2023-2024学年山东省聊城市阳谷县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年山东省聊城市阳谷县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在数轴上表示不等式−1A. B.
C. D.
2.若aA. −a<−bB. ac>bcC. a+c>b+cD. ac2>bc2
3.在下列结论中，正确的是( )
A. (−54)2=±54B. x2的算术平方根是x
C. −x2一定没有平方根D. 9的平方根是± 3
4.下列各组数中，不能组成直角三角形的是( )
A. 7，24，25B. 9，12，15C. 1， 2，3D. 5，12，13
5.菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A. 四条边相等，四个角相等B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
6.已知|a|=5， b2=7，且|a+b|=a+b，则a−b的值为( )
A. 2或12B. 2或−12C. −2或12D. −2或−12
7.若k< 90A. 6B. 7C. 8D. 9
8.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为( )
A. 2
B. 2 2
C. 2+1
D. 2 2+1
9.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为( )
A. 66°
B. 104°
C. 114°
D. 124°
10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( )
A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减少
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在实数43，−0.3， 6，π2，0.1010010001，325中，无理数的个数是______．
12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为______．
13.如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D、E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为12米，则AB的长为______米.
14.定义一种新运算：对于任意实数x和y，规定xΦy=xy2+2x−3y，如：1Φ3=1×32+2×1−3×3=2.若mΦ2≥0，则m的取值范围为______．
15.在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB=______．
16.不等式组2(x+1)<3x−6x<4m无解，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知2a−3的平方根为±3，a+b−2的算术平方根为4，求a+16b的立方根．
18.(本小题10分)
(1)解不等式：x−32−1>x．
(2)解不等式组并写出它的整数解：4(x−1)≤7x+2x+219.(本小题10分)
如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN.求证：四边形EFMN是正方形．
20.(本小题10分)
为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球.已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
(1)足球和篮球的单价各多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
21.(本小题10分)
明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长度．
22.(本小题12分)
如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE//BD，过点D作DE//AC，CE与DE相交于点E．
(1)求证：四边形CODE是矩形；
(2)若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长．
23.(本小题12分)
先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式(3x−6)(2x+4)>0．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①3x−6>02x+4>0或②3x−6<02x+4<0．
解不等式组①得x>2，解不等式组②得x<−2．
所以一元二次不等式(3x−6)(2x+4)>0的解集是x>2或x<−2．
(1)求不等式(2x+8)(3−x)<0的解集；
(2)求不等式5x+154−2x≥0的解集．
24.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−1∴在数轴上表示为：
故选：C．
把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：a−b，故A错误，不符合要求；
abc，故B正确，符合要求；
aa故选：B．
根据不等式的性质进行判断即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．
3.【答案】D
【解析】解：A． (−54)2=54，故错误；
B.x2的算术平方根是|x|，故错误；
C.−x2，当x=0时，平方根为0，故错误；
D. 9的平方根为± 3，正确．
故选：D．
根据平方根的意义逐项判断．
本题考查了平方根与算术平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、72+242=252，能构成直角三角形，不符合题意；
B、92+122=152，能构成直角三角形，不符合题意；
C、12+( 2)2≠32，不能构成直角三角形，符合题意；
D、52+122=132，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查菱形的性质、矩形的性质以及正方形的性质．
根据菱形，矩形，正方形具有的性质依次判断选项即可．
【解答】
A项，矩形四边不相等，菱形四角不相等，故A项错误;
B项，菱形对角线不相等，故B项错误;
C项，矩形对角线不互相垂直，故C项错误;
D项，菱形、矩形、正方形的对角线都互相平分，故D项正确，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵|a|=5，
∴a=±5，
∵ b2=7，
∴b=±7，
∵|a+b|=a+b，
∴a+b>0，
所以当a=5时，b=7时，a−b=5−7=−2，
当a=−5时，b=7时，a−b=−5−7=−12，
所以a−b的值为−2或−12．
故选：D．
首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|=a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．
此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0.也利用了算术平方根的定义．
7.【答案】D
【解析】解：∵k< 90 81< 90< 100，
即9< 90<10，
∴k=9．
故选：D．
根据 81=9， 100=10，可知9< 90<10，依此即可得到k的值．
本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算 90的取值范围，从而解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD= 1=1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=12BC=12，CF=12CD=12，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF= 2CE= 22，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× 22=2 2；
故选：B．
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD= 1=1，∠BCD=90°，CE=CF=12，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°，
∴∠B=180°−∠2−∠BAC=180°−44°−22°=114°；
故选：C．
由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=12∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选C．
连接AP，先判断出四边形AFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP，再根据垂线段最短可得AP⊥BC时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出AP⊥BC时，线段EF的值最小是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：在实数43，−0.3， 6，π2，0.1010010001，325中，是无理数的有： 6，π2，325，
∴是无理数的有3个，
故答案为：3．
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可．
本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
12.【答案】4
【解析】解：∵ABCD是矩形
∴OC=OA，BD=AC
又∵OA=2，
∴AC=OA+OC=2OA=4
∴BD=AC=4
故答案为：4．
因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求．
本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．
13.【答案】24
【解析】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴AB=2DE=2×12=24(米)．
故答案为：24．
应用三角形的中位线定理，计算得结论．
本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决本题的关键．
14.【答案】m≥1
【解析】解：根据题意，得m×22+2m−3×2≥0，
解得m≥1．
故答案为：m≥1．
先根据新定义确定不等式，再求出解集．
本题主要考查了定义新运算，解不等式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
15.【答案】8或3
【解析】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC//AD，CD=AB，CD//AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF−EF=2AB−EF=2AB−5=11，
∴AB=8；
②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC//AD，CD=AB，CD//AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB=BE=CF=CD．
16.【答案】m≤2
【解析】解：不等式组整理得：x>8x<4m，
由不等式组无解，得到4m≤8，
解得：m≤2，
则m的取值范围是m≤2．
故答案为：m≤2．
根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
17.【答案】解：∵2a−3的平方根为±3，
∴2a−3=9，
∴a=6，
∵a+b−2的算术平方根为4，
∴a+b−2=16，
∵a=6，
∴6+b−2=16，
∴b=12，
∴a+16b=6+16×12=8，
∴a+16b的立方根是2．
【解析】根据平方根的定义，即可得到2a−3=9，然后即可求得a的值；同理可以得到6+b−2=16，即可得到b的值，进而求得答案．
本题主要考查了平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根，算术平方根的定义．
18.【答案】解：(1)x−32−1>x，
去分母得：x−3−2>2x，
移项得：x−2x>3+2，
合并同类项得：−x>5，
系数化为1得：x<−5．
(2)4(x−1)≤7x+2①x+2解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1，
∴不等式组的整数解为−2，−1，0．
【解析】(1)按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；
(2)先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键．
19.【答案】解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=DM=CF=BE．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
∴EF=EN=NM=MF，∠ENA=∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA=∠DMN，∠DMN+∠DNM=90°，
∴∠ENA+∠DNM=90°．
∴∠ENM=90°．
∴四边形EFMN是正方形．
【解析】通过证明△AEN，△DNM，△MCF，△FBE全等，先得出四边形ENMF是菱形，再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形的结论．
本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】解：设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，
根据题意可得：2x+y=2103x+2y=360，
解得：x=60y=90，
答：足球的单价60x元、篮球的单价为90元，
(2)设学校最多可以购买m个篮球，则买(100−m)个足球，
90m+60(100−m)≤7200，
解得：m≤40，
∴学校最多可以购买40个篮球，．
【解析】(1)设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，根据“2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．”列方程组即可解决；
(2)设学校最多可以购买m个篮球，则买(100−m)个足球，由“足球和篮球的总费用不超过7200元，”得不等式90m+60(100−m)≤7200即可解决．
本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，理解题意找准数量关系是解决问题的关键．
21.【答案】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC−AC=5−1=4(尺)，OE=OA−AE=(x−4)尺，
在Rt△OEB中，OE=(x−4)尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=(x−4)2+102，
整理得：8x=116，
解得：x=14.5．
则秋千绳索的长度额14.5尺．
【解析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设OA=OB=x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
22.【答案】解：(1)如图，∵四边形ABCD为菱形，
∴∠COD=90°；而CE//BD，DE//AC，
∴∠OCE=∠ODE=90°，
∴四边形CODE是矩形．
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=OC=12AC=3，OD=OB，∠AOB=90°，
由勾股定理得：
BO2=AB2−AO2，而AB=5，
∴DO=BO=4，
∴四边形CODE的周长=2(3+4)=14．
【解析】(1)如图，首先证明∠COD=90°；然后证明∠OCE=∠ODE=90°，即可解决问题．
(2)如图，首先证明CO=AO=3，∠AOB=90°；运用勾股定理求出BO，即可解决问题．
该题主要考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握菱形的性质、矩形的性质，这是灵活运用解题的基础和关键．
23.【答案】解：(1)(2x+8)(3−x)<0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得①2x+8>03−x<0或②2x+8<03−x>0，
解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x<−4，
∴不等式(2x+8)(3−x)<0的解集x>3或x<−4；
(2)5x+154−2x≥0
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，
得①5x+15≥04−2x>0或②5x+15≤04−2x<0，
解不等式①得：−3≤x<2，
解不等式②得：不等式组无解，
∴不等式5x+154−2x≥0的解集为−3≤x<2．
【解析】(1)由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；
(2)由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)∵在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，
∴BC=AD=16cm，AB=CD=8cm，
由已知可得，BQ=DP=tcm，AP=CQ=(16−t)cm，
在矩形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，
当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t=16−t，得t=8，
故当t=8s时，四边形ABQP为矩形；
(2)∵AP=CQ，AP//CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形
即 82+t2=16−t时，四边形AQCP为菱形，解得t=6，
故当t=6s时，四边形AQCP为菱形；
(3)当t=6s时，AQ=CQ=CP=AP=16−6=10(cm)，
则周长为4×10=40(cm)；
面积为10×8=80(cm2).
【解析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
(1)当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
(2)当四边形AQCP是菱形时，AQ=CQ，列方程求得运动的时间t；
(3)菱形的四条边相等，则菱形的周长=4×10，根据菱形的面积公式求出面积即可．

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