2023-2024学年江西省南昌市新建区八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌市新建区八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 2，3，4C. 4，5，6D. 8，9，10
2.在▱ABCD中，若AB=4，AD=3，则▱ABCD的周长为( )
A. 7B. 10C. 11D. 14
3.下列命题是假命题的是( )
A. 有一组邻边相等的矩形是正方形B. 菱形的对角线垂直平分
C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 矩形的对角线垂直平分
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=6cm，D是AC的中点，则BD的长为( )
A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm
5.如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且AC=8，BD=6，依次取AB，BC，CD，AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是( )
A. 12
B. 16
C. 24
D. 48
6.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，已知AD=6(正方形的四条边都相等，四个内角都是直角)，DF=2，则S△AEF=( )
A. 6
B. 12
C. 15
D. 30
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=140°，则∠B=______．
8.在平面直角坐标系中，点A(−6,8)到原点的距离为______．
9.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=4 3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为______．
10.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为(滑轮部分忽略不计)为______m.
11.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点.若AB=13，△ABC的周长是36，则PB+PH的最小值为______．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，P为矩形边AD上一动点，连接OP.若△AOP为直角三角形，则AP的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，求证：
(1)四边形DEBF是平行四边形；
(2)DE=BF．
14.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，DA=1．
(1)求∠DAB的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
15.(本小题6分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm.求：
(1)AB的长度；
(2)EF的长度．
16.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，E为BC的中点.请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)：
(1)在图1中，画出△ABC的AC边上的中线．
(2)在图2中，画出△ACD中与AD平行的中位线．
17.(本小题6分)
如图，已知AB/​/CD，点E，F分别是CD，AB上的点，且CF是AE的垂直平分线，交AE于点O.求证：四边形ACEF是菱形．
18.(本小题8分)
如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D在格点上．
(1)四边形ABCD的周长为______；
(2)求证：∠BAD是直角．
19.(本小题8分)
如图，某县内连接三个乡镇A、B、C之间的公路分别是AB=6km，AC=8km，BC=10km.鉴于三个乡镇之间地势平坦，为构建乡镇交通网络，方便群众出行，该县计划从A镇新修一条公路直达公路BC，该段公路造价为10万元/km．
(1)判断公路AB和AC的位置关系，并说明理由；
(2)求新修的公路的最低造价．
20.(本小题8分)
数学概念
我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形．
回忆旧知
(1)在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称：______．
知识运用
(2)已知图中四边形ABCD是等对角线四边形，图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN的边KL//MN//AC，ML//NK//BD，则______

A.四边形EFGH、KLMN都是等对角线四边形
B.四边形EFGH、KLMN都不一定是等对角线四边形
C.四边形EFGH是等对角线四边形，四边形KLMN不是等对角线四边形
D.四边形EFGH不是等对角线四边形，四边形KLMN是等对角线四边形
概念证明
(3)规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形．
已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD≠BC，AB=CD．
求证：等腰梯形ABCD是等对角线四边形．
21.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，连接AE，以AE为边，作正方形AEFG(点A，E，F，G按顺时针排列)．

(1)如图1，当点E在线段CD上时，若CE=3，连接BG．
①求点G到AB的距离；
②请直接写出BG的长；
(2)当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时(不与点D重合)，求正方形AEFG的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、能，因为32+42=52；
B、不能，因为22+32≠42；
C、不能，因为42+52≠62；
D、不能，因为82+92≠102．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理解答．
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
2.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=3，
∴▱ABCD的周长=2(AB+BC)=2(4+3)=14；
故选：D．
由平行四边形的性质得出CD=AB=4，AD=BC=3，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质以及周长的计算；熟记平行四边形的对边相等是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；
B、菱形的对角线垂直平分，是真命题，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，不符合题意；
D、矩形的对角线相等且平分，是假命题，符合题意；
故选：D．
根据矩形的性质与判定，菱形的性质，正方形的判定条件逐一判断即可．
本题主要考查了判断命题真假，矩形的性质与判定，菱形的性质，正方形的判定，熟知矩形的性质与判定，菱形的性质，正方形的判定是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=90°，D是AC的中点，
∴BD=AD=CD=12AC，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6cm，
故选：D．
由∠ABC=90°，D是AC的中点，得BD=AD=CD=12AC，从而可证△ABD是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
5.【答案】A
【解析】解：∵点M，Q分别是AB，AD的中点，且BD=6，
∴MQ//BD,MQ=12BD=3，
同理可得：PN//BD,PN=12BD=3，MN//AC,MN=12AC=4，
∴MQ//PN，MQ=PN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴MQ⊥AC，
又∵MN/​/AC，
∴MQ⊥MN，
∴平行四边形MNPQ是矩形，
∴四边形MNPQ的面积是MQ⋅MN=3×4=12，
故选：A．
先根据三角形中位线定理可得MQ//BD,MQ=12BD=3，PN//BD,PN=12BD=3，MN//AC,MN=12AC=4，从而可得MQ//PN，MQ=PN，再根据平行四边形的判定可得四边形MNPQ是平行四边形，然后根据平行线的性质可得MQ⊥MN，根据矩形的判定可得平行四边形MNPQ是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6.【答案】C
【解析】解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC=6，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AH⊥AE，
∴∠HAE=∠BAD=90°，
∴∠HAD=∠BAE，
在△ADH和△ABE中，
∠DAH=∠BAEAD=AB∠ADH=∠B=90°，
∴△ADH≌△ABE(ASA)，
∴BE=HD，AH=AE，
∵∠EAF=45°，
∴∠HAF=∠EAF=45°，
在△AFH和△AFE中，
AF=AF∠FAH=∠FAEAH=AE，
∴△AFH≌△AFE(SAS)，
∴EF=HF，
∵DF=2，
∴CF=4，
∵EF2=CE2+CF2，
∴(2+BE)2=16+(6−BE)2，
∴BE=3，
∴HF=HD+DF=5，
∵△AFH≌△AFE，
∴S△AEF=S△AFH=12×HF×AD=12×5×6=15，
故选：C．
过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，由“ASA”可证△ADH≌△ABE，可得BE=HD，AH=AE，由“SAS”可证△AFH≌△AFE，可得EF=HF，利用勾股定理可求BE的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7.【答案】110°
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°，
∴∠B=110°．
故答案为：110°．
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
8.【答案】10
【解析】解：点A(−6,8)到原点的距离为： (−6)2+82=10，
故答案为：10．
利用两点间的距离公式进行求解即可．
此题考查了勾股定理以及平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键．
9.【答案】4
【解析】解：在Rt△ADB中，∠B=45°，BD=4 3，
∴AD=BD=4 3，
则AC=ADsinC=4 3 32=8，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AC=4，
故答案为：4．
根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据正弦的定义求出AC，根据三角形这中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】17
【解析】解：设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
即(x−2)2+82=x2，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：17．
根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
11.【答案】12
【解析】解：连接AP，AH．
∵AB=AC=13，△ABC的周长为36，
∴BC=36−2×13=10．
∵H是BC的中点，
∴BH=12BC=5．
∵△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，
∴AH⊥BC，
∴AH= AB2−BH2= 132−52=12．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线MN的对称点为点A，
∴AP=BP，
∴BP+PH=AP+PH≥AH，
∴AH的长为PB+PH的最小值，
∴PB+PH的最小值为12．
故答案为：12．
连接AP，AH，先求出BC，BH的长．由于△ABC是等腰三角形，点H是BC边的中点，故AH⊥BC，再根据勾股定理求出AH的长，由MN是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线MN的对称点为点A，故AH的长为PB+PH的最小值，由此即可得出结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
12.【答案】4或6.25
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC= 62+82=10，∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°，AD=BC=8，AB=CD=6，
∴AO=12AC=5，
当∠APO=90°时，△AOP为直角三角形，
∵∠APO=∠ADC=90°，∠OAP=∠CAD，
∴△APO∽△ADC，
∴OAAC=APAD，即510=AP8，
解得AP=4，
当∠AOP=90°时，△AOP为直角三角形，
∵∠AOP=∠ADC=90°，∠OAP=∠CAD，
∴△AOP∽△ADC，
∴OAAD=APAC，即58=AP10，
解得AP=6.25，
综上，OP的长为4或6.25．
故答案为：4或6.25．
根据相似三角形的判定及性质分两种情况分别作图即可求解．
此题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用．
13.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC/​/AB，DC=AB，
又∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=EB，DF/​/EB，
∴四边形FDEB是平行四边形，
∴DE=BF；
(2)∵四边形FDEB是平行四边形，
∴DE=BF．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，即可得DC/​/AB，DC=AB，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可得四边形DEBF是平行四边形，进而得出答案；
(2)直接利用平行四边形的性质得出答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质，正确应用平行四边形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】解：(1)连结AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC=2 2，∠BAC=45°，
∵AD=1，CD=3，
∴AD2+AC2=12+(2 2)2=9，CD2=9，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°．
(2)在Rt△ABC中，S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×2×2=2，
在Rt△ADC中，S△ADC=12⋅AD⋅AC=12×1×2 2= 2．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ 2．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
(1)连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD；
(2)利用四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC面积之和进行计算即可．
15.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12厘米，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6厘米；
(2)∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=12AB=3厘米．
【解析】(1)根据平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，进而得到OA+OB=12厘米，再根据三角形的周长可得AB=6厘米；
(2)根据三角形中位线的性质即可解答．
本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1中，线段BK即为所求；
(2)如图2中，线段MN即为所求．

【解析】(1)连接AE，可得四边形AECD是平行四边形，连接DE交AC与点K，连接BK即可；
(2)利用三角形的中线交于一点，作出中位线MN即可．
本题考查作图−复杂作图，三角形的中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】证明：∵CF是AE的垂直平分线，
∴AO=EO，AF=EF，
∵AB/​/CD，
∴∠AFC=∠ECF，∠FAE=∠CEA，
∴△AFO≌△ECO(AAS)，
∴AF=CE，
∵AF/​/CE，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵AF=EF，
∴四边形ACEF是菱形．
【解析】根据“AAS”证明△AFO≌△ECO，得出AF=CE，再根据AF/​/CE，得出四边形ACEF是平行四边形，最后根据AF=EF，即可证明结论．
本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，根据题意证明△AFO≌△ECO，得出AF=CE，是解题的关键．
18.【答案】3 5+ 26+ 17
【解析】(1)解：AB= 22+42=2 5，AD= 12+22= 5，CD= 12+42= 17，BC= 12+52= 26
∴四边形ABCD的周长为AB+AD+CD+BC=2 5+ 5+ 17+ 26=3 5+ 17+ 26；
(2)证明：连接BD，
∵BD2=42+32=25，AB2+AD2=22+42+12+22=25，
∴AB2+AD2=BD2
∴∠BAD是直角．
(1)根据格点的特点，运用勾股定理分别算出AD，AB，BC，CD的长，可求出四边形ABCD的周长；
(2)运用勾股定理的逆定理可求出AB2+AD2=BD2，由此即可求解．
本题主要考查格点三角形的性质，勾股定理及逆定理的运用，掌握勾股定理及逆定理的运用是解题的关键．
19.【答案】解：(1)AB⊥AC，理由如下：
∵AB=6km，AC=8km，BC=10km，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；
(2)如图，过点A作AD⊥BC于点D，

则AD最短，造价最低．
∵S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴AD=AB⋅ACBC=6×810=4.8(km)，
∴4.8×10=48(万元)，
答：新修的公路的最低造价为48万元．
【解析】(1)由勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，即可得出结论；
(2)过点A作AD⊥BC于点D，AD最短，造价最低．由三角形面积求出AD的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
20.【答案】矩形 B
【解析】解：(1)在我们学习过的四边形中，矩形属于等对角线四边形．
故答案为：矩形；
(2)∵四边形ABCD是等对角线四边形，
∴AC=BD，
又∵图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN的边KL//MN//AC，ML//NK//BD，
∴四边形EFGH是菱形，四边形KLMN是菱形，
∴四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形，
故选：B；
(3)证明：过点D作DE/​/AB，交BC于点E，
∴∠ABE=∠DEC，
∵AD/​/BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=DC，
∴DE=DC
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，
∵AD/​/BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB
∴△AB≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD．
(1)依据矩形的性质即可得出结论；
(2)根据四边形EFGH是菱形，四边形KLMN是菱形，即可得到四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形；
(3)过点D作DE/​/AB，交BC于点E，首先证明四边形ABED是平行四边形，推出AB=DE，推出∠ABC=∠DCB，再证明△AB≅△DCB(SAS)即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质、等腰梯形的性质的证明、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会圆转化的思想思考问题，把四边形问题转化为三角形问题解决，学会添加常用辅助线，构造全等三角形．
21.【答案】解：(1)①如图1，过点G作GH⊥直线AB于H，
则∠H=90°，

∵四边形ABCD是边长为4的正方形，CE=3，
∴AD=AB=CD=4，DE=4−3=1，∠D=∠BAD=90°，
∴AE= AD2+DE2= 42+12= 17，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，∠EAG=90°，
∴∠EAD+∠DAG=90°，
∵∠DAH=180°−∠BAD=90°，
∴∠GAH+∠DAG=90°，
∴∠EAD=∠GAH，
在△AED和△AGH中，
∠D=∠H=90°∠EAD=∠GAHAE=AG，
∴△AED≌△AGH(AAS)，
∴AH=AD=4，GH=DE=1，
∴点G到AB的距离1；
②在Rt△BGH中，BH=AB+AH=4+4=8，GH=1，∠H=90°，
∴BG= BH2+GH2= 82+12= 65；
(2)当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，
则∠M=90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=45°，∠ADE=90°，
∴∠FDM=∠BDC=45°，∠AED+∠EAD=90°，
∴△DFM是等腰直角三角形，
∴DM=FM，
∵四边形AEFG是正方形，
∴EF=AE，∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEM=90°，
∴∠EAD=∠FEM，
在△AED和△EFM中，
∠ADE=∠M∠EAD=∠FEMAE=EF，
∴△AED≌△EFM(AAS)，
∴DE=FM，AD=EM，
∴DE=DM=FM，
∵DE+DM=EM，
∴2DE=AD=4，
∴DE=2，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=42+22=20，
∴正方形AEFG的面积为20；
当点G在直线BD上时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，如图3，

同理可得：△AED≌△GAM(AAS)，
∴GM=AD=4，AM=DE，
∵∠ADB=∠MDG=45°，∠M=90°，
∴△DGM是等腰直角三角形，
∴DM=GM，
∴DM=AD=4，
∴AM=8，
在Rt△AGM中，AG2=AM2+GM2=82+42=80，
∴正方形AEFG的面积为80；
综上所述，正方形AEFG的面积为20或80．
【解析】(1)①过点G作GH⊥直线AB于H，则∠H=90°，利用勾股定理可得AE= AD2+DE2= 42+12= 17，再证得△AED≌△AGH(AAS)，可得：GH=DE=1，即点G到AB的距离1；
②利用勾股定理即可求得答案；
(2)分两种情况：当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，可得△DFM是等腰直角三角形，得出DM=FM，再证得△AED≌△EFM(AAS)，利用勾股定理可得：AE2=AD2+DE2=42+22=20，即正方形AEFG的面积为20；当点G在直线BD上时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，同理可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形面积等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．