2024长沙南雅中学高二下学期第二次月考（5月）数学试题含答案

这是一份2024长沙南雅中学高二下学期第二次月考（5月）数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值：150分
命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ）
A.与B.与
C.与D.与
3.已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A.B.5C.D.2
4.已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
5.设，，，则（ ）
A.B.C.D.
6.一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（ ）
A.9种B.12种C.18种D.24种
7.已知、，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A.2B.4C.D.
8.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A.12B.13C.14D.15
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A.这10年粮食年产量的极差为16
B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C.这10年粮食年产量的平均数为33.7
D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
10.若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）
A.
B.平面平面
C.三棱锥的体积为
D.三棱锥的外接球的表面积为
11.已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的图象关于点对称
B.
C.
D.函数与函数的图象有8个不同的公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为______.
13.已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______.
14.有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用.已知维向量，其中，.记范数为奇数的的个数为，则______；______.（用含的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且.
（1）求角；（6分）
（2）若，，求的面积.（7分）
16.已知函数是定义域为的偶函数.
（1）求的值；（5分）
（2）若，求函数的最小值.（10分）
17.设椭圆的左右顶点分别为，，左右焦点，.已知，.
（1）求椭圆方程.（5分）
（2）若斜率为1的直线交椭圆于，两点，与以，为直径的圆交于，两点.若，求直线的方程.（10分）
18.“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布.
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于的牡蛎的可能性有多大？（6分）
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量（人）与年收益增量（万元）的数据如下：
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量做变换，令，则，且有，，，.
（i）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程（精确到0.1）；（5分）
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量.（6分）
附：若随机变量，则，；样本的最小二乘估计公式为：，，.
19.已知数列：的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为.
（1）若数列：，且，，求数列和集合；（6分）
（2）若是递增的等差数列，求的值（用表示），并说明理由；（5分）
（3）请你判断是否存在最大值，并说明理由。（6分）
南雅中学2024年上期第二次月考试题
高二数学
时量：120分钟 分值：150分
命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
【详解】因为、，直线：，：，且，
所以，即，所以，所以，
所以，当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值为，故选：D
8.【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】ACD10.【答案】CD
11.【答案】ABD
【解析】由得函数关于对称，A正确；
由得函数关于对称，
所以，
所以，即，
所以，故函数的周期为4，
由知，
又时，，所以，解得，
所以时，，
所以，B正确；
，C错误；
画出函数和函数的图象，如图：
，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】6413.【答案】
14.【答案】①.40 ②.（第1空2分，第2空3分）
【详解】根据乘法原理和加法原理得到.
奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为，
根据乘法原理和加法原理得到，
两式相减得到.
故答案为：40；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】解：（1）因为向量，，且，
所以，由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，所以；
（2）由余弦定理得，因为，，
所以，即
因为，所以，
故的面积为.
16.【答案】（1）3；（2）
【解析】（1），则，
因为是定义域为的偶函数，则，
即对任意恒成立，则；
（2）由（1）知，
则，
令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
则原函数化为：，
①当即时，在上单调递增，
则，即，
②当，即时，
在单调递减，在单调递增，
则；
即，
综上所述，.
17.【解析】（1）由题意，，，
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）设直线为，，，
由题意，以为直径的圆的方程为，
则圆心到直线的距离，即，
所以，
由，消去，整理得，
，解得，
又，所以，，，
，
因为，所以，
解得，
又，所以，
所以直线的方程为：或.
18.【答案】解：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量，则，，
由正态分布的对称性可知，
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于的牡蛎为只，故，
故
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于的牡蛎的可能性仅为.
（2）（i）由，，，，
有，
且，
所以，模型②中关于的回归方程为.
（ii）由表格中的数据，有，
即模型①的小于模型②，
说明回归模型②刻画的拟合效果更好.
当时，模型②的收益增量的预测值为（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠.
19.【答案】（1）：，；
（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析.（只有结论，没任何举例说明得半分）
【小问1详解】
由：，且，得，，均不相等，
则2，，都是集合中的元素，而，
于是，解得，，
所以数列：，.
【小问2详解】
因为为递增的等差数列，设的公差为，
当时，，则，
所以.
【小问3详解】存在最大值，理由如下：
依题意，集合中的元素个数最多为个，即，取：，此时，
若存在，则，其中，
故，若，
不妨设，
则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
即有，，因此由：得到的彼此相异，
于是，即的最大值为，所以必有最大值.
人工投入增量（人）
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量（万元）
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2