2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简AB−AD−DC=( )
A. ADB. CBC. DBD. AC
2.已知复数z满足( 7−3i)z=8，则z=( )
A. 32− 72iB. 72−32iC. 32+ 72iD. 72+32i
3.在△ABC中，A=60°，C=75°，AC= 3，则BC=( )
A. 2B. 32C. 3 22D. 2 2
4.i2023−i2024=( )
A. 1+ 2iB. 1− 2iC. −1−iD. 1−i
5.已知向量a=(−1,1),b=(2,3)，则b在a上的投影向量的坐标为( )
A. (12,12)B. (12,−12)C. (−12,−12)D. (−12,12)
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB=csin(A+B)−asinA，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
7.若向量a，b的夹角是π3，a是单位向量，|b|=2，c=2a+b，则向量c与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 3π4
8.在三棱锥A−BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC=3，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. 82π9B. 83π9C. 28π3D. 28π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=m2−1+(m+1)i(m∈R)，则下列命题正确的是( )
A. 若z为纯虚数，则m=1
B. 若z为实数，则z=0
C. 若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=32
D. z在复平面内对应的点可能在第三象限
10.关于平面向量a,b,c，下列说法不正确的是( )
A. (a−b)⋅(a+b)=a2−b2
B. (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
C. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=c
D. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
11.如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则( )
A. AH与CF不能构成一组基底
B. OA+OC=2 2OB
C. AG在AB上的投影向量的模为 2
D. PA⋅PB的取值范围为[−14,3+2 2]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2),b=(3,1)，则b−a= ______．
13.已知(2−i)x=4+yi，其中x，y是实数，则x+y= ______．
14.已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC，则O是△ABC的______心.(填“重”或“垂”或“内”或“外”)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知在正四棱锥S−ABCD中，SA=5，AB=6．
(1)求四棱锥S−ABCD的表面积；
(2)求四棱锥S−ABCD的体积．
16.(本小题15分)
已知复数z1=4+mi(m∈R)，且z1⋅(1−2i)为纯虚数．
(1)求复数z1；
(2)若z2=z1−(1−i)2，求复数z2−及|z2|.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 2,c=2,csC=− 33．
(1)求sinB和a的值；
(2)求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
已知单位向量a满足(a+b)⋅(a−b)=a⋅b=−1．
(1)求|a−b|的值；
(2)设a−b与2a+b的夹角为θ，求sinθ的值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=π−x−πx．
(1)证明：f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(2)求不等式f(m2−3)+f(2m)>0的解集．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：若化简AB−AD−DC，
根据向量减法的三角形法则可知，AB−AD−DC=DB−DC=CB．
故选：B．
由已知结合向量减法运算法则即可求解．
本题主要考查了向量的减法运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由题意，z=87−3i=8(7+3i)(7−3i)(7+3i)= 72+32i.
故选：D．
根据复数的除法运算求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为A=60°，C=75°，AC= 3，所以B=45°，
由正弦定理得ACsinB=BCsinA，即 3sin45°=BCsin60∘，
即BC= 3sin60°sin45°=3 22．
故选：C．
由题意可得角B的大小，再由正弦定理可得BC的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：i2023−i2024=i2022⋅i−i2024=(i2)1011⋅i−(i2)1012=(−1)1011⋅i−(−1)1012=−i−1．
故选：C．
利用i2=−1和幂的运算性质计算可得结果
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：a=(−1,1),b=(2,3)，
则a⋅b=−2+3=1，|a|= 1+1=2，
所以b在a上的投影向量的坐标为a⋅b|a|⋅a|a|=12(−1,1)=(−12,12)．
故选：D．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为bsinB=csin(A+B)−asinA，又sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，
即bsinB=csinC−asinA，由正弦定理可得b2=c2−a2，
即a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形且∠C为直角．
故选：B．
利用诱导公式及正弦定理将角化边即可判断．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设向量c与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，
向量a，b的夹角是π3，a是单位向量，|b|=2，
则a⋅b=1×2×csπ3=1，
c=2a+b，
则c2=4a2+b2+4a⋅b=4+4+4=12，解得|c|=2 3，
c⋅b=(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=6，
故csθ=c⋅b|c| |b|=62 3×2= 32，解得θ=π6．
故选：A．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意如图所示：设E为BD的中点，连接AE，CE，设P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，
过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，则可得O为该三棱锥的外接球的球心，
连接OC，OE，则OC为外接球的半径，
由△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，则AE=CE= 32×2= 3
又AC=3，则由余弦定理可得cs∠AEC=AE2+CE2−AC22AE⋅CE=3+3−92× 3× 3=−12，
所以∠AEC=120°，
因为P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，
所以CG=23CE=2 33，EG=13CE= 33，
可得△OPE≅△OGE，可得∠OEC=60°，而∠OGE=90°，
所以OG= 3EG=1，
在△OGC中：R2=OC2=OG2+CG2=12+(2 33)2=73，
所以外接球的表面积S=4πR2=28π3．
故选：C．
取BD的中点E，设△ABD和△BCD的外接圆的圆心P，G分别在AE，CE上，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，可得O为三棱锥的外接球的球心，且可得∠OEC=60°，由等边三角形的边长为2，可得EG，G及OG的值，进而求出外接球的半径OC的值，再求出外接球的表面积．
本题考查三棱锥的外接球问题，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，若z为纯虚数，则m2−1=0m+1≠0，解得m=1，故A正确；
对于B，若z为实数，则m+1=0，∴m=−1，此时z=0，故B正确；
对于C，z在复平面内对应的点为(m2−1,m+1)，
由题意可得m+1=2(m2−1)，即2m2−m−3=0，解得m=−1或m=32，故C错误；
对于D，若z在复平面内对应的点在第三象限，
则m2−1<0m+1<0，此不等式组无解，∴z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D错误．
故选：AB．
由复数的基本概念及复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：对于A，由向量的运算法则知正确，故A正确；
对于B，向量数量积满足分配律，故B正确；
对于C，向量数量积不满足消去律，故C错误；
对于D，(a⋅b)⋅c是与c共线的向量，a⋅(b⋅c)是与a共线的向量，故D错误．
故选：CD．
由向量数量积的定义和运算律，对选项中的说法进行判断．
本题考查平面向量数量积的运算律，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：∵正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，
对于A选项：连接AF，∵∠AOB=45°，∴∠OAB=180°−45°2=67.5°，
∵∠AOF=3×45°=135°，
∴∠OAF=180°−135°2=22.5°，
∴∠BAF=67.5°+22.5°=90°，
以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建系如图，
则A(0,0),B(1,0),H(− 22, 22),F(0, 2+1),C(1+ 22, 22)，
∴AH=(− 22, 22),CF=(−1− 22, 22+1)，
∴− 22×( 22+1)− 22×(−1− 22)=−12− 22+ 22+12=0，
∴AH//CF，∴AH与CF不能构成一组基不能构成一组基底，故A选项正确；
对于B选项：∵O(12, 2+12)，A(0,0),B(1,0),C(1+ 22, 22)，
∴OA=(−12,− 2+12)，
OC=(1+ 22, 22)−(12, 2+12)=( 2+12,−12)，
OB=(1,0)−(12, 2+12)=(12,− 2+12)，
∴OA+OC=( 22,− 2+22)= 2OB，故B选项错误；
对于C选项：∵G(− 22, 22+1)，A(0,0)，B(1,0)，
∴AG=(− 22, 22+1)，AB=(1,0)，
∴AG⋅AB=− 22×1+0×( 22+1)=− 22，|AB|=1，
∴AG在AB向量上的投影向量的模长为|AG⋅AB||AB|= 22，故C选项错误；
对于D选项：取AB的中点M，则PA+PB=2PM，PA−PB=BA=2MA，
∴(PA+PB)2=4PM2，(PA−PB)2=4MA2，
两式相减得：PA⋅PB=PM2−MA2=PM2−14，
当点P与点E或F重合时，PM2最大，最大值为AM2+AF2=14+( 2+1)2=134+2 2，
∴PA⋅PB的最大值为134+2 2−14=3+2 2，
当点P与点M重合时，PM2最小为0，∴PA⋅PB的最小值为−14，故D选项正确．
故选：AD．
连接AF，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到AH与CF平行，即可判断A；根据平面向量加法法则计算判断B；利用投影向量公式进行计算判断C；利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到PA⋅PB的最值，即可判断D．
本题考查平面向量的运算和性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】(2,−1)
【解析】解：由a=(1,2),b=(3,1)，
可得b−a=(3,1)−(1,2)=(3−1,1−2)=(2,−1)．
故答案为：(2,−1)．
由向量减法的坐标运算即可求解．
本题考查向量减法的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】0
【解析】解：因为(2−i)x=2x−xi=4+yi，
所以2x=4−x=y，解得x=2，y=−2，
所以x+y=0．
故答案为：0．
根据复数相等的充要条件可解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】垂
【解析】解：因为OA⋅OB=OB⋅OC⇔OB⋅(OA−OC)=0⇔OB⋅CA=0⇔OB⊥CA，同理OA⊥CB，OC⊥AB，故O为△ABC的垂心．
故答案为：垂．
由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成OB⋅CA=0，即得OB⊥CA，同理可得另外两个垂直关系，即得点O为其垂心．
本题主要考查逆用数量积的分配律，属于基础题．
15.【答案】解：(1)连接AC，BD相交于O，连接SO，
过点S作SE⊥BC于点E，连接OE，则SE是斜高，
在直角三角形SOB中，SO= SB2−OB2= 52−(6 22)2= 7，
在直角三角形SOE中，SE= SO2+(12AB)2= ( 7)2+(62)2=4，
S△BCS=12BC⋅SE=12×6×4=12，
S表=S侧+S底=4S△BCS+62=48+36=84，
所以正四棱锥S−ABCD的表面积为84．

(2)V=13SABCD⋅SO=13(6×6)× 7=12 7，
所以正四棱锥S−ABCD的体积为12 7．
【解析】(1)根据表面积公式即可求解；(2)根据体积公式即可求解．
本题考查锥体的体积与表面积，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由z1=4+mi (m∈R)，所以(4+mi)⋅(1−2i)=4+2m+(m−8)i，
又z1⋅(1−2i)为纯虚数，所以4+2m=0，解得m=−2，
所以复数z1=4−2i；
(2)由(1)知z1−=4+2i，所以z2=4+2i(1−i)2=4+2i−2i=(4+2i)⋅2i(−2i)⋅2i=−1+2i，
故z2−=−1−2i，|z2|= (−1)2+22= 5．
【解析】(1)进行复数的乘法运算，根据纯虚数的定义即可得出复数z1；
(2)根据共轭复数的定义，复数的乘法和除法运算即可得解．
本题考查了复数的乘法和除法运算，共轭复数的定义，复数模的求法，是基础题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，由csC=− 33，可得sinC= 1−cs2C= 63，
又由csinC=bsinB及b= 2,c=2，可得sinB= 33．
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，得3a2+2 6a−6=0，
由a>0，解得a= 63．
所以sinB= 33,a= 63．
(2)由(1)知，a= 63,sinC= 63，
所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=12× 63× 2× 63= 23．
【解析】(1)根据同角的三角函数关系求出sinC，结合正、余弦定理计算即可求解；
(2)由(1)，结合三角形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为单位向量a满足(a+b)⋅(a−b)=a⋅b=−1．
所以|a|=1，所以a2−b2=−1，解得|b|= 2(负值舍去)，
所以|a−b|= (a−b)2= a2−2a⋅b+b2= 12−2×(−1)+( 2)2= 5；
(2)由(1)知，|a|=1,|b|= 2，a⋅b=−1，
所以(a−b)⋅(2a+b)=2a2−a⋅b−b2=2×12−(−1)−( 2)2=1，
|2a+b|= (2a+b)2= 4a2+4a⋅b+b2= 4×12+4×(−1)+( 2)2= 2，
因为a−b与2a+b的夹角为θ，
所以csθ=(a−b)⋅(2a+b)|a−b|⋅|2a+b|=1 5× 2= 1010，
又因为θ∈[0,π]，所以sinθ= 1−cs2θ=3 1010．
【解析】(1)由数量积的运算律求出|b|，再根据|a−b|= (a−b)2计算可得；
(2)首先求出(a−b)⋅(2a+b)，|2a+b|，再由夹角公式求出csθ，即可得解．
本题考查平面向量的数量积与夹角运算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=π−x1−πx1−(π−x2−πx2)=(πx2−πx1)(1+1πx1⋅πx2)，
又易知y=πx单调递增，且x1πx1，即πx2−πx1>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．
(2)根据题意，f(x)=π−x−πx的定义域为R，
又f(−x)=πx−π−x=−f(x)，所以f(x)=π−x−πx为奇函数，
由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以当x∈(0,+∞)，f(x)由奇函数的性质知，f(x)在(−∞,0)上单调递减，所以当x∈(−∞,0)时，f(x)>f(0)=0，
又易知f(0)=0，所以f(x)在定义域上单调递减，
又f(m2−3)+f(2m)>0，即f(m2−3)>f(−2m)，
所以m2−3<−2m，即m2+2m−3<0，解得m<−3或m>1，
所以原不等式的解集为：(−∞,−3)∪(1,+∞)．
【解析】(1)根据条件，利用函数单调性的定义法，即可证明结果；
(2)利用f(x)的奇偶性和单调性，得到m2+2m−3<0，即可求出结果．
本题考查函数单调性的判断和性质的应用，涉及作差法的应用，属于基础题．