2023-2024学年广东省阳江市江城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省阳江市江城区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次根式 x−3中x的取值可以是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 4B. 6C. 0.1D. 12
3.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 1, 3,2B. 0.3，0.4，0.5C. 5，6，8D. 9，12，15
4.下列计算正确的是( )
A. 2 3+3 2=5 5B. 2 2− 2=1
C. 27÷3= 3D. (3 2)2=6
5.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对边相等，另一组对边平行B. 一组对边平行，一组对角相等
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直
6.若 2× 6x是整数，则整数x的值是( )
A. 1或3B. 3或6C. 3或12D. 6或12
7.如图，在矩形ABCD中，AO=13，CD=10，则AD=( )
A. 24
B. 23
C. 20
D. 12
8.下列命题的逆命题成立的是( )
A. 正方形的四个内角都是直角B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 若a=b，则 a2= b2
9.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于( )
A. 245B. 125C. 5D. 4
10.如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且AE：EB=3：1，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H.以下四个结论：①G=12EH；②△DFE是直角三角形；③DE=EH；④EB+CD=DE.其中正确结论的个数( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.比较大小：3 5 ______7.
12.最简二次根式 m+1与2 3可以合并，则m= ______．
13.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是AD的中点，若AB=10，则EF=______．
15.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC等于______度.
16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，DF=12CF，求阴影部分的面积______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算： 18−3( 2− 13)．
18.(本小题4分)
如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO=6，BO=8，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C.求OC的长．
19.(本小题6分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OD、OB的中点，连接CE、AF.求证：CE=AF．
20.(本小题6分)
已知a= 7+1，b= 7−1，求a2+b2的值．
21.(本小题8分)
如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC=5km，BC=12km，AB=13km，∠1=30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为3km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？
22.(本小题10分)
如图，矩形ABCD沿着直线EF对折，点D恰好落与BC边上的点H重合，HC=16，AB=8．
(1)判断△EFH的形状，并说明理由；
(2)求△EFH的面积．
23.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，AD//BC，BC=12AD，E为AD的中点，连接BD，BE．
(1)求证：四边形BCDE为菱形．
(2)连接AC，若AC⊥BE，BC=4，求BD的长．
24.(本小题12分)
在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题：
已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.他是这样解答的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，
∴a−2=− 3，
∴(a−2)2=3a2−4a+4=3
∴a2−4a=−1
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小光的解题过程，解决如下问题：
(1)1 2+1= ______；
(2)化简1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 225+ 224；
(3)若a=1 10+3，求a4+6a3+6a+2023的值．
25.(本小题12分)
问题情境：
(1)数学活动课上，小明向同学们提出了这样一个问题：如图．
(1)，在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系；
解决问题：
(2)小亮受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图(2)，AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小亮的结论；
拓展探究：
(3)小宇在小亮结论的基础上进行了探究，并提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小宇提出的这个问题，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：依题意，得x−3≥0，
解得：x≥3．
∴二次根式 x−3中x的取值可以是3．
故选：D．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了二次根式的意义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：A、 4=2，不是最简二次根式，故不符合题意；
B、 6是最简二次根式，故不符合题意；
C、 0.1= 110= 1010，不是最简二次根式，故不符合题意；
D、 12= 22，不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵ 3不是整数，∴不是勾股数，此选项不符合题意；
B、0.3，0.4，0.5都不是整数，∴不是勾股数，此选项不符合题意；
C、∵52+62≠82，∴不是勾股数，此选项不符合题意．
D、∵92+122=152，∴是勾股数，此选项符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
本题考查勾股数，注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
4.【答案】C
【解析】解：A、2 3+3 2≠5 5，故选项A不符合题意；
B、2 2− 2= 2，故选项B不符合题意；
C、 27÷3=3 3÷3= 3，故选项C符合题意；
D、(3 2)2=9×2=18，故选项D不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、一组对边平行，一组对角相等，得出另一组对边平行，所以一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
6.【答案】C
【解析】解： 2× 6x= 12x，
则当整数x为3或12时， 2× 6x为整数，
故选：C．
根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质把原式变形，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=13，
∴∠ADC=90°，AC=2AO=26，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD= AC2−CD2= 262−102=24．
故选：A．
根据矩形的性质得出∠ADC=90°，AC=2AO=26，根据勾股定理求出AD即可．
本题考查了矩形的性质和勾股定理，能求出∠ADC=90°和AC=2AO是解此题的关键，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分．
8.【答案】C
【解析】解：A、逆命题为：四个内角都是直角的四边形是正方形，不成立，不符合题意；
B、逆命题为对角线相等的四边形为矩形，不成立，不符合题意；
C、逆命题为平行四边形的对角线互相平分，成立，符合题意；
D、逆命题为若 a2= b2，则a=b，不成立，不符合题意．
故选：C．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD=12×AC×BD=AB×DH是解此题的关键．
根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=12×AC×BD=AB×DH，
∴12×8×6=5×DH，
∴DH=245，
故选A．
10.【答案】D
【解析】解：设正方形边长为4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4a，∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵AE：EB=3：1，点F是BC的中点，
∴AE=3a，EB=a，CF=FB=2a，
∴DE= AD2+AE2= (4a)2+(3a)2=5aEF= EB2+BF2= 5a，DF= CD2+CF2=2 5a，
∵DF2+FE2=25a2，DE2=25a2，
∴DF2+EF2=ED2，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是直角三角形，故②正确；
∵DG=GE，DF=FH，
∴GF是△DEH中位线，
∴GF=12EH，故①正确；
在Rt△DFE中，
∵DG=GE=GF，
∴FG=12DE，
∵GF=12EH，
∴DE=EH，故③正确；
∵DE=4a，EB+BC=a+4a=5a，
∴DE=EB+BC，故④正确；
故选：D．
设正方形边长为4a，求出DE、EF、DF，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确．
本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】<
【解析】解：∵(3 5)2=45