2023-2024学年安徽省黄山市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省黄山市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>0B. x≥0C. x≥−2D. x>−2
2.下列各式中，正确的是( )
A. 16< 17<17B. 3< 17<4C. 4< 17<5D. 5< 17<6
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 4 2− 2=4C. 21÷3= 7D. 12=2 3
4.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=160°，则∠B的度数是( )
A. 60°B. 80°C. 100°D. 160°
5.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 3， 4， 5B. 2，3，4C. 2，2，5D. 2,3, 5
6.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 矩形的对角线相等B. 对角线相等的四边形是正方形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 菱形的对角线互相垂直平分
7.如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A. (8−4 3)cm2B. (4−2 3)cm2
C. (16−8 3)cm2D. (−12+8 3)cm2
8.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，点E，F都在格点上，连接AE，AF，则∠EAF=( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
9.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是DE延长线上一点，且∠AFC=90°，若BC=m，DF=n(n>m)，则AC=( )
A. n−m
B. n−m2
C. 2n−m
D. 2m−n
10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为( )
A. 78
B. 3
C. 254
D. 258
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知a，b都是实数.若 a+1+(b−2)2=0，则a−b= ．
12.已知 (2023−x)2+ x−2024=x，则x−20232= ______．
13.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=10，则CD边上的高AE= ______．
14.如图，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，将格点线段(端点都在格点上的线段)AB平移得到格点线段CD，连接AD，BC交于点P，则线段AP的长为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，
BC=10，AD是△ABC的角平分线，E是斜边
BC的中点，过点B作BG⊥AD于G，交AC于
点F，连接EG，则线段EG= ______．
16.如图，正方形ABCD中，M，N分别为边AB，AD
上一点，AN=BM.CM，BN相交于点O，连接
CN.若CO=15，NO=12，则阴影部分的面积
之和为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(2 3− 2)2− 3( 27− 8)．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(1m+1+2m2−1)⋅m2−2m+1m+1，其中m= 3−1．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=4，BC= 5，点D在AB上，且BD=1，CD=2．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC的长．
20.(本小题6分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， 5， 13．
21.(本小题8分)
二次根式的计算中，有一种方法叫做“分子有理化”，即分母和分子同时乘以一个适当的因式，从而消除分子中的根式．
比如： 7− 6=( 7− 6)( 7+ 6) 7+ 6=1 7+ 6．
“分子有理化”可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些代数式的最值问题．
例如：比较 7− 6和 6− 5的大小．
解： 7− 6=1 7+ 6， 6− 5=1 6+ 5．
因为 7+ 6> 6+ 5>0，
所以1 7+ 6<1 6+ 5，即 7− 6< 6− 5．
再例如，求代数式 x+2− x−2的最大值.做法如下：
解：由x+2≥0且x−2≥0可知：x≥2，而
x+2− x−2=( x+2− x−2)( x+2+ x−2) x+2+ x−2
=4 x+2+ x−2
当x=2时，分母 x+2+ x−2有最小值2，所以原式的最大值是2．
利用上面的方法，完成下面问题：
(1)比较 19− 18和 18− 17的大小；
(2)求代数式 x+1− x−1+2的最大值．
22.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形ADFE为矩形；
(2)连接OF，若AD=3，EC=2，∠ABF=60°，求OF的长．
23.(本小题10分)
在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，点D在直线AB外，且DM=AM，连接AD，BD．

(1)如图1，求证：AD⊥BD；
(2)如图2，E是边AC上一点，且ME⊥AD，DE/​/AB．
求证：四边形AEDM是菱形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：x+2≥0，
解得：x≥−2．
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵ 16< 17< 25， 16=4， 25=5，
∴4< 17<5．
故选：C．
应用放缩法，求出 17的取值范围即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是注意放缩法的应用．
3.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、4 2− 2=3 2，原计算错误，不符合题意；
C、 21÷3= 213，原计算错误，不符合题意；
D、 12=2 3，正确，符合题意，
故选：D．
根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=160°，
∴∠A=80°，
∴∠B=100°．
故选：C．
根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再由∠A+∠C=160°，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵( 3)2+( 4)2≠( 5)2，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵2+2=4<5，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵22+( 5)2=32，∴能构成直角三角形，符合题意，
故选：D．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行解答即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：“矩形的对角线相等”的逆命题是“对角线相等的四边形是矩形”，逆命题是假命题，故A符合题意；
“对角线相等的四边形是正方形”的逆命题是“正方形的对角线相等”，逆命题是真命题，故B不符合题意；
“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆命题是“平行四边形的对角线互相平分”，逆命题是真命题，故C不符合题意；
“菱形的对角线互相垂直平分”的逆命题是“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，逆命题是真命题，故D不符合题意；
故选：A．
写出各个命题的逆命题，判断是否正确即可．
本题考查的是命题与逆命题，掌握平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、矩形的性质与判定以及正方形的性质与判定是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为 16=4cm， 12=2 3cm，
∴AB=4cm，BC=(2 3+4)cm，
∴空白部分的面积=(2 3+4)×4−12−16，
=8 3+16−12−16，
=(−12+8 3)cm2．
故选：D．
根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
8.【答案】B
【解析】解：连接EF，
∵AE= 22+12= 5，EF= 22+12= 5，AF= 32+12= 10，
∴AE2+EF2=AF2，AE=EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°．
故选：B．
连接EF，利用勾股定理可求出AE，EF，EF的长度，结合勾股定理的逆定理可得AEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出EAF的度数．
本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，BC=m，DF=n(n>m)，
∴DE=12BC=12m，
∴EF=DF−BC=n−12m，
∵∠AFC=90°，
∴AC=2EF=2n−m．
故选：C．
先根据三角形中位线定理得出DE=12BC=12m，故可得出EF的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由折叠可得AE=BE，
设AE=BE=x，则CE=4−x，
在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2，
即x2=(4−x)2+32，
解得x=258，
故选：D．
在Rt△BCE中，由BE2=CE2+BC2，得到x2=(4−x)2+32，即可求解．
本题考查的是翻折变换(折叠问题)和勾股定理，明确AE=BE是本题解题的关键．
11.【答案】−3
【解析】解：∵ a+1+(b−2)2=0， a+1≥0，(b−2)2≥0，
∴a+1=0，b−2=0，
解得a=−1，b=2，
∴a−b=−1−2=−3．
故答案为：−3．
根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，即可求解．
本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：(1)绝对值；(2)偶次方；(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目．
12.【答案】2024
【解析】解：∵x−2024≥0
∴x≥2024，
∴ (2023−x)2=x−2023，
∴x−2023+ x−2024=x，
∴ x−2024=2023，
∴x−2024=20232，
∴x−20232=2024．
故答案为：2024．
根据二次根式有意义的条件得x≥2024，所以 (2023−x)2=x−2023，所以可得 x−2024=2023，即x−2024=20232，即可得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
13.【答案】40 4141
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴DO=12BD=12×10=5，CO=12AC=12×8=4，
在Rt△COD中，由勾股定理可得：
DC= CO2+DO2= 41，
∵AE⊥DC，
∴AE×DC=AC×DO，
∴AE=AC×DODC=40 4141，
即：CD边上的高AE=40 4141，
故答案为：40 4141．
首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出DC的长是多少；然后再结合△ADC的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可．
此题主要考查了菱形的性质、勾股定理的应用，以及三角形的面积的求法，解答此题的关键是求出DC的长是多少．
14.【答案】 262
【解析】解：∵AB平移得到格点线段CD，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴△APB∽△DPC，
∴APDP=ABCD=1，
即AP=DP，
∵AD= 12+52= 26，
∴AP=12AD= 262．
故答案为： 262．
先根据平移的性质得到AB/​/CD，AB=CD，则可判断△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质得到APDP=ABCD=1，然后利用勾股定理计算出AD的长，从而得到AP的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平移的性质．
15.【答案】1
【解析】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，
∴AC= BC2−AB2=8，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAG=∠FAG=45°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=∠AGF=90°，
在△ABG和△AFG中，
∠BAG=∠FAGAG=AG∠AGB=∠AGF，
∴ABG≌△AFG(ASA)，
∴AB=AF=6，BG=FG，
∴CF=AC=AF=8−6=2，
∵E是斜边BC的中点，
∴EG是△BCF的中位线，
∴EG=12CF=1．
故答案为：1．
根据勾股定理求得A=8，证明ABG≌△AFG得到AB=AF=6，BG=FG，进而得到CF=2，根据三角形中位线定理即可求出EG．
本题主考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，综合运用相关定理是解决问题的关键．
16.【答案】90
【解析】解：连接AC，
由正方形ABCD，AN=BM，CO=15，NO=12，
得△ANB≌△BMC(SAS)，
得BN⊥CM，
由AN=BM，
得ND=AM，
得△NDC的面积=△AMC的面积，
得阴影部分的面积之和=△MOB的面积+△AMC的面积=△ABC的面积−△BOC的面积=△NBC的面积−△BOC的面积=△NOC的面积=12CO⋅NO=12×15×12=90．
连接AC，由正方形ABCD，AN=BM，CO=15，NO=12，得△ANB≌△BMC(SAS)，得BN⊥CM，由AN=BM，得ND=AM，得△NDC的面积=△AMC的面积，即可得阴影部分的面积之和=△MOB的面积+△AMC的面积=△ABC的面积−△BOC的面积=△NBC的面积−△BOC的面积=△NOC的面积=12CO⋅NO=12×15×12=90．
本题主要考查了正方形中面积的求法，解题关键是正确进行转化．
17.【答案】解：(2 3− 2)2− 3( 27− 8)
=12−4 6+2−9+2 6
=5−2 6．
【解析】先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则展开，然后再合并同类二次根式即可解答．
本题主要考查了二次根式的四则混合运算、完全平方公式等知识点，灵活运用二次根式四则混合运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：原式=[m−1(m+1)(m−1)+2(m+1)(m−1)]⋅(m−1)2m+1
=m+1(m+1)(m−1)⋅(m−1)2m+1
=m−1m+1，
当m= 3−1时，原式= 3−2 3−1+1=3−2 33．
【解析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵在△BCD中，BD=1，CD=2，BC= 5，
∴BD2+CD2=12+22=( 5)2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；
(2)解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵AB=4，DB=1，
∴AD=3，
在Rt△ACD中，∵CD=2，
∴AC= AD2+CD2= 32+22= 13，
∴AC的长为 13．
【解析】(1)根据勾股定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)正方形如图1所示
(图形位置不唯一)；

(2)三角形如图2所示．
(图形位置不唯一)．
【解析】(1)直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案；
(2)直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案．
本题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键．
21.【答案】解：(1) 19− 18=1 19+ 18， 18− 17=1 18+ 17，
∵ 19+ 18> 18+ 17>0，
∴1 19+ 18<1 18+ 17，
即 19− 18< 18− 17；
(2)∵x+1≥0且x−1≥0，
∴x≥1，
∵ x+1− x−1
=( x+1− x−1)( x+1+ x−1) x+1+ x−1
=2 x+1+ x−1，
∴当x=1时，分母 x+1+ x−1有最小值 2，
∴ x+1− x−1的最大值为 2，
那么 x+1− x−1+2的最大值为 2+2．
【解析】(1)利用题干中的方法将原数变形后进行比较即可；
(2)利用题干中的方法将原式变形，结合二次根式有意义的条件即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算，平方差公式及分母有理化，将原式或原数进行正确的变形是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE/​/DF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠DFC=90°，
∴平行四边形ADFE是矩形；
(2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，CD=AB，OB=OD，
∴BE=CF=BC−EC=1，
∴BF=BC+CF=4，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，
∴∠BAE=90°−∠ABE=30°，
∴AB=2BE=2，
∴DF=AE= AB2−BE2= 22−12= 3，
∴BD= BF2+DF2= 42+( 3)2= 19，
∵∠DFB=90°，OB=OD，
∴OF=12BD= 192．
【解析】(1)证△ABE≌△DCF(SAS)，得AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，再证AE/​/DF，得四边形ADFE是平行四边形，即可得出结论；
(2)由矩形的性质得到EF=AD=3，进而求得BE=CF=1，BF=4，再由直角三角形的性质得AB=2BE=2，然后由勾股定理可求得BD= 19，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵M是边AB的中点，
∴AM=BM，
∵DM=AM，
∴AM=DM=BM，
∴∠MAD=∠MDA，∠MBD=∠MDB，
∵∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°，
∴∠MDA+∠MDB=90°，
∴AD⊥BD；
(2)∵AD⊥BD，ME⊥AD，
∴BD/​/ME，
∵DE//AB，
∴四边形EMBD为平行四边形，
∴DE=BM=AM，
∴四边形AEDM为平行四边形，
∵DM=AM，
∴平行四边形AEDM是菱形．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠MBD=∠MDB，根据三角形内角和定理得到∠MDA+∠MDB=90°，得到AD⊥BD；
(2)先证明四边形EMBD为平行四边形，得到DE=BM=AM，得到四边形AEDM为平行四边形，再根据菱形的判定定理证明．
本题考查的是菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．