2024年山东省菏泽市曹县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省菏泽市曹县中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数的相反数中，最小的是( )
A. −1B. 0C. 13D. 12
2.如图，数轴上两点A，B所对应的实数分别为a，b，则a+b的值可能是( )
A. 1B. −1C. −1.4D. −2
3.图中几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.一元二次方程x2+x−3=0的两个根分别为x1，x2，则代数式x12x2+x1x22的值为( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
5.如图，直线m/​/n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1=140°，则∠2的度数是( )
A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°
6.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上(邮票背面完全相同)，让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是( )
A. 12B. 16C. 18D. 23
7.如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长为( )
A. 52
B. 3
C. 2 2
D. 103
8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cs∠ADF的值为( )
A. 817
B. 715
C. 1517
D. 815
9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)经过点(1,0)，且01时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+b+c=0有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一点，过点E作EF/​/BC，交AB于点F，OC=2，∠AOC=45°，点A的坐标为(4,0)，点F的横坐标为5，则EF的长为( )
A. 2B. 2C. 3D. 2 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：2x2+18−12x=______．
12.已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为______．
13.若关于x的一元二次方程mx2+2nx+1=0(m≠0)的一个解是x=1，则2m+4n+1的值为______．
14.如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为AB的中点，F为CE的中点，连接DF，则DF的长为______．
15.如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是______．
16.人们把 5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618就应用了黄金分割数.设a= 5+12，b= 5−12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，…，S20=201+a20+201+b20，则S1+S2+…+S20的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(13)−1+| 3−2|−( 6− 2)2．
(2)先化简，再求值：(1−aa−a+1)÷a−1a2+a，其中a=−213．
18.(本小题8分)
六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次每件的进价为多少元？
(2)若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
19.(本小题8分)
如图，为了测量风景区中一座塔的高度AB，某数学兴趣小组在斜坡BC上的点C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为30°，用皮尺测得坡BC的长15米，已知坡BC的坡比为3：4，请你帮助该数学兴趣小组计算这座塔的高度AB．
20.(本小题8分)
某中学八年级共有学生200名，2023年秋学校组织八年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对八年级全体学生进行了两次测试，测试数据如下：
八年级学生30秒跳绳测试成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求a的值；
(2)八年级学生第2次测试成绩中，x>80的百分比是多少？
(3)经过一个学期的训练，该校八年级学生期末第2次测试30秒跳绳超过70的有多少人？
21.(本小题9分)
如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为点C，tanA=12，反比例函数y=kx的图象经过OA的中点B，与AC相交于点D，OB= 5．
(1)求k的值；
(2)连接OD，求△AOD的面积．
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为点E，过点A作⊙O的切线AF，与BC的延长线相交于点F．
(1)求证：∠DAB=∠F；
(2)若⊙O的半径为5，AD=8，求BF的长．
23.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴相交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；
(3)点M为该抛物线上的一点，连接BC，CM，当∠BCM=90°时，求点M的坐标．
24.(本小题12分)
在一次数学研究性学习中，小亮将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合，如图1，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4cm，并进行如下探究活动．

活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，如图2．
【思考发现】
(1)图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由；
(2)当纸片DEF平移到某一位置时，小亮发现四边形ABDE是矩形，如图3，求此时AF的长；
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针旋转某一角度，连接OB，OE，如图4．
【问题探究】
(3)当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−1、0、13、12的相反数分别是1、0、−13、−12，
∵−12<−13<0<1，
∴所给的各数的相反数中，最小的是12．
故选：D．
首先求出所给的各数的相反数，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】C
【解析】解：由数轴可知，
∵A点更靠近−2，B点更靠近1，
∴−2.5∴−2∴a+b的值可能是−1.4，
故选：C．
由数轴可知，A点更靠近−2，B点更靠近1，因此−2.5本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上点的分布是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：从上面可看，是一行两个相邻的矩形，其中左边的矩形的长比右边的矩形的长大．
故选：C．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
4.【答案】D
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=−1，x1x2=3，
所以x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=3×(−1)=−3．
故选：D．
先利用根与系数的关系得x1+x2=−1，x1x2=3，再利用因式分解法得到x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
先根据等边三角形的性质可得∠A=∠ABC=∠C=60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°．
在△AEF中，∵∠1=∠A+∠AEF=140°，
∴∠AEF=140°−60°=80°，
∴∠DEB=∠AEF=80°，
∵m/​/n，
∴∠2+∠DEB=180°，
∴∠2=180°−80°=100°，
故选B．
6.【答案】B
【解析】解：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A、B、C、D，
画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种，
∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是212=16，
故选：B．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得：MN垂直平分AD，BD=BC=6，
∴AF=12AD,∠AFE=90°，
∵BC=6，AC=8，∠C=90°，
∴AB= AC2+BC2=10，
∴AD=4，AF=2，cs∠A=ACAB=AFAE=45，
∴AE=AFcsA=245=52；
故选：A．
由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得cs∠A=ACAB=45，进而问题可求解．
本题考查的是作线段的垂直平分线，锐角三角函数的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AB/​/CD，AD=BC=3，AB=CD=5，
∴∠BDC=∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，
∴∠BDF=∠DBF，
∴BF=DF，
设BF=x，则DF=x，AF=5−x，
在Rt△ADF中，32+(5−x)2=x2，
∴x=175，
∴cs∠ADF=3175=1517，
故选：C．
利用矩形和折叠的性质可得BF=DF，设BF=x，则DF=x，AF=5−x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cs∠ADF．
本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、折叠的性质、勾股定理等，解题关键是利用矩形和折叠的性质得到DF=BF．
9.【答案】C
【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)，
∴a+b+c=0，
∵a∴a+b+a<0，即2a+b<0，本小题结论正确．
②∵a+b+c=0，0∴b<0，
∴对称轴x=−b2a>1，
∴当1③∵a+b+c=0，
∴b+c=−a，
对于方程ax2+bx+(b+c)=0，Δ=b2−4×a×(b+c)=b2+4a2>0，
∴方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故正确的有①③，共2个．
故选：C．
依据题意，由抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：作BG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H，则FH//BG，
∵四边形ABCD是平行四边形，A(4,0)，
∴AB/​/OC，CB/​/OA，AB=OC=2，CB=OA=4，
∵∠AGB=90°，∠GAB=∠AOC=45°，
∴∠GBA=∠GAB=45°，
∴AG=BG，
∴AB= AG2+BG2= 2AG=2，
∴AG= 2，
∵点F的横坐标为5，
∴H(5,0)，
∴AH=5−4=1，
∴AFAB=AHAG，
∴EF/​/BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴EFCB=AFAB=AHAG=1 2= 22，
∴EF= 22CB= 22×4=2 2，
故选：D．
作BG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H，由平行四边形的性质得AB/​/OC，CB/​/OA，AB=OC=2，CB=OA=4，可证明∠GBA=∠GAB=45°，则AG=BG，由AB= 2AG=2，求得AG= 2，由点F的横坐标为5，得H(5,0)，则AH=1，再证明△AEF∽△ACB，得EFCB=AFAB=AHAG= 22，则EF= 22CB=2 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】2(x−3)2
【解析】解：2x2+18−12x
=2(x2−6x+9)
=2(x−3)2，
故答案为：2(x−3)2．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】17
【解析】解：当腰长为7时，三边分别为7、7、3，7+3>7，能构成三角形，周长为7+7+3=17；
当腰长为3时，三边分别为3、3、7，3+3<7，无法构成三角形，不合题意．
故答案为：17．
分腰长为3和腰长为7两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．
本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键．
13.【答案】−1
【解析】解：∵一元二次方程mx2+2nx+1=0(m≠0)的一个解是x=1，
∴m+2n+1=0，
∴m+2n=−1，
∴2m+4n+1=2(m+2n)+1=−2+1=−1．
故答案为：−1．
把x=1代入原方程，可得m+2n=−1，然后整体代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
14.【答案】 7
【解析】解：连接DB，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=DC=4，DC/​/AB，
∵∠DAB=60°，
∴△BAD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴DE=4⋅sin∠DAE=4×sin60°=4× 32=2 3，
∵DC/​/AB，
∴∠EDC=∠DEA=90°，
∴EC= DE2+CD2= (2 3)2+42=2 7，
∵点F为EC的中点，
∴DF=12EC= 7，
故答案为： 7．
根据菱形的性质和等边三角形的判定，以及锐角三角函数可以求得DE的长，再根据平行线的性质和勾股定理，可以求得EC的长，最后根据直角三角形斜边的中线和斜边的关系可以求得DF的长．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】(6,5)
【解析】解：如图：过D作DE⊥AE于点E，
∵A(0,3)、B(1,0)，
∴OA=3，OB=1，
∵将线段AB平移得到线段DC，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠OAB+∠DAE=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∴sin∠ABO=sin∠EAD，cs∠ABO=cs∠EAD，
∴OAAB=EDAD，OBAB=AEAD，
∴3AB=ED2AB，1AB=AE2AB，
∴ED=6，AE=2，
∴OA=OA+AE=3+2=5，
∴点D的坐标是(6,5)．
故答案为：(6,5)．
如图：过D作DE⊥AE；由A(0,3)、B(1,0)可得OA=3，OB=1；再根据平移的性质可得四边形ABCD是平行四边形，再结合∠ABC=90°可得四边形ABCD是矩形，即∠DAB=90°；然后再说明∠ABO=∠DAE，再利用三角函数可求得ED=6、AE=2，进而求得OA=5即可解答．
本题主要考查了三角函数的应用、矩形的判定与性质、平移的性质等知识点，灵活利用三角函数列式求解是解答本题的关键．
16.【答案】210
【解析】解：根据题意可得：ab= 5+12× 5−12=1，
∴S1=11+a+11+b=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，
S2=21+a2+21+b2=2×(2+a2+b2)1+a2+b2+a2b2=2×(2+a2+b2)2+a2+b2=2，
S3=31+a3+31+b3=3×(2+a3+b3)1+a3+b3+a3b3=3×(2+a3+b3)2+a3+b3=3，
⋯
S20=201+a20+201+b20=20×(2+a20+b20)1+a20+b20+a20b20=20×(2+a20+b20)2+a20+b20=20，
∴S1+S2+…+S20
=1+2+3+⋯+20
=20×212
=210，
故答案为：210．
根据题意可得：ab=1，利用分式的加减法即可分别求出S1=1，S2=2，S3=3，⋯S20=20，利用此规律进行求解即可．
本题考查的是黄金分割和数式的变化规律，从题目中找出式子间的变化规律是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3+2− 3−(6−4 3+2)
=3+2− 3−6+4 3−2
=−3+3 3；
(2)原式=1−a−a2+aa⋅a(a+1)a−1
=−(a+1)(a−1)a⋅a(a+1)a−1
=−(a+1)2；
当a=−213时，
原式=−(−213+1)2
=−(−43)2
=−169．
【解析】(1)先算乘方，去绝对值，再合并即可；
(2)先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分，化简后将a的值代入计算即可．
本题考查实数的运算和分式化简求值，解题的关键是掌握实数相关的运算法则和分式的基本性质．
18.【答案】解：(1)设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1+20%)x元，
根据题意得：3000 x−3000(1+20%)x=10，
解得：x=50，
经检验：x=50是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元；
(2)70×(300050+300050×1.2)−3000×2=1700(元)，
答：两次的总利润为1700元．
【解析】(1)设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1+20%) x元，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
(2)根据总利润=总售价−总成本，列出算式，即可求解．
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
19.【答案】解：过C作CE⊥AB于E，CF⊥BF于F，
∴BF=CE，BE=CF，
∵BC的长15米，已知坡BC的坡比为3：4，
∴CFBF=34，
设CF=3x米，CE=4x米，
∴BC= CF2+BF2=5x=15，
∴x=3，
∴CE=BF=12米，BE=CF=9米，
在Rt△ACE中，∵∠ACE=30°，CE=12米，
∴AE=CE⋅tan30°=12× 33=4 3(米)，
∴AB=AE+BE=(4 3+9)米，
答：这座塔的高度AB为(4 3+9)米．
【解析】过C作CE⊥AB于E，CF⊥BF于F，根据矩形的性质得到BF=CE，BE=CF，设CF=3x，CE=4x，根据勾股定理得到BC= CF2+BF2=5x=15，求得CE=BF=12米，BE=CF=9米，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确地找出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)a=200−19−27−72−17=65；
(2)八年级学生第2次测试成绩中，x>80的百分比是：1−41%−29.5%−1.5%−3%=25%；
(3)200×(41%+25%)=132(人)，
答：经过一个学期的训练，该校八年级学生期末第2次测试30秒跳绳超过70的有132人．
【解析】(1)用学生总人数减去各组的频数可求解；
(2)有“1”分别减去其它四组所占百分比可得答案；
(3)用学生总人数乘第2次测试30秒跳绳超过70的学生所占百分比即可求解．
本题考查了扇形统计图以及频数分布表，利用统计表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21.【答案】解：(1)∵∠ACO=90°，tanA=12，
∴AC=2OC，
∵B是OA的中点，
∴OA=2OB=2 5，
由勾股定理得：OA2=OC2+AC2，
∴(2 5)2=OC2+(2OC)2，
∴OC=2，AC=4，
∴A(2,4)，C(2,0)，
∵B是OA的中点，
∴B(1,2)，
∴k=1×2=2；
(2)由(1)知，y=2x，
当x=2时，y=1，
∴D(2,1)，
∴AD=4−1=3，
∵S△AOD=12AD⋅OC=12×3×2=3．
【解析】(1)先根据tanA=12，可得AC=2OC，根据B是OA的中点，得出OA=2 5，再由勾股定理求出OC和AC，由此可得A的坐标，由B是OA的中点，可得点B的坐标，从而得k的值；
(2)由(1)可求出反比例函数解析式，再根据点C坐标求点D的坐标，根据面积公式可得结论．
本题考查反比例函数图象上点的特征，反比例函数的几何意义，三角形面积，中点坐标公式，解题的关键是根据待定系数法求出反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
22.【答案】(1)证明：∵AF是⊙O的切线，
∴AB⊥AF，
∵CD⊥AB，
∴AF/​/CD，
∴∠F=∠BCD，
∵∠BCD=∠DAB，
∴∠DAB=∠F；
(2)解：连接BD，

AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB2=AD2+BD2，
∵⊙O的半径为5，
∴AB=10，
∵AD=8，
∴BD=6(负值已舍)，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，BC=BD，
∴BC=BD=6，
∵tan∠DAB=BDAD=68=34，∠BCE=∠DAB，
∴tan∠BCE=BECE=tan∠DAB=34，
设BE=3x，则CE=4x，
在Rt△BCE中，BC2=CE2+BE2，
∴62=(4x)2+(3x)2，
∴x=65(负值已舍)，
∴BE=185，
∵AF/​/CD，
∴△BCE∽△BFA，
∴BCBF=BEAB，
∴6BF=18510，
∴BF=503．
【解析】(1)结合切线的性质、平行线的判定推出AF//CD，根据平行线的性质及圆周角定理求解即可；
(2)连接BD，根据圆周角定理、勾股定理求出BD=6，根据垂径定理求出BC=BD=6，解直角三角形求出BE=185，再根据相似三角形的判定与性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质，根据切线的性质求出AB⊥AF是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
则y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2+bx−3，
则a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−2x−3；
(2)∵抛物线y=x2−2x−3的对称轴为直线x=1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P(1,p)，
∴PA= (1+1)2+p2，PC= 12+(p+3)2，
∵PA=PC，
∴ (1+1)2+p2= 12+(p+3)2，
∴p=−1，
∴P(1,−1)；
(3)由(1)知，B(3,0)，C(0,−3)，
∴OB=OC=3，
设M(m,m2−2m−3)，
当∠BCM=90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，

∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠HCM=90°−∠OCB=45°，
∴∠HMC=45°=∠HCM，
∴CH=MH，
∵CH=−3−(m2−2m−3)=−m2+2m，
∴−m2+2m=m，
∴m=0(不符合题意，舍去)或m=1，
∴M(1,−4)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)设出点P的坐标，利用PA=PC建立方程求解，即可求出答案；
(3)利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
本题考查的是二次函数综合运用，主要考查了坐标轴上点的特点，直角三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形ABDE是平行四边形，
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，∠BAC=∠EDF，
∴AB//DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)如图3，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA=OD=OB=OE，
设AF=xcm，则OA=OE=12(x+4)cm，
∴OF=OA−AF=(2−12x)cm，
在Rt△OFE中，OF2+EF2=OE2，
∴(2−12x)2+32=14(x+4)2，
解得：x=94，
∴AF=94cm；

(3)结论：BD=2OF，
理由：如图4，延长OF交AE于点H，
由矩形的性质及旋转的性质知：OA=OB=OE=OD，
∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，
∴∠OBD=∠ODB，∠OAE=∠OEA，
∴∠BDE+∠DEA=∠ABD+∠EAB，
∵∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB=360°，
∴∠ABD+∠BAE=180°，
∴AE//BD，
∴∠OHE=∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF=∠HEF，
∵∠EFO=∠EFH=90°，EF=EF，
∴△EFO≌△EFH(ASA)，
∴EO=EH，FO=FH，
∴∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB，
∴△EOH≌△OBD(AAS)，
∴BD=OH=2OF．
【解析】(1)由全等三角形的性质得出AB=DE，∠BAC=∠EDF，则AB//DE，可得出结论；
(2)连接BE交AD于点O，设AF=xcm，则OA=OE=12(x+4)，得出OF=OA−AF=2−12x，由勾股定理构建方程，求出x即可；
(3)如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH(ASA)，得出EO=EH，FO=FH，则∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB，可证得△EOH≌△OBD(AAS)，得出BD=OH，则结论得证．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．跳绳个数x
x≤50
506070x>80
频数(第1次测试)
19
27
72
a
17
频数(第2次测试)
3
6
59