2023-2024学年湖南省名校联考联合体高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省名校联考联合体高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={1,2,4}，B={x|x2−4x+m=0}.若A∩B={1}，则B=( )
A. {1,−3}B. {1,5}C. {1,0}D. {1,3}
2.复数z=1i+1(i为虚数单位)的虚部是( )
A. −12B. 12C. −12iD. 12i
3.O为坐标原点，F为抛物线C：y2=8x的焦点，M为C上一点，若|MF|=8，则△MOF的面积为( )
A. 4 3B. 3 2C. 8D. 3 3
4.已知f(x)=cs(sinx)，则下列选项中正确的是( )
A. f(x)=f(x+π2)B. f(x)关于(π2,0)中心对称
C. f(x)关于直线x=π对称D. f(x)的值域为[−1,1]
5.已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.5，若在事件B发生的条件下，事件A发生的概率为0.6，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为( )
A. 0.85B. 0.8C. 0.75D. 0.7
6.已知α，β为锐角，csα=45，tan(α−β)=−13，则csβ的值为( )
A. 9 1050B. 3 1010C. − 1010D. 13 1050
7.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2AM+AN=1，设AC=xAM+yAN，则2x+3y的最小值为( )
A. 48B. 49C. 50D. 51
8.已知函数f(x)=ln(x+1)−x+1，函数g(x)=aex−x+lna，若函数F(x)=f(x)−g(x)有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (0,e)B. (0,2)C. (0,1)D. (0,1e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=ex−e−x2,g(x)=ex+e−x2，则( )
A. 函数f(x)在R上单调递增B. 函数f(x)g(x)是奇函数
C. 函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称D. g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2
10.已知椭圆C：x24+y22=1的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则( )
A. 存在点M，使∠AMB=120°B. TA⋅TB=2TM⋅TN
C. FM⋅FN的最小值为−43D. △FMN周长的最大值为8
11.已知数列{an}满足a1=1，an+1=12an+n,n为奇数an−2n,n为偶数，设{an}的前n项和为Sn，下列结论正确的( )
A. 数列{a2n−2}是等比数列B. a2n−1=6−(12)n−1−4n
C. S8b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，短轴的其中一个端点为B1，长轴端点为A1，A2，且△B1F1F2是面积为 3的等边三角形．
(1)求椭圆C1的方程及离心率；
(2)若双曲线C2以A1，A2为焦点，以F1，F2为顶点，点Q为椭圆C1与双曲线C2的一个交点，求△QA1A2的面积；
(3)如图，直线l：y=kx+m与椭圆C1有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于A(x,0)，B(0,y)两点.当点M运动时，求点P(x,y)的轨迹方程．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−blnxx−1．
(1)若b=e(e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值；
(2)若b=1，函数g(x)=f(x)−ax有两个零点x1，x2(x1m恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={1,2,4}，B={x|x2−4x+m=0}．
若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，
可得1−4+m=0，解得m=3，
即有B={x|x2−4x+3=0}={1,3}．
故选：D．
由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．
本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=1i+1=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，其虚部为−12．
故选：A．
根据复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由y2=8x可得抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x=−2，
由抛物线焦半径公式得MF=xM+p2=xM+2=8⇒xM=6，
将x=6代入y2=8x得y=±4 3，
∴△MOF的面积为12|y| ⋅ OF=12×4 3×2=4 3，
故选：A．
先根据定义求出点M的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点M的纵坐标，即可得出答案．
本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，因为f{x)=cs(sinx),
所以f(x+π2)=cs[sin(x+π2)]=cs(csx)≠f(x}，故A不正确；
对于B，f(π2)=cs(sinπ2)=cs1≠0，故B不正确；
对于C，可得f(x+π)=cs[sin(x+π)]=cs(−sinx)=cs(sinx)=f(x)，
f(−x+π)=cs[sin(−x+π)]=cs(sinx)=f(x)，
所以f (x+π)=f(−x+π)，
所以可得x=π是函数的对称轴，故C正确；
对于D，因为sinx∈[−1,1]，
所以f(x)∈[csl,1]，故D不正确．
故选：C．
利用函数的周期性和对称性即可逐项求解．
本题考查函数的周期性，对称性的判断，考查了函数思想，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由已知可得P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A|B)=0.6，
由P(A|B)=P(AB)P(B)，可得P(AB)=P(B)P(A|B)=0.5×0.6=0.3，
∴在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为：
P(B|A)=P(AB)P(A)=．
故选：C．
利用条件概率公式求出P(AB)的值，再利用条件概率公式可求出P(B|A)的值．
本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵α为锐角，csα=45，
∴sinα= 1−cs2α=35，
∴tanα=sinαcsα=34．
∵tanβ=tan[α−(α−β)]=tanα−tan(α−β)1+tanαtan(α−β)=34+131−34×(−13)=139，
又β是锐角，
∴csβ=1 1+tan2β=1 1+(139)2=9 1050．
故选：A．
依题意，可求得sinα及tanα，利用两角差的正切可求得tanβ，由csβ=1 1+tan2β即可求得答案．
本题考查三角公式、三角函数式的恒等变形和运算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用坐标解决问题的方法、基本不等式求最值的应用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，可得出A，B，C，D的坐标，并设M，N点坐标，根据2AM+AN=1、AC=xAM+yAN可得相关等式，再根据基本不等式即可求出2x+3y的最小值．
【解答】
解：如图，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，
设M(m,0)，N(0,n)，∵2AM+AN=1，∴2m+n=1，(0