2024年四川省雅安市中考数学二诊试卷（含解析）

这是一份2024年四川省雅安市中考数学二诊试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.− 2是 2的( )
A. 算术平方根B. 倒数C. 绝对值D. 相反数
2.如图所示，该几何体的主视图应为( )
A.
B.
C.
D.
3.西安“世园会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前来参观.据统计，2011年5月某日参观“世园会”的人数约为25600，这一人数用科学记数法表示为( )
A. 25.6×103B. 2.56×103C. 25.6×104D. 2.56×104
4.如图，直线a，b被直线c所截，a/​/b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于( )
A. 40°
B. 50°
C. 70°
D. 80°
5.下列运算正确的是( )
A. a5+a5=a10B. a3⋅a3=a9C. (3a3)3=9a9D. a12÷a3=a9
6.在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)和点B(3,0)，则cs∠AOB的值等于( )
A. 2 55B. 52C. 32D. 12
7.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<1B. m<−1C. m>1D. m>−1
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，若将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE的度数是( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 55°
9.下列命题是真命题是( )
A. 4的平方根是2
B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C. 方程x2=x的解是x=1
D. 顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
10.已知直线y1=x+m与y2=kx−1相交于点P(−1,1)，则关于x的不等式x+m≤kx−1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
11.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是( )
A. 2B. 3C. 1D. 12
12.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=12，且经过点(2,0).下列说法：①abc<0，②a+b=0，③a−b+c=0，④若(−2,y1)，(52,y2)是抛物线上的两点，则y1A. ①②④
B. ①③④
C. ①②③④
D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4.则tanA= ______．
14.有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是______．
15.在平面直角坐标系中，以点A(4,3)、B(0,0)、C(8,0)为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△A1B1C1(点A1、B1、C1分别为点A、B、C的对应点)，然后以点C1为中心将△A1B1C1顺时针旋转90°，得到△A2B2C1(点A2、B2分别是点A1、B1的对应点)，则点A2的坐标是______．
16.若a，b均为整数，当x= 3−1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为______．
17.已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=kx(x>0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB⋅AC=160，有下列四个结论：
①双曲线的表达式为y=20x(x>0)；
②E点的坐标是(4,8)；
③sin∠COA=45；
④AC+OB=12 5，其中不正确的结论有______(填序号)．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
解答下列各题：
(1)计算：4cs30°+(12)−2−( 12−1)；
(2)先化简，再求值：(x+5)(x−1)+(x−2)2，其中x=−2．
19.(本小题7分)
在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
20.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是正方形，△BEC是等边三角形，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接BD．
(1)求∠BED的度数；
(2)求证：△BDE∽△FDB．
21.(本小题10分)
如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A.白开水，B.瓶装矿泉水，C.碳酸饮料，D.非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题
(1)这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
(2)若该班同学每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶，价格如下表)，则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
(3)为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部(其中有两位班长记为a，b，其余三位记为c，d，e)中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
22.(本小题10分)
(1)如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)如图2，设AB是该残缺圆⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAB的平分线AD交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．
①求证：AE⊥DE；
②若DE=3，AC=2，求残缺圆的半圆面积．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y=−2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积；
(3)直接写出不等式12x+5≥kx的解集．
24.(本小题12分)
如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c过点A(1,0)，B(−3,0)．
(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
(2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO+∠CDO)=4时，求点D的坐标；
(3)如图2.抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m−n的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵− 2和 2只有符号不同，
∴− 2和 2互为相反数．
故选：D．
根据相反数的定义解答．
本题考查了实数的性质，知道相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：从正面看可得到一个大矩形左上边去掉一个小矩形的图形．
故选：C．
几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，关键是掌握主视图所看的位置．
3.【答案】D
【解析】解：25600=2.56×104，
故选：D．
将比较大的数表示成a×10n的形式即可，注意1≤a<10．
本题考查了科学记数法，此类题目属于较简单的题目，易错点是容易忽略a的取值范围，造成错误．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2，∠3=40°，
∴∠1=12×(180°−∠3)=12×(180°−40°)=70°，
∵a/​/b，
∴∠4=∠1=70°．
故选：C．
根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答．
本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、a5+a5=2a5，故本选项错误；
B、a3⋅a3=a6，故本选项错误；
C、(3a3)3=27a9，故本选项错误；
D、a12÷a3=a9，故本选项正确．
故选：D．
利用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的性质求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的性质．注意掌握指数的变化是解此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示，
过点A作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A的坐标为(2,1)，
∴AM=1，OM=2．
在Rt△AOM中，
AO= 12+22= 5，
∴cs∠AOB=OMAO=2 5=2 55．
故选：A．
根据题意，画出示意图，结合所画图形即可解决问题．
本题考查解直角三角形及坐标与图形性质，能根据题意画出示意图及熟知余弦的定义是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=(−2)2−4×m>0，
∴4−4m>0，
解得m<1．
故选：A．
根据根的判别式，令△>0即可求出根的判别式．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了翻折变换，关键是找到翻折以后的对应边和对应角，计算出∠B的度数是解决问题的关键．
首先根据折叠可得：△CBD≌△CED，再根据全等三角形的性质可得∠B=∠CED，再利用三角形内角和定理计算出∠B的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可计算出∠EDA的度数．
【解答】
解：由折叠可得：△CBD≌△CED，
则∠B=∠CED，
∵∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠B=180°−90°−20°=70°，
∵∠A+∠EDA=∠CED，
∴∠EDA=∠CED−∠A=70°−20°=50°．
故选C．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
根据平方根、全等三角形的判定、方程的解、平行四边形的判定解答即可．
【解答】
解：A.4的平方根是±2，错误；
B.有两边和夹角对应相等的两个三角形全等，错误；
C.方程x2=x的解是x=1或x=0，错误；
D.顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，正确；
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：因为直线y1=x+m与y2=kx−1相交于点P(−1,1)，
如图所示，
当x≤−1时，一次函数y1=x+m的图象不在一次函数y2=kx−1的图象的上方，即x+m≤kx−1，
所以不等式x+m≤kx−1的解集为x≤−1．
用数轴表示如下，
．
故选：C．
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题考查一次函数与一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为(n−2)⋅180°，
正多边形外角和为360°，根据题意得：
(n−2)⋅180°=360°×2，
n−2=2×2，
n=6．
故正多边形为六边形．
边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，
所以正多边形的半径等于2，
故选：A．
先判断出多边形的边数，再求多边形的半径．
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵对称轴x=12，
∴−b2a=12>0，
∴a，b异号，
∴b>0，
∴abc<0，①正确．
∵对称轴x=12，
∴−b2a=12，
∴a+b=0，②正确，
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x1,0)，则对称轴x=12(x1+x2)，
即12=12(x1+2)，解得，x1=−1，
把(−1,0)代入抛物线解析式得，a−b+c=0，③正确，
根据抛物线的对称性，则(52,y2)关于对称轴对称的点为(−32,y2)，
∵−32>−2，且(−32,y2)，(−2,y1)这两个点都在对称轴左侧，
∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧侧，函数值随x的增大而增大可得，y1所以①②③④都正确．
故选：C．
根据抛物线开口方向与y轴的交点位置及对称轴的位置判断①；根据对称轴x=12，可判断②；根据抛物线与x轴的另一个交点可判断③；利用抛物线的对称性把这两个点转化到对称轴的同一侧，再利用抛物线的增减性判断④．
本题考查了二次函数的图象与性质及抛物线的位置与a，b，c的符号之间的关系，熟练掌握如下知识是解题的关键：①抛物线开口向上，a>0；抛物线开口向下，a<0，②抛物线与y轴交于正半轴，c>0；抛物线与y轴交于原点，c=0；抛物线与y轴交于负半轴，c<0，③抛物线的对称轴在y轴左侧，a，b同号；抛物线的对称轴在y轴右侧，a，b异号，④抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，抛物线开口向下时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
13.【答案】34
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AC=3：4，
∴tanA=BCAC=34，
故答案为：34．
根据锐角三角函数的定义即可求得答案．
本题考查锐角三角函数定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】2
【解析】解：a=4×5−2−3−5−6=4，
s2=15[(2−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(6−4)2]=2．
故填2．
先由平均数计算出a的值，再计算方差．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，x−=1n(x1+x2+…+xn)，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15.【答案】(11,7)
【解析】解：如图，∵以点A(4,3)、B(0,0)、C(8,0)为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△A1B1C1(点A1、B1、C1分别为点A、B、C的对应点)，
∴点A1、B1、C1的坐标分别为(4,6)、(0,3)、(8,3)，
过A作AD⊥BC于D，过A2作A2D2⊥B2C1于D2，
∴CD=C1D2=BD=4，AD=A2D2=3，
而CB=B1C1=B2C1=8，
∴A2的横坐标为8+3=11，纵坐标为3+4=7，
∴A2的坐标为(11,7)．
如图，根据已知条件可以得到CD=C1D2=BD=4，AD=A2D2=3，而CB=B1C1=B2C1，那么由此可以确定D2的横坐标，接着确定A2的横坐标，根据C1的坐标和C1D2的长度可以确定A2的坐标．
此题比较复杂，考查了平移、旋转的性质，本题中能正确确定A1、D2的坐标是关键，只有这样才能确定点A2的坐标．
16.【答案】12
【解析】解：把当x= 3−1代入x2+ax+b可得，
4−2 3+ 3a−a+b=0．
∵a，b均为整数，
∴−2 3+ 3a=0，4−a+b=0，
即a=2，b=−2
∴ab=2−2=14，
则ab的算术平方根为 2−2= 14=12
故填12．
把x的值代入代数式x2+ax+b中，根据已知条件即可求出a、b的值，然后再求ab的算术平方根．
此题首先利用已知数据得到关于a、b的方程，然后根据整数的性质求出a，b的值，再即可求ab的算术平方根．
17.【答案】①
【解析】解：过点C作CF⊥x轴于点F，
∵OB⋅AC=160，A点的坐标为(10,0)，
∴OA⋅CF=12OB⋅AC=12×160=80，菱形OABC的边长为10，
∴CF=80OA=8010=8，
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴OF= OC2−CF2= 102−82=6，
∴C(6,8)，
∵点D时线段AC的中点，
∴D点坐标为(10+62,82)，即(8,4)，
∵双曲线y=kx(x>0)经过D点，
∴4=k8，即k=32，
∴双曲线的解析式为：y=32x(x>0)，故①错误；
∵CF=8，
∴直线CB的解析式为y=8，
∴y=32xy=8，解得x=4y=8，
∴E点坐标为(4,8)，故②正确；
∵CF=8，OC=10，
∴sin∠COA=CFOC=810=45，故③正确；
∵A(10,0)，C(6,8)，
∴AC= (10−6)2+(0−8)2=4 5，
∵OB⋅AC=160，
∴OB=160AC=1604 5=8 5，
∴AC+OB=4 5+8 5=12 5，故④正确．
故答案为：①．
过点C作CF⊥x轴于点F，由OB⋅AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为(10,0)可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=kx(x>0)的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=CFOC可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB⋅AC=160即可求出OB的长．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定反比例解析式，菱形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)4cs30°+(12)−2−( 12−1)
=4× 32+4−2 3+1
=2 3+4−2 3+1
=5；
(2)(x+5)(x−1)+(x−2)2
=x2−x+5x−5+x2−4x+4
=2x2−1，
当x=−2时，原式=2×(−2)2−1=7．
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)根据多项式成多项式、完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：600x−6002x=6，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=200(m2)，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
(2)设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得：100a+50b=3600，则a=72−b2=−12b+36，
根据题意得：1.2×72−b2+0.5b≤40，
解得：b≥32，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
【解析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列出方程：600x−6002x=6，解方程即可；
(2)设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b=3600，则a=72−b2=−12b+36，根据题意得：1.2×72−b2+0.5b≤40，得出b≥32，即可得出结论．
20.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠90°，BC=CD，
∵△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=∠BEC=60°，BC=CE，
∴∠DCE=90°−60°=30°，CD=CE，
∴∠CED=∠CDE=12(180°−30°)=75°，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=75°+60°=135°；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=45°，
∴∠ABF=90°，
∴∠DBF=90°+45°=135°，
∵∠BED=135°，
∴∠BED=∠DBF，
∵∠BDE=∠BDF，
∴△BDE∽△FDB．
【解析】(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠90°，BC=CD，由等边三角形的性质得到∠BCE=∠BEC=60°，BC=CE，因此∠DCE=30°，CD=CE，由等腰三角形的性质求出∠CED=75°，即可求出∠BED的度数．
(2)由正方形的性质推出∠ABC=90°，∠ABD=45°，求出∠DBF=90°+45°=135°，得到∠BED=∠DBF，而∠BDE=∠BDF，即可证明△BDE∽△FDB．
本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定，关键是由正方形的性质和等边三角形的性质推出CE=CD，求出∠BED=135°．
21.【答案】解：(1)这个班级的学生人数为15÷30%=50(人)，
选择C饮品的人数为50−(10+15+5)=20(人)，
补全图形如下：
(2)10×0+15×2+20×3+5×450=2.2(元)，
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；
(3)列表如下：
由列表知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为220=110．
【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；
(2)根据加权平均数的定义计算可得；
(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
22.【答案】解：(1)如图1，点O即为所求；
(2)①证明：如图2中，连接OD交BC于F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴CD=BD，
∴OD⊥BC，
∴CF=BF，∠CFD=90°．
∵DE是切线，
∴DE⊥OD，
∴∠EDF=90°．
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠BCE=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴∠E=90°，
∴AE⊥DE；
②∵四边形DECF是矩形，
∴DE=CF=BF=3，
∴BC=2CF=6．
在Rt△ACB中，AB= AC2+BC2= 22+62=2 10，
∴OA=12AB= 10，
∴残缺圆的半圆面积=12π×( 10)2=5π．
【解析】本题考查作图−复杂作图，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
(1)作弦AB，AC，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心O；
(2)①证明四边形DECF是矩形即可；
②利用垂径定理求出BC，再利用勾股定理即可解决问题．
23.【答案】解：(1)联立y=12x+5y=−2x，解得x=−2y=4，
∴A点坐标为(−2,4)．
将A(−2,4)代入y=kx，得4=k−2．
∴k=−8．
∴反比例函数的表达式为y=−8x；
(2)联立y=12x+5y=−8x，解得x=−2y=4或x=−8y=1．
∴B(−8,1)．
在y=12x+5中，令y=0，得x=−10．
故直线AB与x轴的交点为C(−10,0)．
如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点，
则S△AOB=S△AOC−S△BOC=12⋅OC⋅AM−12⋅OC⋅BN=12×10×4−12×10×1=15．
(3)关于x的不等式12x+5≥kx的解集为−8≤x≤−2或x≥0．
【解析】(1)联立y=12x+5y=−2x求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
(2)求得B、C的坐标，利用S△AOB=S△AOC−S△BOC求得即可；
(3)根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积以及函数与不等式的关系，体现了方程思想，数形结合是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意把点(1,0)，(−3,0)代入y=−x2+bx+c，
得，−1+b+c=0−9−3b+c=0，
解得b=−2，c=3，
∴y=−x2−2x+3
=−(x+1)2+4，
∴此抛物线解析式为：y=−x2−2x+3，顶点C的坐标为(−1,4)；
(2)∵抛物线顶点C(−1,4)，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则H(−1,0)，
在Rt△CHO中，CH=4，OH=1，
∴tan∠COH=CHOH=4，
∵∠COH=∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO=∠CDO时，
tan(∠CAO+∠CDO)=tan∠COH=4，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
∵∠ACO=∠CDO，∠CAO=∠CAO，
∴△AOC∽△ACD，
∴ACAD=AOAC，
∵AC= CH2+AH2=2 5，AO=1，
∴2 5AD=12 5，
∴AD=20，
∴OD=19，
∴D(−19,0)；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x=1的对称点D′的坐标为(17,0)，
∴点D的坐标为(−19,0)或(17,0)；
(3)设P(a,−a2−2a+3)，
将P(a,−a2−2a+3)，A(1,0)代入y=kx+b，
得，ak+b=−a2−2a+3k+b=0，
解得，k=−a−3，b=a+3，
∴yPA=(−a−3)x+a+3，
当x=0时，y=a+3，
∴N(0,a+3)，
如图2，
∵S△BPM=S△BPA−S四边形BMNO−S△AON，S△EMN=S△EBO−S四边形BMNO，
∴S△BPM−S△EMN
=S△BPA−S△EBO−S△AON
=12×4×(−a2−2a+3)−12×3×3−12×1×(a+3)
=−2a2−92a
=−2(a+98)2+8132，
由二次函数的性质知，当a=−98时，S△BPM−S△EMN有最大值8132，
∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，
∴m−n的最大值为8132．
【解析】(1)利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=−x2+bx+c即可求得二次函数的解析式；
(2)设抛物线对称轴与x轴交于点H，在Rt△CHO中，可求得tan∠COH=4，推出∠ACO=∠CDO，可证△AOC∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；
(3)设P(a,−a2−2a+3)，P(a,−a2−2a+3)，A(1,0)代入y=kx+b，求出直线PA的解析式，求出点N的坐标，由S△BPM=S△BPA−S四边形BMNO−S△AON，S△EMN=S△EBO−S四边形BMNO，可推出S△BPM−S△EMN=S△BPA−S△EBO−S△AON，再用含a的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值．
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，用函数思想求极值等，解题关键是能够设出点P坐标，求出含参数的直线PA的解析式，进一步表示出点N坐标．饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格(元/瓶)
0
2
3
4
a
b
c
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