2024岳阳汨罗一中高二下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2024岳阳汨罗一中高二下学期5月月考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了已知A，已知函数f，已知某圆锥的内切球等内容，欢迎下载使用。

1．已知U＝R是实数集，M＝{x|＞1}，N＝{x|y＝}，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．（0，1）B．（0，1]C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，0）
2．已知四组不同数据的两变量的线性相关系数r如下：数据组①的相关系数r1＝0；数据组②的相关系数r2＝﹣0.95；数据组③的相关系数|r3|＝0.89；数据组④的相关系数r4＝0.75．则下列说法正确的是（ ）
A．数据组①对应的数据点都在同一直线上
B．数据组②中的两变量线性相关性最强
C．数据组③中的两变量线性相关性最强
D．数据组④中的两变量线性相关性最弱
3．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A．168种B．156种C．172种D．180种
4．在等差数列{an}中，若a4+a7+a10＝10，则a3+a11＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．已知A（﹣3，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝+（λ∈R），则λ的值为（ ）
A．1B．C．D．
6．已知函数f（x）＝xm+lnx，若＝﹣2，则m＝（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣5
7．已知x＞0，y＞0，x3+y3＝x﹣y，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
8．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．32πB．28πC．24πD．20π
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．已知数列{an}满足a1＝1，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．{an}的通项公式为
C．{an}为递增数列
D．的前n项和
（多选）10．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝2，S4＝14，则（ ）
A．{an}是递增数列B．a1＝8
C．S5＝a2a3D．|Sn|的最小值为3
（多选）11．甲中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
（多选）12．已知函数f（x）＝πcsx﹣x2+2πx，则（ ）
A．f（x）在上单调递增
B．f（x）在上单调递减
C．∀x∈R，f（x）＜8
D．f（x）的极小值大于0
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．给出下列四个结论：
①若角α为第一象限的角，则角α必为锐角；
②对任意的复数z，都有；
③设α是空间一个平面，m，n是空间两条不同的直线，且m⊂α．则“n∥m”是“n∥α”的充分条件；
④在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB．
所有正确的结论序号为 ．
14．已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，若f（x）具有下列性质：①f（x）的值域为（﹣∞，1]；②f'（x）为奇函数；③对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f'（x1+x2）＝f'（x1）+f'（x2）．则f（x）的一个解析式为f（x）＝ ．
15．若点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，点M是棱A1D1的中点，当AP⊥DM时，线段AP长度的最大值为 ．
16．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子•天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识．已知长度为4的线段AB，取AB的中点C，以AC为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为S1，在图①中取CB的中点C1，以CC1为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为S2，以此类推，则S3＝ ；＝ ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（12分）
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．
18．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn．（12分）
（1）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求{an}的通项公式；
①a1＝1，{2﹣Sn}是等比数列；
②S2＝2a3+1，S3＝6a4+1．
（2）在（1）的条件下，若bn＝a3n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．某超市为了回馈新老顾客，决定在2023年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某中学学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η．（12分）
（1）求P（ξ＝3）；
（2）凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值20元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．
20．某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐．该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量y（单位：千辆）与月份x的关系，统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值．（12分）
表中．
（1）根据散点图判断两变量x，y的关系用y＝a+bx与y＝c+dx2哪一个比较合适？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（的值精确到0.1），并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于3.6万辆？
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
21．已知抛物线E：y2＝4x，过点Q（2，0）作直线与抛物线E交于A，B两点，点P是抛物线上异于A，B两点的一动点，直线PA，PB与直线x＝﹣2交于M，N两点．（12分）
（1）证明：M，N两点的纵坐标之积为定值；
（2）求△MNQ面积的最小值．
22．已知函数f（x）＝（x+1）e1﹣x．（10分）
（1）求f（x）的极大值；
（2）设m，n是两个不相等的正数，且（m+1）en+（n+1）em＝4em+n﹣1，证明：m+n＜2．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：ABBDD 6-8:BCA
二．多选题（共4小题）
9：ABD．
10：BCD．
11：ABD．
12：ACD．
三．填空题（共4小题）
13：②④．
14：﹣x2+1（答案不唯一）．
15：3
16：；×[﹣+]．
四．解答题（共6小题）
17【解答】解：（1）因为，所以，
由正弦定理得，
所以，
即．
又A∈（0，π），所以sinA≠0，
所以sinC＝csC，则tanC＝＝．
由C∈（0，π），得．
（2），所以ab＝40．
在△BCD中，由余弦定理得：，
当且仅当且ab＝40，即时取等号，
所以BD的最小值为．
18【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，q≠0，
若选①，根据{2﹣Sn}是等比数列可知，
又a1＝1，故，
故S1＝1，S2＝1+q，，
故（2﹣1﹣q）2＝（2﹣1）（2﹣1﹣q﹣q2），
即1﹣2q+q2＝1﹣q﹣q2，解得，
故，
此时，故{2﹣Sn}即为等比数列符合题意，故；
若选②，由S2＝2a3+1，S3＝6a4+1可得S3﹣S2＝a3＝6a4﹣2a3，
即，故，
故，解得a1＝1，
故；
（2），
故．
19．【解答】解：（1）64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，
∴．
（2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为30，20，10，0，
，
，
，
，
所以随机变量η的分布列为：
∴．
20．【解答】解：（1）由散点图可知，图中点的分布不是一条直线，相邻两点的纵坐标的差值是增大趋势，
故y＝c+dx2比较合适．
（2）令t＝x2，
设y关于t的回归方程为y＝c+dt，
则，
，，
则＝，，
故y关于t的回归方程为y＝4+0.5t，
令4+0.5x2≥36，解得x≥8或x≤﹣8（舍去），
故估计从今年8月份期该地区的月销售量不低于3.6万辆．
21【解答】解：（1）证明：设直线AB的方程为x＝my+2，联立抛物线方程y2＝4x，
可得y2﹣4my﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（s，t），
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，
直线PA的斜率为＝＝，
则直线PA的方程为y﹣t＝（x﹣s），
令x＝﹣2，可得y＝t+（﹣2﹣s）＝，
M（﹣2，），
同样可得N（﹣2，），
可得M，N两点的纵坐标之积为＝＝y1y2＝﹣8，即为定值﹣8；
（2）△MNQ面积为S＝•4•|MN|＝2|MN|＝2|yM﹣yN|＝2|yM+|≥4＝8，
当且仅当yM＝±2，△MNQ的面积取得最小值8．
22．【解答】（1）解：因为的定义域为，
当x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
所以，函数f（x）的极大值为f（0）＝e；
（2）证明：因为（m+1）en+（n+1）em＝4em+n﹣1，
则，即f（m）+f（n）＝4，
由（1）知，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
因为m、n是两个不相等的正数，且满足f（m）+f（n）＝4，不妨设0＜m＜1＜n，
构造函数g（x）＝f（x）+f（2﹣x），则，
令h（x）＝g′（x），则，
当0＜x＜1时，1﹣x＞0＞x﹣1，则h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，
当x＞1时，x﹣1＞0＞1﹣x，则h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，
又因为函数h（x）在（0，+∞）上连续，故函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）＝0，即g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，1）上为增函数，
故f（2﹣m）+f（m）＝g（m）＜g（1）＝4＝f（m）+f（n），所以，f（n）＞f（2﹣m），
∵2﹣m＞1且n＞1，函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，故n＜2﹣m，则m+n＜2．
9.5
29.5
185.6
η
30
20
10
0
P