2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市汇文中学教育集团高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=−2+i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(2,1)，b=(4,x)，且a/​/b，则x的值为( )
A. −2B. 2C. −8D. 8
3.在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A=120°，a=2，b=2 33，则B=( )
A. π3B. 5π6C. π6或5π6D. π6
4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为( )
A. 33πB. πC. 2πD. 2π
5.已知P为△ABC所在平面内一点，BC=2CP，则( )
A. AP=−12AB+32ACB. AP=13AB+23AC
C. AP=32AB−12ACD. AP=23AB+13AC
6.已知非零向量a，b，则“|a−b|=|b|”是“a−2b=0”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2acsB=c，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
8.对于非零向量m，n，定义运算“×”：m×n=|m||n|sinθ，其中θ为m，n的夹角．设a，b，c为非零向量，则下列说法错误的是( )
A. a×b=b×aB. (a+b)×c=a×c+b×c
C. 若a×b=0，则a/​/bD. a×b=(−a)×b
9.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=AB，P为棱A1B1的中点，Q为线段A1C上的动点.以下结论中正确的是( )
A. 存在点Q，使BQ/​/AC
B. 不存在点Q，使BQ⊥B1C1
C. 对任意点Q，都有BQ⊥AB1
D. 存在点Q，使BQ//平面PCC1
10.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为( )
A. asin53°2sin47∘B. 2sin47°asin53∘
C. atan26.5°tan73.5°tan47∘D. asin26.5°sin73.5°sin47∘
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知复数z=i(1+i)，则z−= ______；|z|= ______．
12.已知向量a=(1,−1)，b=(−2,1)，则2a+b= ______；向量a在b上的投影向量的坐标为______．
13.正四面体ABCD中，二面角A−BC−D大小的余弦值为______．
14.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(m,0)(m>0)，则cs= ，若B是以OA为边的矩形的顶点，则m= ．
15.若△ABC的面积为 34(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则∠B= ；ca的取值范围是 ．
16.如图矩形ABCD中，AB=2BC=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列叙述正确的有______(写出所有序号)．
①BM是定值；
②一定存在某个位置，使CE⊥DA1；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB/​/平面A1DE．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．
(Ⅰ)求证：EF/​/平面PAD；
(Ⅱ)求证：EF⊥CD．
18.(本小题14分)
已知f(x)= 3sin2x+2cs2x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
19.(本小题14分)
如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF/​/DE，DE=3AF．
(1)求证：平面BAF//平面CDE；
(2)求证：平面EAC⊥平面EBD；
(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM/​/平面BEF，并证明你的结论．
20.(本小题14分)
已知在△ABC中，sin2A=sinBsinC．
(1)若∠A=π3，求∠B的大小；
(2)若bc=1，求△ABC的面积的最大值．
21.(本小题14分)
对于数集X={−1,x1,x2,…x}，其中0