2023-2024学年江西省景德镇市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省景德镇市七年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算a2⋅a3，正确的结果是( )
A. 2a6B. 2a5C. a6D. a5
2.冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为( )
A. 4.5×108B. 45×10−7C. 4.5×10−8D. 0.45×10−9
3.已知a−3b=2，那么代数式a2−9b2−12b的值是( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
4.下列说法中：①同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a/​/b，b/​/c，则a//c.正确的有( )
A. ①②③B. ②③⑤C. ②④⑤D. ③④⑤
5.已知直线a/​/b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
6.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC−CD−DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是( )
A. 55B. 30C. 16D. 15
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知3n=−5，则3−3n= ______．
8.已知2a=4，2b=12，2c=6，求a+b−c= ______．
9.若多项式x2−mx+36是一个完全平方式，则m= ______．
10.某数学兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC=135°，AB//DE，∠D=70°，则∠ACD= ______．
11.杨辉三角，又称贾宪三角，是(a+b)n(n是非负数)的展开式的项数及各项系数的规律．请你观察下面的杨辉三角：
(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
按照前面的规律，则(a+b)5=______．
12.如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB/​/CD，E是平面内任意一点(点E不在直线AB、CD、AC上)，设∠BAE=α，∠DCE=β，则∠AEC的度数可能是______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1)(3.14−π)0+(−12)−2−(−1)2024；
(2)20242−2023×2025(简便运算)．
14.(本小题6分)
一个角的补角比这个角的余角的4倍还多6°，求这个角的度数．
15.(本小题6分)
(1)已知x−y=9，xy=3，求x2+y2的值；
(2)已知x2−4x+1=0，求x2+1x2的值．
16.(本小题6分)
如图，在7×7正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺在所给的网格中画图，保留画图过程的痕迹．
(1)在如图1中找一格点D，画一条线段AB的平行线段CD；
(2)在图2中找一格点E，画出三角形ABE，使得S△ABE=4．
17.(本小题6分)
如图，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．
(1)求证：AB/​/CD．
(2)若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+36°，求∠C的度数．
18.(本小题8分)
下列各情境分别可以用哪幅图来近似地刻画？横线上填相应的字母序号．
(1)一面冉冉上升的旗子______；
(2)匀速行驶的汽车______；
(3)足球守门员大脚开出去的球______；
(4)一杯越晾越凉的水______．
19.(本小题8分)
如图，∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．
求证：∠1=∠2．
根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵∠ABC+∠ECB=180° ，
∴AB/​/ED ．
∴∠ABC=∠BCD ．
又∵∠P=∠Q(已知)，
∴PB/​/ ．
∴∠PBC= ．
又∵∠1=∠ABC− ，∠2=∠BCD− ，
∴∠1=∠2(等量代换)．
20.(本小题8分)
为了检测甲、乙两种容器的保温性能，检测员从每种容器中各取一个进行实验：在两个容器中装满相同温度的水，每隔5min测量一次两个容器的水温(实验过程中室温保持不变)，最后他把记录的温度画成了如图所示的图象.观察图象，并回答下列问题：
(1)经过1h，两个容器的水温各是多少？哪个容器中的水温较高？
(2)你估计检测员实验时的室温可能是多少？
(3)你认为哪种容器的保温性能更好些？说说你的理由．
21.(本小题9分)
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)若要拼出一个面积为(a+3b)(2a+b)的矩形，则需要A号卡片______张，B号卡片______张，C号卡片______张.
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系______；
根据得出的等量关系，解决问题：已知(2021−x)2+(2023−x)2=2024，求(2021−x)(2023−x)的值．
(3)两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y.若x2+y2=52，BE=2，求图中阴影部分面积和．
22.(本小题9分)
甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示：

(1)求甲、乙两车的速度分别是多少？
(2)乙车出发多长时间追上甲车？
(3)从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距50km？
23.(本小题12分)
【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
(1)如图①，AB/​/CD，E为AB，CD之间一点，连接BE、DE，得到∠BED.试探究∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并说明理由．
(2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
如图②，若AB/​/CD，点E、F为直线AB、CD之间两个点，连接BE、EF、CF，∠E=80°，求∠B+∠C+∠F的值.并说明理由．
(3)【拓展延伸】如图③，如图，AB/​/CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，BE、CF的反向延长线相交于点H，∠G=∠H+30°，求∠H的值.写出必要的求解过程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：a2⋅a3=a2+3=a5．
故选D．
根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：0.000000045=4.5×10−8，
故选：C．
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：∵a−3b=2，
∴a2−9b2−12b
=(a−3b)(a+3b)−12b
=2(a+3b)−12b
=2a+6b−12b
=2a−6b
=2(a−3b)
=2×2
=4，
故选：C．
利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
④三条直线两两相交，总有一个或三个交点，原命题是假命题；
⑤若a/​/b，b/​/c，则a/​/c，是真命题；
故选：B．
利用同位角的性质、垂线的性质、平行线的性质，两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的答案．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解同位角的性质、垂线的性质、平行线的性质，两直线的位置关系等知识，难度不大．
5.【答案】C
【解析】解：延长AB交直线a于C．
∵a/​/b，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠CDB+∠CBD，∠CDB=30°，∠CBD=45°，
∴∠1=∠2=75°，
故选：C．
延长AB交直线a于C.首先证明∠1=∠2，再根据∠2=∠CDB+∠CBD计算即可．
本题考查平行线的性质、特殊直角三角形的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=5时，y开始不变，说明BC=5，x=11时，接着变化，说明CD=11−5=6．
∴△ABC的面积为=12×6×5=15．
故选：D．
本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．
7.【答案】−1125．
【解析】解：原式=(3n)−3=(−5)−3=1(−5)3=−1125．
根据幂的乘方与积的乘方及负整数指数幂的运算即可得出答案．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方及负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8.【答案】3
【解析】解：∵2a=4，2b=12，2c=6，
∴2a⋅2b÷2c=4×12÷6，
2a+b−c=8=23，
∴a+b−c=3，
故答案为：3．
根据已知条件，利用同底数幂的乘除法则，求出a+b−c的值即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则．
9.【答案】±12
【解析】解：∵x2−mx+36是一个完全平方式，
∴x2−mx+36=(x±6)2，
∴x2−mx+36=x2±12x+36，
∴m=±12，
故答案为：±12．
根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
10.【答案】25°
【解析】解：过点C作CF/​/AB，
∵AB//DE，
∴CF/​/DE，
∴∠ACF=∠BAC，∠D+∠DCF=180°，
又∠BAC=135°，∠D=70°，
∴∠ACF=135°，∠DCF=110°，
∴∠ACD=∠ACF−∠DCF=25°．
故答案为：25°．
过点C作CF/​/AB，先证明CF/​/DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF=135°，∠DCF=110°，最后利用角的和差关系求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
11.【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【解析】解：观察图形，可知：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系，即可得出(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，此题得解．
本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系是解题的关键．
12.【答案】β−α或α+β或α−β或360°−α−β
【解析】解：(1)如图1，由AB/​/CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β−α．
(2)如图2，过E2作AB平行线，则由AB/​/CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
(3)如图3，由AB/​/CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α−β．
(4)如图4，由AB/​/CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°−α−β．
(5)(6)当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α−β或β−α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β−α，α+β，α−β，360°−α−β．
故答案为：β−α或α+β或α−β或360°−α−β．
根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
13.【答案】解：(1)原式=1+4−1
=4；
(2)原式=20242−(2024−1)×(2024+1)
=20242−20242+1
=1．
【解析】(1)利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则计算即可；
(2)利用平方差公式进行简便运算即可．
本题考查实数的运算及平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14.【答案】解：设这个角的度数为α，
则180°−α=4(90°−α)+6°，
解得：α=62°，
即这个角的度数为62°．
【解析】设这个角的度数为α，则180°−α=4(90°−α)+6°，解得α的值即可．
本题考查余角和补角，熟练掌握其定义是解题的关键．
15.【答案】解：(1)∵x−y=9，
∴(x−y)2=81，
∴x2−2xy+y2=81，
∵xy=3，
∴x2+y2=81+2xy=81+6=87；
(2)∵x2−4x+1=0，
∴x−4+1x=0，
∴x+1x=4，
∴(x+1x)2=16，
∴x2+1x2+2⋅x⋅1x=16，
∴x2+1x2=16−2=14．
【解析】(1)利用完全平方公式进行计算，即可解答；
(2)根据已知易得：x+1x=4，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求；
(2)如图，△ABE即为所求．

【解析】(1)利用平移变换的性质画出图形即可；
(2)利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查作图−应用与设计作图，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】(1)证明：∵∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，
又∵∠AGE=∠DGC，
∴∠A=∠D，
∴AB/​/CD；
(2)解：∵∠1+∠2=180°，
又∵∠CGD+∠2=180°，
∴∠CGD=∠1，
∴CE/​/FB，
∴∠C=∠BFD，∠CEB+∠B=180°．
又∵∠BEC=2∠B+36°，
∴2∠B+36°+∠B=180°，
∴∠B=48°．
又∵AB/​/CD，
∴∠B=∠BFD，
∴∠C=∠BFD=∠B=48°．
【解析】(1)欲证明AB/​/CD，只需推知∠A=∠D即可；
(2)利用平行线的判定定理推知CE/​/FB，然后由平行线的性质、等量代换推知∠C=∠BFD=∠B=48°．
本题考查了平行线的判定和性质，解答此类两直线平行判定和性质的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
18.【答案】D B A C
【解析】解：(1)一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高，故D符合题意；
故答案为：D；
(2)一辆汽车在公路上匀速行驶，速度随时间的增大而不变，故B符合题意；
故答案为：B；
(3)足球守门员大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系，故A符合题意；
故答案为：A；
(4)一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，故C符合题意；
故答案为：C．
(1)一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高；
(2)一辆汽车在公路上匀速行驶，速度随时间的增大而不变；
(3)足球守门员大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系；
(4)一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．
本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．
19.【答案】已知 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等 CQ ∠BCQ ∠PBC ∠BCQ
【解析】证明：∵∠ABC+∠ECB=180°已知，
∴AB/​/ED同旁内角互补，两直线平行，
∴∠ABC=∠BCD两直线平行，内错角相等，
∵∠P=∠Q(已知)，
∴PB/​/CQ，
∴∠PBC=∠BCQ，
∵∠1=∠ABC−∠PBC，∠2=∠BCD−∠BCQ，
∴∠1=∠2(等量代换)．
故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．
根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)由图象可知：在60min时甲容器的水温比乙容器的水温高；
(2)由图象可知，最后两个容器的水的温度为20℃，可知检测员实验时的室温可能是20℃；
(3)由图象可知甲容器随时间的增长温度下降较慢，所以甲容器更好．
【解析】根据两个容器的温度变化的图象解答即可．
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够仔细观察图象并从图象中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
21.【答案】2 3 7 (a+b)2=a2+b2+2ab
【解析】解：(1)(a+3b)(2a+b)=2a2+ab+6ab+3b2=2a2+7ab+3b2，
∵A种纸片的面积为a2，B种纸片的面积为b2，C种纸片的面积为ab，
∴需A种纸片2张，B种纸3张，C种纸片7张；
故答案为：2，3，7；
(2)由图2知，大正方形的面积为(a+b)2，又可以为a2+b2+2ab，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab；
故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab；
设a=x−2021，b=2023−x，则a+b=2，
∵(2021−x)2+(2023−x)2=2024，
∴(x−2021)2+(2023−x)2=2024，
∴a2+b2=2024，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴ab=(a+b)2−(a2+b2)2，
∴ab=4−20242=−1010，
∴(x−2021)(2023−x)=−1010，
∴(2021−x)(2023−x)=1010；
(3)由题意和图形知，DG=BE=2，
则x−y=2，
则(x−y)2=4=x2+y2−2xy，
则xy=24，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=100，
∴x+y=10或x+y=−10(舍去)，
∴阴影部分的面积和为S=12DG⋅DC+12EF⋅BE=12x×2+12×2×y=x+y=10．
(1)计算(a+3b)(2a+b)，再根据三个纸片的面积可求解；
(2)用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系；设a=x−2021，b=2023−x，则a+b=2，a2+b2=2022，利用等量关系求出ab即可求解；
(3)根据图形得到DG=BE=2，x−y=2，利用完全平方公式分别求得xy和x+y即可求解．
本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键．
22.【答案】解：(1)∵30010−5=60(km/h)，3009−6=100(km/h)，
∴甲车的速度是60km/h，乙车的速度是100km/h；
(2)设乙车出发t小时追上甲车，
根据题意得：100t=60(t+1)，
解得t=1.5，
∴乙车出发1.5小时追上甲车；
(3)设乙车出发后x小时，两车相距50km，
①当乙车未到B城前，|100x−60(x+1)|=50，
解得x=2.75或x=0.25，
乙车6：00出发，经过2.75小时是8：45，经过0.25小时是6：15；
∴在8：45或6：15时，两车相距50km；
②当乙车到B城后，60(x+1)=300−50，
解得x=196，
乙车6：00出发，经过196小时是9：10，
∴在9：10两车相距50km；
综上所述，在6：15或8：45或9：10，两车相距50km．
【解析】(1)用路程除以时间可得速度；
(2)设乙车出发t小时追上甲车，由此时两车路程相同列方程可解得答案；
(3)分两种情况列方程可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
23.【答案】解：(1)∠BED=∠B+∠D，理由如下：
如图①，过E点作EF/​/AB，

∵AB/​/CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D；
(2)∠B+∠C+∠EFC=260°，理由如下；
如图②，过点F作MF/​/AB，

由图可知，∠EFC=∠EFM+∠MFC，
由(1)得，∠E=∠B+∠EFM，
∵MF/​/AB，AB/​/CD，
∴MF//AB//CD，
∴∠MFC+∠C=180°，
∴∠B+∠C+∠EFC=∠E+∠MFC+∠C=80°+180°=260°．
(3)如图③，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，

∵AB/​/CD，
∴AB/​/CD/​/RS/​/MN，
又∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG，∠SHC=∠DCF=12∠DCG，∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180°，
∴∠BHC=180°−∠RHB−∠SHC=180°−12(∠ABG+∠DCG)，
∠BGC=180°−∠NGB−∠MGC=180°−(180°−∠ABG)−(180°−∠DCG)=∠ABG+∠DCG−180°，
∴∠BGC=360°−2∠BHC−180°=180°−2∠BHC，
又∵∠BGC=∠BHC+30°，
∴∠BHC=∠BGC−30°，
∴∠BGC=180°−2(∠BGC−30°)，
∴∠BGC=80°，
∴∠BHC=50°．
【解析】(1)过E点作EF/​/AB，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可．
(2)根据(1)得到的三个角关系，再加上一组同旁内角的和即为所求．
(3)分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a/​/b，b/​/c⇒a/​/c．