1)=25B. P(A1B2)=15C. P(B1|A2)=15D. P(A3)=2135
11.函数f(x)=xlnx、g(x)=f′(x)x，下列命题中正确的是( )
A. 不等式g(x)>0的解集为(1e,+∞)
B. 函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减
C. 若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，则a∈(0,1)
D. 若x1>x2>0时，总有m2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)恒成立，则m>1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知(1−2x)n展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中含x3项的系数为______．
13.函数f(x)=xln(−x)的单调递减区间是______．
14.已知数列{an}满足①a1=5②an+1=an+2,(n为奇数)3an+2,(n为偶数).则a3= ______；设Sn为{an}的前n项和，则S2024= ______.(结果用指数幂表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−3ax+b在x=1处有极小值2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)−m在[0,2]只有一个零点，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
2022年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为23，甲、丙两人都回答正确的概率是12，乙、丙两人都回答正确的概率是14.每个人回答是否正确互不影响．
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为25，乙抢到答题机会的概率为15，丙抢到的概率为25，求这个问题回答正确的概率．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinC= 3csinB2．
(1)求角B的大小；
(2)若b=6，且△ABC的面积为7 32，求AC边上的中线长．
18.(本小题15分)
已知一个由正数组成的数阵，如图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，a12=2，a14=4，a33=12．
第一行a11，a12，a13，a14…a1n
第二行a21，a22，a23，a24…a2n
第三行a31，a32，a33，a34…a3n
…
第n行an1，an2，an3，an4…ann
(1)求数列{an2}的通项公式；
(2)设bn=2n−1(an2−1)⋅(a(n+1)2−1)，n=1，2，3，…，求数列{bn}的前n项和Sn．
19.(本小题19分)
已知函数f(x)=4x−12x2−alnx(a>0)．
(1)当a=3时，讨论函数f(x)的单调性．
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1①求a的取值范围；
②证明：f(x1)+f(x2)<10−lna．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x∈N|x≤3}={0,1,2,3}，B={x|x2−4=0}={2,−2}，
则A∩B={2}．
故选：A．
先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】
解：∵z=2+i1+2i=(2+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=4−3i5，
∴|z|=1．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，S21=84，
则21(a1+a21)2=84，即21a11=84，解得a11=4．
故选：D．
根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：结合函数图象可知，当x<−3时，f(x)>0且f(x)单调递减，即f′(x)<0，符合题意；
当−30且f(x)单调递增，即f′(x)>0，不符合题意；
当−10且f(x)单调递减，即f′(x)<0，符合题意；
当x>0时，f(x)<0且f(x)单调递减，即f′(x)<0，不符合题意，
故不等式f(x)f′(x)<0的解集为{x|x<−3或−1故选：B．
由已知结合函数图象及导数与单调性关系即可求解不等式．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：(a+kb)⊥(a−kb)，
则(a+kb)⋅(a−kb)=a2−k2b2=0，即20−10k2=0，解得k=± 2，
故“k= 2”是“(a+kb)⊥(a−kb)”的充分不必要条件．
故选：A．
根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设曲线y=ex的切点为(x1,ex1)，也是曲线y=−e−x的切点为(x2,−e−x2)，
又(ex)′=ex，(−e−x)′=e−x，
则k=ex1=e−x2kx1+b=ex1kx2+b=−e−x2，解得k=ex1=1x2=−1b=0，
故选：A．
设曲线y=ex的切点为(x1,ex1)，也是曲线y=−e−x的切点为(x2,−e−x2)，根据导数的几何意义建立关于x1，x2，k，b的方程组，解出即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容(不分先后次序)，一共有C62C42C22=90种不同的安排方法，
其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有C21C42=12种，
节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有C31A22A22=12种，
故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有12+12=24种，
故所求概率为P=2490=415．
故选：B．
根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果．
本题主要考查了排列组合知识在实际问题中的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=10x+10−x−csx，
所以f(−x)=10x+10−x−cs(−x)=10x+10−x−csx=f(x)，即f(x)为偶函数，
因为x>0时，f′(x)=ln10(10x−10−x)+sinx，f″(x)=ln210(10x+10−x)+csx>0，
则f′(x)=ln10(10x−10−x)+sinx在x>0时单调递增，
所以f(x)>f(0)=0，
所以f(x)在x>0时单调递增，
则不等式f(2x+1)−f(4−x)<0可转化为f(2x+1)所以|2x+1|<|4−x|，
两边平方得，4x2+4x+1即x2+4x−5<0，
解得−5故选：C．
先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：a3=C6323(− 3)3=−480 3，A错误；
令x=1，得a0+a1+...+a6=(2− 3)6，
令x=−1，得a0−a1+...+a6=(2+ 3)6，
则(a0+a2+a4+a6)2−(a1+a3+a5)2=(a0+a1+...+a6)(a0−a1+...+a6)=(2− 3)6(2+ 3)6=1，B正确；
令x=0，a0=26，则a1+a2+...+a6=(2− 3)6−26，C错误；
展开式中偶数项系数为负，奇数项系数为正，则系数最大项在a0，a2，a4，a6中，
展开式的通项公式为Tk+1=C6k26−k(− 3x)k，k=0，1，2，3，4，5，6，
则a2=720，a4=540，a6=27，展开式中系数最大的为a2．
故选：BD．
根据二项式定理，利用赋值法分别进行判断即可．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，第一次取到白球的概率P(B1)=25，故A正确；
对于B，在第一次取出1个红球的条件下，口袋内共有6个球，其中有4个红球，2个白球，
则P(B2|A1)=26，则有P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=35×26=15，故B正确；
对于C，P(B1)=23，P(A2|B1)=12，
故P(A2B1)=P(B1)×P(A2|B1)=25×12=15，
P(A2)=P(B1)×P(A2|B1)+P(A1)×P(A2|A1)=25×12+35×23=35，
则P(B1|A2)=P(B1A2)P(A2)=1535=13，C错误；
对于D，事件A3是以下4个互斥事件的和：A1A2A3，A1B2A3，B1A2A3，B1B2A3，
P(A3)=P(A1A2A3)+P(A1B2A3)+P(B1A2A3)+P(B1B2A3)
=35×46×57+35×26×47+25×36×37+25×36×37=2135，故D正确．
故选：ABD．
根据题意，由古典概型分析A，由条件概率公式分析B，由贝叶斯公式分析C，由互斥事件的性质分析D，综合可得答案．
本题考查条件概率、贝叶斯公式的应用，涉及互斥事件的性质，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：因为f(x)=xlnx、g(x)=f′(x)x=lnx+1x,则g′(x)=−lnxx2，
令g′(x)>0，可得x∈(0,1)，故g(x)在该区间上单调递增；
令g′(x)<0，可得x∈(1,+∞)，故g(x)在该区间上单调递减．
又当x>1时,g(x)>0,且g(1e)=0,g(1)=1，
故g(x)的图象如图所示：
对A，数形结合可知，g(x)>0的解集为(1e,+∞)，故A正确；
对B，由f′(x)=lnx+1得知：在(0,1e)上单调递增，在(1e,+∞)上单调递减，分析可知选项B错误；
对C，若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，
即F(x)=xlnx−ax2有两个极值点，又F′(x)=lnx−2ax+1，
要满足题意，则需lnx−2ax+1=0在(0,+∞)有两根，
也即2a=lnx+1x在(0,+∞)有两根，也即直线y=2a与y=g(x)的图象有两个交点．
数形结合则0<2a<1，解得0故要满足题意，则0对D，若x1>x2>0时，总有m2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)恒成立，
即m2x12−x1lnx1>m2x22−x2lnx2恒成立，
构造函数g(x)=m2x2−xlnx,则g(x1)>g(x2)对任意的x1>x2>0恒成立，
故g(x)在(0,+∞)单调递增，则g′(x)=mx−lnx−1≥0在(0,+∞)恒成立，
也即lnx+1x≤m在区间(0,+∞)恒成立，则g(x)max=1≤m，故D正确．
故选：AD．
利用函数的单调性的应用和函数的导数的图象求出不等式A的结果，利用函数的导数求出函数的单调区间，利用函数的图象确定选项C的结论，最后利用关系式的恒等变换的应用和函数的恒成立问题的应用求出参数m的取值．
本题考查的知识要点：函数的图象的应用，函数的导数和单调性的关系，函数的恒成立问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
12.【答案】−280
【解析】解：由题意可得Cn2=Cn5，所以n=2+5=7，
则二项式(1−2x)7的展开式中含x3的项为C73(−2x)3=−280x3，
所以x3的系数为−280．
故答案为：−280．
利用二项式系数的性质建立方程求出n的值，然后根据二项式定理即可求解．
本题查了二项式定理的应用，属于基础题．
13.【答案】[−1e,0)
【解析】解：函数f(x)=xln(−x)的定义域为(−∞,0)，
因为f′(x)=ln(−x)+1，
当−1e≤x<0时，f′(x)≤0，f(x)单调递减．
故答案为：[−1e,0)．
先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
14.【答案】23 31014−6081
【解析】解：a1=5，a2=5+2=7，a3=3×7+2=23；
设a1=a=a+(4×30−4)，可得a3=3a+8=3a+(4×3−4)，a5=9a+32=9a+(4×32−4)，…，
a2023=31011a+(4×31011−4)，
a2=a+2=a+(4×30−2)，可得a4=3a+10=3a+(4×3−2)，a6=9a+34=9a+(4×32−2)，…，
a2024=31011a+(4×31011−2)，
可得S2024=(a1+a3+a5+...+a2023)+(a2+a4+a6+...+a2024)
=2a(1+3+9+...+31011)+8(1+3+...+31011)−4×1012−2×1012
=(2a+8)⋅1−310121−3−6072=31014−6081．
故答案为：23；31014−6081．
由数列的递推式可得a2，a3；由等比数列的通项公式，推得a2023=31011a+(4×31011−4)，a2024=31011a+(4×31011−2)，由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算开始的所求和．
本题考查数列的分段形式和等比数列的通项公式、求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x3−3ax+b，所以f′(x)=3x2−3a，
由题意知，f′(1)=3−3a=0f(1)=1−3a+b=2，解得a=1b=4，
所以函数f(x)=x3−3x+4；
(2)由函数g(x)=f(x)−m=0，得f(x)=m；
且f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
令f′(x)=0，得x=±1，
列表如下：
由表中数据知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，
所以f(x)在[0,2]上的极小值，也是最小值，为f(1)=2，且f(0)=4，f(2)=6，
所以g(x)=f(x)−m在[0,2]只有一个零点时，m的取值范围是(4,6]．
【解析】(1)求出函数f(x)的导数，根据题意列方程组求解即可得出a、b；
(2)由g(x)=0得f(x)=m，利用导数判断函数f(x)的单调性，求出极值与最值，结合题意即可求出m的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和求极值、最值问题，是基础题．
16.【答案】解：(1)设甲，乙，丙独自答对这道题分别为事件A，B，C，
则P(A)=23，P(AC)=12，P(BC)=14，
∵事件A，B，C相互独立，
∴P(C)=P(AC)P(A)=1223=34，P(B)=P(BC)P(C)=1434=13，
∴甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率为1−P(A−)P(B−)P(C−)=1−(1−23)×(1−13)×(1−34)=1−118=1718；
(2)设这个问题回答正确为事件E，
甲，乙，丙抢到答题机会分别为事件A1，A2，A3，
则P(A1)=25，P(A2)=15，P(A3)=25，
P(E|A1)=23，P(E|A2)=13，P(E|A3)=34，
∴P(E)=P(A1)P(E|A1)+P(A2)P(E|A2)+P(A3)P(E|A3)
=25×23+15×13+25×34=1930．
【解析】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查了全概率公式，属于中档题．
(1)根据相互独立事件的概率乘法公式求解；
(2)根据全概率公式求解．
17.【答案】解：(1)bsinC= 3csinB2，由正弦定理得：sinBsinC= 3sinCsinB2，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
故sinB= 3sinB2，即2sinB2csB2= 3sinB2，
因为B2∈(0,π2)，所以sinB2≠0，故csB2= 32，
所以B2=π6，所以B=π3．
(2)在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得36=a2+c2−ac，
因为S△ABC=12acsinB=12ac× 32=7 32，所以ac=14，
所以a2+c2=50，
设AC的中点为D，则2BD=BC+BA，
两边同时平方得：4BD2=(BC+BA)2=BC2+BA2+2BC⋅BA=a2+c2+ac=64，
所以|BD|=4，
即AC边上的中线长为4．
【解析】(1)由bsinC= 3csinB2，利用正弦定理和倍角公式化简得csB2= 32，可得角B的大小；
(2)结合余弦定理及面积公式求出ac，a2+c2，利用中线的向量性质2BD=BC+BA，两边平方即可得解．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可得2a13=a12+a14=2+4=6，解得a13=3，
设公比为q(q>0)，则a33=a13q2，即12=3q2，解得q=2，
则an2=a12qn−1=2⋅2n−1=2n；
(2)bn=2n−1(an2−1)⋅(a(n+1)2−1)=2n−1(2n−1)(2n+1−1)=12(12n−1−12n+1−1)，
数列{bn}的前n项和Sn=12(1−122−1+122−1−123−1+...+12n−1−12n+1−1)=12(1−12n+1−1)=2n−12n+1−1．
【解析】(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求；
(2)由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当a=3时，f(x)=4x−12x2−3lnx，定义域为(0,+∞)，
f′(x)=4−x−3x=−x2+4x−3x，
令f′(x)=0，得x=1或3，
所以在(0,1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(1,3)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(3,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在(0,1)，(3,+∞)上单调递减，在(1,3)上单调递增．
(2)①因为f(x)=4x−12x2−alnx(a>0)，
所以f′(x)=4−x−ax=4x−x2−ax，
若f(x)有两个极值点x1，x2(x1所以−x2+4x−a=0有两个根x1，x2(x1所以Δ=42−4×(−1)×(−a)=16−4a>0，即a<4，
所以0所以a的取值范围为(0,4)．
②证明：由①可得x1+x2=4，x1x2=a，
f(x1)+f(x2)=(4x1−12x12−alnx1)+(4x2−12x22−alnx2)=4(x1+x2)−12(x12+x22)−a(lnx1+lnx2)
=4(x1+x2)−12[(x1+x2)2−2x1x2]−aln(x1x2)=4×4−12(42−2a)−alna=8+a−alna，
要证f(x1)+f(x2)<10−lna，
需证f(x1)+f(x2)−10+lna<0，
即证8+a−alna−10+lna<0，
即证a−alna+lna−2<0，
令g(a)=a−alna+lna−2，0g′(a)=1−lna−a×1a+1a=−lna+1a，
所以g′(a)在(0,4)上单调递减，
又g′(1)=1>0，g′(e)=−1+1e<0，
所以存在a0∈(1,e)使得g′(a0)=0，即−lna0+1a0=0，(*)
所以在(0,a0)上，g′(a)>0，g(a)单调递增，
在(a0,+∞)上，g′(a)<0，g(a)单调递减，
所以g(x)max=g(a0)=a0−a0lna0+lna0−2，
由(*)得lna0=1a0，
所以g(x)max=g(a0)=a0−a0×1a0+1a0−2=a0+1a0−3，
因为a0∈(1,e)，
所以由对勾函数的性质可得y=a0+1a0−3在(1,e)上单调递增，
所以当x=e时，ymax=e+1e−3<0，
所以g(x)max<0，
所以a−alna+lna−2<0得证．
【解析】(1)当a=3时，f(x)=4x−12x2−3lnx，求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性．
(2)①求导得f′(x)=4x−x2−ax，若f(x)有两个极值点x1，x2(x10，即可得出答案．
②由①可得x1+x2=4，x1x2=a，f(x1)+f(x2)=8+a−alna，要证f(x1)+f(x2)<10−lna，即证a−alna+lna−2<0，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．x
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
−
0
+
f(x)
4
单调递减
极小值2
单调递增
6