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2023-2024学年福建省福州市台江区华伦中学八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市台江区华伦中学八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.任意下列两个图形不一定相似的是( )
A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 矩形D. 等边三角形
2.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，AB=4，则CD的长是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是( )
A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：16
4.幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在△ABC与△DEF中，下列结论一定正确的是( )
A. ∠BCA=∠EDF
B. ∠ABC=∠DEF
C. AC=EF
D. DE=2AB
5.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为1：2，若点A的坐标为(2,3)，则点A′的坐标为( )
A. (1,1.5)或(−1,−1.5)B. (4,6)或(−4,−6)
C. (−4,6)或(4,−6)D. (−1,1.5)或(1,−1.5)
6.如图，l1//l2//l3，AB=1，DEDF=35，则AC长为( )
A. 35
B. 53
C. 2
D. 83
7.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为5等份.若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处(DE//AB)，那么小玻璃管口径DE的长为( )
A. 95cmB. 2cmC. 32cmD. 1cm
8.如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=( )
A. 5
B. 5+1
C. 4
D. 2 3
9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是( )
A. BE=DEB. DE垂直平分线段AC
C. S△EDCS△ABC= 33D. BD2=BC⋅BE
10.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是( )
A. 32
B. 85
C. 83
D. 43
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.两地的实际距离是2000m，在绘制的地图上量得这两地的距离是2cm，那么这幅地图的比例尺为______．
12.如图，在△ABC中，点D在AB上(不与点A，B重合)，连接CD.只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是 (写出一个即可)．
13.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是______．
14.如图，梯子AB斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离BC=1.2m，梯子上一点D离墙的距离DE=0.8m.若BD=1m，则梯子AB的长为______m.
15.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0)，A(4,3)，B(3,0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C的坐标为______．
16.如图，在△ACD中，点B是边CD上一点，AD=6，BC=5，AC2=AB(AB+BC)，且∠DAB=∠C，过边AD上一点P作PQ⊥AB，若AD=3AP，则PQ的长度为______．
三、解答题：本题共9小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图，△ABC与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
18.(本小题10分)
如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上．
(1)将△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在网格范围内画出与△A1B1C1相似比为2的△A2B2C2．
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动．设点P，Q运动的时间为t(s).当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
20.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若
∠1=∠2．
(1)求证：△ABD∽△EDC．
(2)若∠A=130°，BE=BC，求∠DBC的度数．
21.(本小题5分)
如图，已知矩形ABCD，点E为BC边上一点．
(1)尺规作图：在CD边上求作一点F，使得△ECF∽△ABE；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AB=4，BC=8，BE=2，求CF的长．
22.(本小题5分)
如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
(1)若∠ABF=∠ACF，求证：CE2=EF⋅EG；
(2)若DG=DC，BE=7，求EF的长．
23.(本小题3分)
根据以下素材，探索解决问题．
24.(本小题3分)
在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN=32DM，连接DN．
(1)如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．
①求证：△ABD∽△MND；
②求证：∠CBN=∠DNM；
(2)如图②，当AM=4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+2ax+c经过B(1,0)，C(0,3)两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；
(3)如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；
故选：C．
相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵△ABO∽△CDO，
∴ABCD=OBOD，即4CD=63，
解得CD=2．
故选：B．
先根据相似三角形的性质得到4CD=63，然后利用比例的性质求出CD的长．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
3.【答案】B
【解析】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得：△ABC∽△DEF，
A、根据相似三角形对应角相等可得∠BCA=∠EFD，故A选项不符合题意；
B、根据相似三角形对应角相等可得∠ABC=∠DEF，故B选项符合题意；
C、无法判断AC与EF相等，故C选项不符合题意；
D、题中没有给出两个三角形的相似比，无法判断DE与AB的数量关系，故D选项不符合题意；
故选：B．
根据投影时两个三角形相似，相似三角形对应角相等，对应边成比例进行判断即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应角相等，对应边成比例是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是1：2，A坐标为(2,3)，
∴则点A′的坐标为：(4,6)；
不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是1：2，A坐标为(2,3)，
∴则点A′的坐标为：(−4,−6)，
故选：B．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，即可求得答案．
此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
6.【答案】B
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴ABAC=DEDF，即1AC=35，
解得：AC=53，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵DE//AB，
∴∠BAC=∠EDC，∠B=∠CED，
∴△ABC∽△DEC，
∴DEAB=CDCA，
∴DE3=35，
∴DE=95，
故选：A．
根据平行线的性质可得∠BAC=∠EDC，∠B=∠CED，从而可得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB=2，
设AD=x，则FD=x−2，FE=2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴EFFD=ADAB，2x−2=x2，
解得x1=1+ 5，x2=1− 5(不合题意舍去)，
经检验x1=1+ 5是原方程的解．
故选：B．
可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得∠ABC=90°，∠C=30°，AB=AD，AP为BD的垂直平分线，
∴BE=DE，且∠BAD=60°，AC=2AB，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴∠DAE=∠C，
∴△AEC是等腰三角形，
∵AB=AD，AC=2AB，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，
故选项A，B正确，不符合题意；
在△ABC和△EDC中，
∠C=∠C，∠ABC=∠EDC=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABED=ACEC=BCDC，
∵BCAC=cs30°= 32，DC=12AC，
∴BCDC= 3，
∴S△ABCS△EDC=( 3)2=3，
∴S△EDCS△ABC=13，故选项C错误，符合题意；
在△ABD中，∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠BDE=30°，
在△BED和△BDC中，
∠DBC=∠EBD=30°，∠BDE=∠C=30°，
∴△BED∽△BDC，
∴BEBD=BDBC，
∴BD2=BC⋅BE，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
由题意不难得到BE=DE，且∠BAD=60°，AC=2AB，则有∠BAE=∠DAE=30°，进而∠DAE=∠C，可判断△AEC是等腰三角形，则不难判断A、B正确；易证△ABC∽△EDC，则有ABED=ACEC=BCDC，再根据BCAC=cs30°= 32，DC=12AC，从而得到BCDC= 3，利用相似三角形的性质可判断C错误；易证得△ABD是等边三角形，则有∠DBE=∠BDE=30°，可得△BED∽△BDC，根据相似三角形的性质可得到D正确．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，含30°角的直角三角形，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
10.【答案】B
【解析】解：∵AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，
∴DGAG=14，BDBC=25，
过D作DH//AC交BE于H，
∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△BCE，
∴DHAE=DGAG=14，DHCE=BDBC=25，
∴AE=4DH，CE=52DH，
∴AEEC=4DH52DH=85，
故选：B．
过D作DH//AC交BE于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】1：100000
【解析】解：2cm=0.02m，
0.02m：2000m=1：100000．
答：这幅地图的比例尺是1：100000．
故答案为：1：100000．
图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离：实际距离”即可求得这幅地图的比例尺．
此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
12.【答案】∠ACD=∠B
【解析】解：添加的条件为：∠ACD=∠B，
理由如下：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故答案为：∠ACD=∠B．
利用相似三角形的判定方法可求解．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
13.【答案】6
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．
∴△ABC的周长：△DEF的周长=2：3，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长=6，
故答案为：6．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】3
【解析】解：由题意可得：CB⊥AC，ED⊥AC，
∴∠ACB=∠AED=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴DECB=ADAB，
∴−1AB，
解得：AB=3，
∴梯子AB的长为3m，
故答案为：3．
根据题意可得：CB⊥AC，ED⊥AC，从而可得∠ACB=∠AED=90°，然后证明A字模型相似三角形△ABC∽△ADE，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
15.【答案】(−43,−1)
【解析】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，A(4,3)，
∴点C的坐标为(4×(−13),3×(−13))，即(−43,−1)，
故答案为：(−43,−1)．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
16.【答案】 72
【解析】解：如图，过点B作BH⊥AD于点H，
∵∠DAB=∠C，∠D=∠D，
∴△DAB∽△DCA，
∴ADBD=CDAD，
∴6BD=5+BD6，
解得BD=4或BD=−9(舍去)，
∵△DAB∽△DCA，
∴ACAB=CDDA=96=32，
∴AC=32AB，
∵AC2=AB(AB+BC)，BC=5，
∴(32AB)2=AB(AB+5)，
解得AB=4或者AB=0(舍去)，
∴AB=BD=4，
∵BH⊥AD，AB=BD，
∴AH=12AD，
在Rt△ABH中，
∴BH= AB2−AH2= 42−32= 7，
∵AD=3AP，AD=6，
∴AP=2，
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=∠AHB=90°，
又∠PAQ=∠BAH，
∴△PAQ∽△BAH，
∴PABA=PQBH，
即24=PQ 7，
∴PQ= 72．
故答案为： 72．
过点B作BH⊥AD于点H，证明△DAB∽△DCA，根据相似三角形的性质得到，结合已知条件可得BD=4，进而可得BD=AD，根据等腰三角形的性质求得AH，根据勾股定理得到BH，由PQ⊥AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
17.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE. (2分)
∵∠C=∠E，(3分)
∴△ABC∽△ADE. (5分)
【解析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.问题得证．
此题考查了相似三角形的判定，内容单一，简单．
18.【答案】解：(1)如图，三角形A1B1C1即为所求作；
(2)如图，三角形A2B2C2即为所求作．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−位似变换，平移变换，解题的关键是掌握平移变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】解：根据题意可得AP=tcm，PB=AB−AP=(6−t)cm，BQ=2tcm．
当△PBQ∽△ABC时，PBBQ=ABBC，
即6−t2t=68，
解得t=125；
当△PBQ∽△CBA时，PBBQ=CBBA，
即6−t2t=86，
解得t=1811．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是125或1811．
【解析】【分析】
分两种情况进行讨论，由相似三角形的性质列出方程，即可求解．
【点评】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠ABD=∠CDE，
又∠1=∠2，
∴△ABD∽△EDC；
(2)解：∵△ABD∽△EDC，
∴∠A=∠DEC=130°，
∴∠BEC=50°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=50°，
∴∠DBC=180°−2×50°=80°．
【解析】(1)首先利用平行线的性质得到∠ABD=∠CDE，然后利用已知条件即可判定△ABD∽△EDC；
(2)首先利用相似三角形的性质得到∠DEC的度数，然后利用等腰三角形的性质即可求解．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了等腰三角形的性质，有一定的综合性．
21.【答案】解：(1)如图，过点E作EF⊥AE，交CD于F，则点F即为所求；
(2)∵BC=8，BE=2，
∴EC=BC−BE=8−2=6．
∵△ECF∽△ABE，AB=4，
∴CFBE=ECAB，
∴CF2=64，
∴CF=3．
【解析】(1)过点E作EF⊥AE，交CD于F即可；
(2)根据相似三角形的性质求解即可．
本题考查了作图−相似变换，矩形的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出点F．
22.【答案】(1)证明：∵AB//CG，
∴∠ABF=∠G，
又∵∠ABF=∠ACF，
∴∠ECF=∠G，
又∵∠CEF=∠CEG，
∴△ECF∽△EGC，
∴CEGE=FECE，
即CE2=EF⋅EG；
(2)解：∵平行四边形ABCD中，AB=CD，
又∵DG=DC，
∴AB=CD=DG，
∴AB：CG=1：2，
∵AB//CG，
∴ABCG=BEGE=12，
即7EG=12，
∴EG=14，BG=21，
∵AB//DG，
∴BFGF=ABDG=1，
∴BF=12BG=212，
∴EF=BF−BE=212−7=72．
【解析】(1)依据等量代换得到∠ECF=∠G，依据∠CEF=∠CEG，可得△ECF∽△EGC，进而得出CE2=EF⋅EG；
(2)依据AB=CD=DG，可得AB：CG=1：2，依据AB//CG，即可得出EG=14，BG=21，再根据AB//DG，可得BF=12BG=212，于是得到结论．
本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，问题(2)的解法不唯一，也可以根据点F是AD的中点，△AEF与△CEB相似，得到EF的长．
23.【答案】任务1：证明：∵AB⊥MD，CD⊥MD，
∴∠ABM=∠CDN=90°，
∵AM//CN，
∴∠AMB=∠CND，
∴△ABM∽△CDN
任务2：还需要测出DE的长，令DE=a，
∵BG⊥BD，CD⊥BD，
∴∠GBE=∠CDE=90°，
∵∠BEG=∠DEC，
∴△BEG∽△DEC，
∴CDBG=DEBE，即CD1.6=a2.5，
∴CD=1625a；
任务3：过G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，
∴GN=BD=3.5+14=17.5m，DN=MQ=BG=1.6m，GM=BQ=3.5m
∴PM=PQ−MQ=3−1.6=1.4m，
∵PQ⊥BD，CD⊥BD，
∴PQ//CD，
∴∠PMG=∠CNG，
∵∠PGM=∠CGN，
∴△PGM∽△CGN，
∴CNPM=GNGM即CN1.4=17.53.5，
解得CN=7m，
∴CD=CN+DN=1.6+7=8.6m．
【解析】任务1，根据两角相等的两个三角形相似可证明；
任务2，还需要测出DE的长，令DE=a，证明△BEG∽△DEC，得CDBG=DEBE即CD1.6=a2.5，从而即可得解；
任务3，过G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，进而得GN=BD=3.5+14=17.5m，DN=MQ=BG=1.6m，GM=BQ=3.5m，证△PGM∽△CGN，得CNPM=GNGM即CN1.4=17.53.5，求解即可得解．
本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，
∴∠A=∠DMN=90°，
∵AB=6，AD=4，MN=32DM，
∴ADAB=DMMN=23，
∴△ABD∽△MND；
②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，
∴∠ABC=∠DMN=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
由①得△ABD∽△MND，
∴∠ABD=∠DNM，
又∵∠MEB=∠DEN，
∴△MBE∽△DNE，
∴MEDE=BENE，
又∵∠MED=∠BEN，
∴△DME∽△NBE，
∴∠NBE=∠DME=90°，
∴∠CBN+∠CBD=90°，
∴∠CBN=∠DNM；
(2)如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，
则∠NFA=90°，
∵四边形ABCD为矩形，AD=4，AB=6，
∴∠DAB=∠ABC=90°，BC=AD=4，BCAB=46=23，
则∠ADM+∠AMD=90°，
∵AM=4BM，AB=6，
∴AM=45AB=245，
又∵DM⊥MN，
∴∠DMN=90°，
∴∠AMD+∠FMN=90°，
∴∠ADM=∠FMN，
∴△ADM∽△FMN，
∴ADMF=AMFN=DMMN，
即4MF=245FN=23，
∴MF=6，FN=365，
∴NFAF=NFAM+MF=365245+6=23，
∴BCAB=NFAF，
∵∠ABC=∠AFN=90°，
∴△ABC∽△AFN，
∴∠BAC=∠FAN，
∴A，C，N三点在同一条直线上．
【解析】【分析】
(1)①根据ADAB=DMMN=23，∠A=∠DMN=90°，可证明结论；
②根据①中相似得∠ABD=∠DNM，则△MBE∽△DNE，△DME∽△NBE，得∠NBE=∠DME=90°，从而证明结论；
(2)过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，由k形相似知△ADM∽△FMN，得ADMF=AMFN=DMMN，得MF=6，FN=365，证明△ABC∽△AFN，得∠BAC=∠FAN，从而证明结论．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把B(1,0)，C(0,3)代入y=ax2+2ax+c得：
a+2a+c=0c=3，
解得：a=−1c=3，
∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴顶点D(−1,4)；
(2)令y=0，则−x2−2x+3=0，
解得：x=1或−3．
∴A(−3,0)．
∴OA=3．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴−3k+b=0b=3，
解得：k=1b=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
∵点E在直线AC上方的抛物线y=−x2−2x+3上，
∴设E(m,−m2−2m+3)，−3过点E作EH⊥x轴于点H，交AC于点F，则F(m,m+3)，
∴EH=−m2−2m+3，FH=m+3，
∴EF=EH−FH=−m2−3m．
∴△EAC面积=12×EF⋅OA=12×(−m2−3m)×3=−32m2−92m=−32(m+32)2+274．
∵−32<0，
∴当m=−32时，△EAC面积最大．
此时点E的坐标为(−32,154)；
(3)在抛物线上存在点M，使∠ACM=∠BCO，理由：
分两种情况：
设M(x,−x2−2x+3)，
①如图，当CM交x轴于G时，
∵∠BCO=∠ACM，
∴∠ACG=∠OCB，
∵OC=OA=3，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
∴∠BCM=45°，
∵∠ACB=∠BCM+∠ACG，∠BGC=∠OAC+∠ACG，
∴∠ACB=∠BGC，
∵∠CBG=∠CBA，
∴△BCG∽△BAC，
∴BGBC=BCBA，
∵OB=1，OC=3，
∴BC= 10，
设G(−t,0)，
∴t+1 10= 104，
∴t=32，
∴G(−32,0)，
设直线CG的解析式为y=ex+f，
∴−32e+f=0f=3，
解得：e=2f=3．
∴直线CG的解析式为：y=2x+3，
则y=2x+3y=−x2−2x+3，
∴−x2−2x+3=2x+3，
x2+4x=0，
x(x+4)=0，
x1=0(舍)，x2=−4，
当x=−4时，y=−5，
∴M(−4,−5)；
②当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，如图，
∵∠OAC=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB=OA+OB=3+1=4，
∴AP=BP=4 2=2 2，
∵AC= 32+32=3 2，
∴CP=AC−AP= 2，
∵∠BCO=∠ACM，
∴∠ACB=∠OCM，
∵∠BPC=∠COA=90°，
∴△BCP∽△NCO，
∴BPNO=CPCO，
∴2 2NO= 23，
∴NO=6，
∴N(−6,0)，
设直线NC的解析式为y=dx+n，
∴−6d+n=0n=3，
解得：d=12n=3．
∴直线NC的解析式为：y=12x+3，
联立方程组得：y=12x+3y=−x2−2x+3，
解得：x1=0，x2=−52，
当x=−52时，y=74，
∴M(−52,74)，
综上所述，存在点M(−4,−5)或(−52,74)，使得∠ACM=∠BCO．
【解析】(1)利用待定系数法和配方法解答即可；
(2)利用待定系数法求得直线AC的解析式，设E(m,−m2−2m+3)，过点E作EH⊥x轴于点H，交AC于点F，则F(m,m+3)，得到EF=EH−FH=−m2−3m，理由三角形的面积公式求得△EAC面积==−32(m+32)2+274，利用二次函数的性质求得m值，则点E坐标可得；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：设M(x,−x2−2x+3)，①当CM交x轴于G时，利用相似三角形的判定与性质和待定系数法得到直线CG的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论；②当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，利用①中的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．测量旗杆的高度
素材1
可以利用影子测量旗杆的高度.如右图，光线CN//AM，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
说明：小陈同学AB、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB=1.6m．
素材2
可以利用镜子测量旗杆的高度.如右图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE=2.5m．
素材3
可以利用标杆测量旗杆的高度.如右图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ=3m，测得BQ=3.5m，QD=14m．
问题解决
任务1
分析测量原理
利用素材1说明△ABM∽△CDN的理由．
任务2
完善测量数据
在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度．
任务3
推理计算高度
利用素材3求出旗杆的高度．
1.任意下列两个图形不一定相似的是( )
A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 矩形D. 等边三角形
2.如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，AB=4，则CD的长是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是( )
A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：16
4.幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上，如图，在△ABC与△DEF中，下列结论一定正确的是( )
A. ∠BCA=∠EDF
B. ∠ABC=∠DEF
C. AC=EF
D. DE=2AB
5.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为1：2，若点A的坐标为(2,3)，则点A′的坐标为( )
A. (1,1.5)或(−1,−1.5)B. (4,6)或(−4,−6)
C. (−4,6)或(4,−6)D. (−1,1.5)或(1,−1.5)
6.如图，l1//l2//l3，AB=1，DEDF=35，则AC长为( )
A. 35
B. 53
C. 2
D. 83
7.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为5等份.若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处(DE//AB)，那么小玻璃管口径DE的长为( )
A. 95cmB. 2cmC. 32cmD. 1cm
8.如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=( )
A. 5
B. 5+1
C. 4
D. 2 3
9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是( )
A. BE=DEB. DE垂直平分线段AC
C. S△EDCS△ABC= 33D. BD2=BC⋅BE
10.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是( )
A. 32
B. 85
C. 83
D. 43
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.两地的实际距离是2000m，在绘制的地图上量得这两地的距离是2cm，那么这幅地图的比例尺为______．
12.如图，在△ABC中，点D在AB上(不与点A，B重合)，连接CD.只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是 (写出一个即可)．
13.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是______．
14.如图，梯子AB斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离BC=1.2m，梯子上一点D离墙的距离DE=0.8m.若BD=1m，则梯子AB的长为______m.
15.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0)，A(4,3)，B(3,0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C的坐标为______．
16.如图，在△ACD中，点B是边CD上一点，AD=6，BC=5，AC2=AB(AB+BC)，且∠DAB=∠C，过边AD上一点P作PQ⊥AB，若AD=3AP，则PQ的长度为______．
三、解答题：本题共9小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图，△ABC与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
18.(本小题10分)
如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上．
(1)将△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在网格范围内画出与△A1B1C1相似比为2的△A2B2C2．
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动．设点P，Q运动的时间为t(s).当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
20.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若
∠1=∠2．
(1)求证：△ABD∽△EDC．
(2)若∠A=130°，BE=BC，求∠DBC的度数．
21.(本小题5分)
如图，已知矩形ABCD，点E为BC边上一点．
(1)尺规作图：在CD边上求作一点F，使得△ECF∽△ABE；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AB=4，BC=8，BE=2，求CF的长．
22.(本小题5分)
如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
(1)若∠ABF=∠ACF，求证：CE2=EF⋅EG；
(2)若DG=DC，BE=7，求EF的长．
23.(本小题3分)
根据以下素材，探索解决问题．
24.(本小题3分)
在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN⊥DM，且MN=32DM，连接DN．
(1)如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．
①求证：△ABD∽△MND；
②求证：∠CBN=∠DNM；
(2)如图②，当AM=4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+2ax+c经过B(1,0)，C(0,3)两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；
(3)如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；
故选：C．
相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵△ABO∽△CDO，
∴ABCD=OBOD，即4CD=63，
解得CD=2．
故选：B．
先根据相似三角形的性质得到4CD=63，然后利用比例的性质求出CD的长．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
3.【答案】B
【解析】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得：△ABC∽△DEF，
A、根据相似三角形对应角相等可得∠BCA=∠EFD，故A选项不符合题意；
B、根据相似三角形对应角相等可得∠ABC=∠DEF，故B选项符合题意；
C、无法判断AC与EF相等，故C选项不符合题意；
D、题中没有给出两个三角形的相似比，无法判断DE与AB的数量关系，故D选项不符合题意；
故选：B．
根据投影时两个三角形相似，相似三角形对应角相等，对应边成比例进行判断即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应角相等，对应边成比例是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是1：2，A坐标为(2,3)，
∴则点A′的坐标为：(4,6)；
不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是1：2，A坐标为(2,3)，
∴则点A′的坐标为：(−4,−6)，
故选：B．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，即可求得答案．
此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
6.【答案】B
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴ABAC=DEDF，即1AC=35，
解得：AC=53，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵DE//AB，
∴∠BAC=∠EDC，∠B=∠CED，
∴△ABC∽△DEC，
∴DEAB=CDCA，
∴DE3=35，
∴DE=95，
故选：A．
根据平行线的性质可得∠BAC=∠EDC，∠B=∠CED，从而可得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB=2，
设AD=x，则FD=x−2，FE=2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴EFFD=ADAB，2x−2=x2，
解得x1=1+ 5，x2=1− 5(不合题意舍去)，
经检验x1=1+ 5是原方程的解．
故选：B．
可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得∠ABC=90°，∠C=30°，AB=AD，AP为BD的垂直平分线，
∴BE=DE，且∠BAD=60°，AC=2AB，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴∠DAE=∠C，
∴△AEC是等腰三角形，
∵AB=AD，AC=2AB，
∴点D为AC的中点，
∴DE垂直平分线段AC，
故选项A，B正确，不符合题意；
在△ABC和△EDC中，
∠C=∠C，∠ABC=∠EDC=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABED=ACEC=BCDC，
∵BCAC=cs30°= 32，DC=12AC，
∴BCDC= 3，
∴S△ABCS△EDC=( 3)2=3，
∴S△EDCS△ABC=13，故选项C错误，符合题意；
在△ABD中，∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠BDE=30°，
在△BED和△BDC中，
∠DBC=∠EBD=30°，∠BDE=∠C=30°，
∴△BED∽△BDC，
∴BEBD=BDBC，
∴BD2=BC⋅BE，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
由题意不难得到BE=DE，且∠BAD=60°，AC=2AB，则有∠BAE=∠DAE=30°，进而∠DAE=∠C，可判断△AEC是等腰三角形，则不难判断A、B正确；易证△ABC∽△EDC，则有ABED=ACEC=BCDC，再根据BCAC=cs30°= 32，DC=12AC，从而得到BCDC= 3，利用相似三角形的性质可判断C错误；易证得△ABD是等边三角形，则有∠DBE=∠BDE=30°，可得△BED∽△BDC，根据相似三角形的性质可得到D正确．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，含30°角的直角三角形，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用．
10.【答案】B
【解析】解：∵AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，
∴DGAG=14，BDBC=25，
过D作DH//AC交BE于H，
∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△BCE，
∴DHAE=DGAG=14，DHCE=BDBC=25，
∴AE=4DH，CE=52DH，
∴AEEC=4DH52DH=85，
故选：B．
过D作DH//AC交BE于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】1：100000
【解析】解：2cm=0.02m，
0.02m：2000m=1：100000．
答：这幅地图的比例尺是1：100000．
故答案为：1：100000．
图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离：实际距离”即可求得这幅地图的比例尺．
此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
12.【答案】∠ACD=∠B
【解析】解：添加的条件为：∠ACD=∠B，
理由如下：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故答案为：∠ACD=∠B．
利用相似三角形的判定方法可求解．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
13.【答案】6
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．
∴△ABC的周长：△DEF的周长=2：3，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长=6，
故答案为：6．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】3
【解析】解：由题意可得：CB⊥AC，ED⊥AC，
∴∠ACB=∠AED=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴DECB=ADAB，
∴−1AB，
解得：AB=3，
∴梯子AB的长为3m，
故答案为：3．
根据题意可得：CB⊥AC，ED⊥AC，从而可得∠ACB=∠AED=90°，然后证明A字模型相似三角形△ABC∽△ADE，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
15.【答案】(−43,−1)
【解析】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，A(4,3)，
∴点C的坐标为(4×(−13),3×(−13))，即(−43,−1)，
故答案为：(−43,−1)．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
16.【答案】 72
【解析】解：如图，过点B作BH⊥AD于点H，
∵∠DAB=∠C，∠D=∠D，
∴△DAB∽△DCA，
∴ADBD=CDAD，
∴6BD=5+BD6，
解得BD=4或BD=−9(舍去)，
∵△DAB∽△DCA，
∴ACAB=CDDA=96=32，
∴AC=32AB，
∵AC2=AB(AB+BC)，BC=5，
∴(32AB)2=AB(AB+5)，
解得AB=4或者AB=0(舍去)，
∴AB=BD=4，
∵BH⊥AD，AB=BD，
∴AH=12AD，
在Rt△ABH中，
∴BH= AB2−AH2= 42−32= 7，
∵AD=3AP，AD=6，
∴AP=2，
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=∠AHB=90°，
又∠PAQ=∠BAH，
∴△PAQ∽△BAH，
∴PABA=PQBH，
即24=PQ 7，
∴PQ= 72．
故答案为： 72．
过点B作BH⊥AD于点H，证明△DAB∽△DCA，根据相似三角形的性质得到，结合已知条件可得BD=4，进而可得BD=AD，根据等腰三角形的性质求得AH，根据勾股定理得到BH，由PQ⊥AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
17.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE. (2分)
∵∠C=∠E，(3分)
∴△ABC∽△ADE. (5分)
【解析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.问题得证．
此题考查了相似三角形的判定，内容单一，简单．
18.【答案】解：(1)如图，三角形A1B1C1即为所求作；
(2)如图，三角形A2B2C2即为所求作．
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−位似变换，平移变换，解题的关键是掌握平移变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】解：根据题意可得AP=tcm，PB=AB−AP=(6−t)cm，BQ=2tcm．
当△PBQ∽△ABC时，PBBQ=ABBC，
即6−t2t=68，
解得t=125；
当△PBQ∽△CBA时，PBBQ=CBBA，
即6−t2t=86，
解得t=1811．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是125或1811．
【解析】【分析】
分两种情况进行讨论，由相似三角形的性质列出方程，即可求解．
【点评】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠ABD=∠CDE，
又∠1=∠2，
∴△ABD∽△EDC；
(2)解：∵△ABD∽△EDC，
∴∠A=∠DEC=130°，
∴∠BEC=50°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=50°，
∴∠DBC=180°−2×50°=80°．
【解析】(1)首先利用平行线的性质得到∠ABD=∠CDE，然后利用已知条件即可判定△ABD∽△EDC；
(2)首先利用相似三角形的性质得到∠DEC的度数，然后利用等腰三角形的性质即可求解．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了等腰三角形的性质，有一定的综合性．
21.【答案】解：(1)如图，过点E作EF⊥AE，交CD于F，则点F即为所求；
(2)∵BC=8，BE=2，
∴EC=BC−BE=8−2=6．
∵△ECF∽△ABE，AB=4，
∴CFBE=ECAB，
∴CF2=64，
∴CF=3．
【解析】(1)过点E作EF⊥AE，交CD于F即可；
(2)根据相似三角形的性质求解即可．
本题考查了作图−相似变换，矩形的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出点F．
22.【答案】(1)证明：∵AB//CG，
∴∠ABF=∠G，
又∵∠ABF=∠ACF，
∴∠ECF=∠G，
又∵∠CEF=∠CEG，
∴△ECF∽△EGC，
∴CEGE=FECE，
即CE2=EF⋅EG；
(2)解：∵平行四边形ABCD中，AB=CD，
又∵DG=DC，
∴AB=CD=DG，
∴AB：CG=1：2，
∵AB//CG，
∴ABCG=BEGE=12，
即7EG=12，
∴EG=14，BG=21，
∵AB//DG，
∴BFGF=ABDG=1，
∴BF=12BG=212，
∴EF=BF−BE=212−7=72．
【解析】(1)依据等量代换得到∠ECF=∠G，依据∠CEF=∠CEG，可得△ECF∽△EGC，进而得出CE2=EF⋅EG；
(2)依据AB=CD=DG，可得AB：CG=1：2，依据AB//CG，即可得出EG=14，BG=21，再根据AB//DG，可得BF=12BG=212，于是得到结论．
本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，问题(2)的解法不唯一，也可以根据点F是AD的中点，△AEF与△CEB相似，得到EF的长．
23.【答案】任务1：证明：∵AB⊥MD，CD⊥MD，
∴∠ABM=∠CDN=90°，
∵AM//CN，
∴∠AMB=∠CND，
∴△ABM∽△CDN
任务2：还需要测出DE的长，令DE=a，
∵BG⊥BD，CD⊥BD，
∴∠GBE=∠CDE=90°，
∵∠BEG=∠DEC，
∴△BEG∽△DEC，
∴CDBG=DEBE，即CD1.6=a2.5，
∴CD=1625a；
任务3：过G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，
∴GN=BD=3.5+14=17.5m，DN=MQ=BG=1.6m，GM=BQ=3.5m
∴PM=PQ−MQ=3−1.6=1.4m，
∵PQ⊥BD，CD⊥BD，
∴PQ//CD，
∴∠PMG=∠CNG，
∵∠PGM=∠CGN，
∴△PGM∽△CGN，
∴CNPM=GNGM即CN1.4=17.53.5，
解得CN=7m，
∴CD=CN+DN=1.6+7=8.6m．
【解析】任务1，根据两角相等的两个三角形相似可证明；
任务2，还需要测出DE的长，令DE=a，证明△BEG∽△DEC，得CDBG=DEBE即CD1.6=a2.5，从而即可得解；
任务3，过G作GN⊥CD于点N，交PQ于点M，则四边形BDNG与四边形BQMG是矩形，进而得GN=BD=3.5+14=17.5m，DN=MQ=BG=1.6m，GM=BQ=3.5m，证△PGM∽△CGN，得CNPM=GNGM即CN1.4=17.53.5，求解即可得解．
本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
24.【答案】证明：(1)①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，
∴∠A=∠DMN=90°，
∵AB=6，AD=4，MN=32DM，
∴ADAB=DMMN=23，
∴△ABD∽△MND；
②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，
∴∠ABC=∠DMN=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
由①得△ABD∽△MND，
∴∠ABD=∠DNM，
又∵∠MEB=∠DEN，
∴△MBE∽△DNE，
∴MEDE=BENE，
又∵∠MED=∠BEN，
∴△DME∽△NBE，
∴∠NBE=∠DME=90°，
∴∠CBN+∠CBD=90°，
∴∠CBN=∠DNM；
(2)如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，
则∠NFA=90°，
∵四边形ABCD为矩形，AD=4，AB=6，
∴∠DAB=∠ABC=90°，BC=AD=4，BCAB=46=23，
则∠ADM+∠AMD=90°，
∵AM=4BM，AB=6，
∴AM=45AB=245，
又∵DM⊥MN，
∴∠DMN=90°，
∴∠AMD+∠FMN=90°，
∴∠ADM=∠FMN，
∴△ADM∽△FMN，
∴ADMF=AMFN=DMMN，
即4MF=245FN=23，
∴MF=6，FN=365，
∴NFAF=NFAM+MF=365245+6=23，
∴BCAB=NFAF，
∵∠ABC=∠AFN=90°，
∴△ABC∽△AFN，
∴∠BAC=∠FAN，
∴A，C，N三点在同一条直线上．
【解析】【分析】
(1)①根据ADAB=DMMN=23，∠A=∠DMN=90°，可证明结论；
②根据①中相似得∠ABD=∠DNM，则△MBE∽△DNE，△DME∽△NBE，得∠NBE=∠DME=90°，从而证明结论；
(2)过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，由k形相似知△ADM∽△FMN，得ADMF=AMFN=DMMN，得MF=6，FN=365，证明△ABC∽△AFN，得∠BAC=∠FAN，从而证明结论．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
25.【答案】解：(1)把B(1,0)，C(0,3)代入y=ax2+2ax+c得：
a+2a+c=0c=3，
解得：a=−1c=3，
∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3，
∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，
∴顶点D(−1,4)；
(2)令y=0，则−x2−2x+3=0，
解得：x=1或−3．
∴A(−3,0)．
∴OA=3．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴−3k+b=0b=3，
解得：k=1b=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
∵点E在直线AC上方的抛物线y=−x2−2x+3上，
∴设E(m,−m2−2m+3)，−3
∴EH=−m2−2m+3，FH=m+3，
∴EF=EH−FH=−m2−3m．
∴△EAC面积=12×EF⋅OA=12×(−m2−3m)×3=−32m2−92m=−32(m+32)2+274．
∵−32<0，
∴当m=−32时，△EAC面积最大．
此时点E的坐标为(−32,154)；
(3)在抛物线上存在点M，使∠ACM=∠BCO，理由：
分两种情况：
设M(x,−x2−2x+3)，
①如图，当CM交x轴于G时，
∵∠BCO=∠ACM，
∴∠ACG=∠OCB，
∵OC=OA=3，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
∴∠BCM=45°，
∵∠ACB=∠BCM+∠ACG，∠BGC=∠OAC+∠ACG，
∴∠ACB=∠BGC，
∵∠CBG=∠CBA，
∴△BCG∽△BAC，
∴BGBC=BCBA，
∵OB=1，OC=3，
∴BC= 10，
设G(−t,0)，
∴t+1 10= 104，
∴t=32，
∴G(−32,0)，
设直线CG的解析式为y=ex+f，
∴−32e+f=0f=3，
解得：e=2f=3．
∴直线CG的解析式为：y=2x+3，
则y=2x+3y=−x2−2x+3，
∴−x2−2x+3=2x+3，
x2+4x=0，
x(x+4)=0，
x1=0(舍)，x2=−4，
当x=−4时，y=−5，
∴M(−4,−5)；
②当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，如图，
∵∠OAC=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB=OA+OB=3+1=4，
∴AP=BP=4 2=2 2，
∵AC= 32+32=3 2，
∴CP=AC−AP= 2，
∵∠BCO=∠ACM，
∴∠ACB=∠OCM，
∵∠BPC=∠COA=90°，
∴△BCP∽△NCO，
∴BPNO=CPCO，
∴2 2NO= 23，
∴NO=6，
∴N(−6,0)，
设直线NC的解析式为y=dx+n，
∴−6d+n=0n=3，
解得：d=12n=3．
∴直线NC的解析式为：y=12x+3，
联立方程组得：y=12x+3y=−x2−2x+3，
解得：x1=0，x2=−52，
当x=−52时，y=74，
∴M(−52,74)，
综上所述，存在点M(−4,−5)或(−52,74)，使得∠ACM=∠BCO．
【解析】(1)利用待定系数法和配方法解答即可；
(2)利用待定系数法求得直线AC的解析式，设E(m,−m2−2m+3)，过点E作EH⊥x轴于点H，交AC于点F，则F(m,m+3)，得到EF=EH−FH=−m2−3m，理由三角形的面积公式求得△EAC面积==−32(m+32)2+274，利用二次函数的性质求得m值，则点E坐标可得；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：设M(x,−x2−2x+3)，①当CM交x轴于G时，利用相似三角形的判定与性质和待定系数法得到直线CG的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论；②当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，利用①中的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．测量旗杆的高度
素材1
可以利用影子测量旗杆的高度.如右图，光线CN//AM，DN，BM分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．
说明：小陈同学AB、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离GB=1.6m．
素材2
可以利用镜子测量旗杆的高度.如右图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得BE=2.5m．
素材3
可以利用标杆测量旗杆的高度.如右图，点G，P，C在同一直线上，标杆PQ=3m，测得BQ=3.5m，QD=14m．
问题解决
任务1
分析测量原理
利用素材1说明△ABM∽△CDN的理由．
任务2
完善测量数据
在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度．
任务3
推理计算高度
利用素材3求出旗杆的高度．
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