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2024年广东省中山市纪中、纪雅、三鑫中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年广东省中山市纪中、纪雅、三鑫中考数学三模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.绝对值为2的数是( )
A. 2B. −2C. ±2D. −12
2.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是( )
A. 13×105B. 1.3×105C. 1.3×106D. 1.3×107
3.将多项式a3−16a进行因式分解的结果是( )
A. a(a+4)(a−4)B. (a−4)2C. a(a−16)D. (a+4)(a−4)
4.已知抛物线y=−2(x+h)2+k的顶点在第四象限，则( )
A. h>0，k>0B. h>0，k<0C. h<0，k>0D. h<0，k<0
5.如图为一无盖长方体盒子的展开图(重叠部分不计)，可知该无盖长方体的容积为( )
A. 4
B. 6
C. 12
D. 8
6.某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台m元，商店将进价提高30%后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为( )
A. m元B. 1.3m元C. 1.04m元D. 0.8m元
7.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点B正好在反比例函数y=kx的图象上，点A的坐标为(3,4)，则k的值为( )
A. 12
B. 16
C. 24
D. 32
9.如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB=4，则图中阴影部分的面积等于( )
A. 4π3B. 2π3C. 16π3D. 8π3
10.如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是(−10,1)，若直线同时经过点A，B，C，D，E，则k与b的乘积为( )
A. −3B. 3C. −5D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.计算：|−3|+12−1=_____．
12.定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，a⊗b=1a+1b，若(x+1)⊗x=2，则x的值为 ．
13.在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率P(w)与做功所用的时间t(s)成反比例函数关系，图象如图所示，当t=50时，P= ______．
14.在幼儿园的手工课上，老师与小朋友们用小棒摆图案，老师摆出的图案中具有一定的规律性，已知第1个图案用8根小棒，第2个图案用12根小棒，…，按此规律一直摆下去，则第n个图案中，需要的小棒的根数是 根(用含n的代数式表示)．
15.如图，抛物线y=−x2+3x+4与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过AB，M是抛物线第一象限内一点，过点M作MN//x轴交直线l于点N，则MN的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算： 4−( 3−2)+(−1)2023．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(a+1)2+a(1−a)，其中a= 33．
18.(本小题6分)
已知y与x+2成正比例，当x=4时，y=−18．
(1)求y与x之间的函数关系式：
(2)判断点P(7,−25)是否是函数图象上的点，并说明理由．
19.(本小题6分)
如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示太原市的位置.现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26′(∠BOD=23°26′)，太原市的纬度是北纬37°32′(∠POD=37°32′)，而冬至正午时，太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O)，则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角α的度数是______．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作出AC的中点D；
(2)在(1)的条件下，若AC=8，tan∠A=12，求sin∠ABD的值．
21.(本小题8分)
某印刷厂每月生产甲、乙两种练习本共40万本，且所有练习本当月全部卖出，其中成本、售价如表所示．
(1)若该印刷厂五月份的利润为11万元，求生产甲、乙两种练习本分别是多少万本；
(2)某学校计划用7680元的经费到该印刷厂采购练习本.经商讨，该公司同意甲种练习本售价打九折，乙种练习本不能让利.若学校能采购到1万本，且不超支，问最多能购买甲种练习本多少本？
22.(本小题8分)
春季开学后，某校为了让学生有效应用压岁钱，开展有意义的“尊老、敬老”慈善捐款活动，将捐款捐赠给本市敬老院.学生会为了了解学生捐款的情况，随机调查了该校部分学生，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生人数为 人，在扇形统计图中，捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是 度，在调查的这组学生中，捐款金额的中位数是 元；
(2)补全条形统计图；
(3)学生会为了更好地引导学生合理支配压岁钱，选出甲，乙，丙和丁四人从不同的方面在全校进行讲解，但由于时间的限定，临时调整只能两人讲解.因此，学生会采用随机抽签的方式从甲，乙，丙和丁四人中确定两名讲解人选.请用列表或画树状图的方式说明抽中甲和乙的概率是多少？
23.(本小题10分)
综合与实践
问题情境：如图1，正方形纸片ABCD和EFGB有公共顶点B，其中AB=4 5，BE=4，将正方形EBGF绕点B按顺时针方向旋转α．
观察发现：(1)如图2，当α<90°时，连接AE，CG，小组成员发现AE与CG存在一定的关系，其数量关系是______，位置关系是______．
探索研究：(2)当A，E，F三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时DE的长度．
拓展延伸：(3)猜想图3中CF与FG的数量关系并证明．
24.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(−3,0)，B(0,3)．
(1)如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
(2)如图2，已知直线l2：y=3x−3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2 2为半径画圆．当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
(3)设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN.问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：绝对值为2的数是±2．
故选：C．
根据绝对值的定义求解．
本题是绝对值的逆运算，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.【答案】C
【解析】解：1300000=1.3×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：a3−16a
=a(a2−16)
=a(a+4)(a−4)．
故选：A．
先提公因式，然后按照平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法，平方差公式是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵抛物线的解析式为y=−2(x+h)2+k，
∴抛物线的顶点坐标为(−h,k)，
∵第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴−h>0，k<0，
∴h<0，k<0．
故选：D．
根据顶点式写出顶点坐标，再根据第四象限点的坐标特点做出判定即可．
本题考查了二次函数的顶点式和第四象限点的坐标特点，正确理解定义，性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了几何体的展开图，展开图折叠成几何体，得出长方体的长、宽、高是解题关键．
根据观察、计算，可得长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可得答案．
【解答】解：长方体的高是1，宽是3−1=2，长是6−2=4，
长方体的容积是4×2×1=8，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
该型号空调的零售价：m(1+30%)×0.8=1.04m(元)，
故选：C．
根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，
∵点E是AD的中点，
∴AD=2AE，AB=2OE，
∵△ABC的周长是10，
∴△AOE的周长=AE+OA+OE=12(AD+AB+AC)=12×10=5，
故选：B．
根据中点的定义和三角形中位线定理得，AD=2AE，AB=2OE，从而得出可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点A、点B部分作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵点A(3,4)，
∴OM=3，AM=4，
∴OA= OM2+AM2=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，
∴AB//OC，
∴AM=BN=4，
∴Rt△AOM≌Rt△BCN(HL)，
∴OM=CN=3，
∴ON=5+3=8，
∴点B(8,4)，
∵点B(8,4)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=8×4=32，
故选：D．
根据菱形的性质以及勾股定理可求出点B的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，掌握菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示：连接OC，
∵CD垂直平分半径OA，
∴AC=OC，
∵OC=OA，
∴OA=OC=AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴S阴影=12S⊙O−2S扇形ACO
=12×(AB2)2π−2×60×(AB2)2π360
=12×4π−2×16×4π
=2π−43π
=23π.
故选：B．
根据图形可得，阴影部分的面积=S半圆−2S扇形ACO，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图所示，设y=kx+b(k≠0)与x，y轴的交点分别为G，F，BH⊥AH于点H，
∴F(0,b)，G(−bk,0)，
依题意，AH//GO，BH//FO，
∴∠BAH=∠FGO，∠AHB=∠GOF=90°
∴△ABH∽△GOF
∵每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，
∴GOFO=AHBH=1，
∴kbb=1k=2，即k=12，
∴直线解析式为y=12x+b，
将点A(−10,1)代入得，1=12×(−10)+b，
解得b=6，
∴kb=12×6=3．
故选：B．
设y=kx+b(k≠0)与x，y轴的交点分别为G，F，BH⊥AH于点H，则F(0,b)，G(−bk,0)，根据每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，得出k=12，将点A(−10,1)代入待定系数法求解析式即可求解．
本题考查了一次函数的应用，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：|−3|+(12)−1
=3+2
=5．
故答案为：5．
首先根据负数的绝对值是它的相反数，求出|−3|的值是多少；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出(12)−1的值是多少；最后把它们相加，求出算式|−3|+(12)−1的值是多少即可．
(1)此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a−p=1ap(a≠0,p为正整数)；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
(2)此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
12.【答案】± 22
【解析】解：∵a⊗b=1a+1b，
∴(x+1)⊗x=1x+1+1x=x+x+1x(x+1)=2x+1x2+x，
∵(x+1)⊗x=2，
∴2x+1x2+x=2，
∴2x2−1=0，
解得：x=± 22，
经检验x=± 22是方程2x+1x2+x=2的解，
故答案为：± 22．
根据新定义可得(x+1)⊗x=2x+1x2+x，由此建立方程2x+1x2+x=2，解方程即可得到x的值．
本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题关键．
13.【答案】1200
【解析】解：设P=kt，
∵图象经过点(15,4000)，
∴4000=k15，
解得k=60000，
∴P=60000t，
把t=50代入P=60000t可得P=6000050=1200．
故答案为：1200．
首先设P=kt，再把(15,4000)代入可求得k的值，进而可得解析式；再把t=50代入函数解析式求解即可．
本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是正确掌握反比例函数的图象和性质．
14.【答案】4(n+1)
【解析】解：如图可知，后一幅图总是比前一幅图多4根小棒，
图案①需要小棒：4×1+4=8(根)，
图案②需要小棒：4×2+4=12(根)，
图案③需要小棒：4×3+4=16(根)，
⋯
则第n个图案需要小棒：4n+4=4(n+1)根．
故答案为：4(n+1)．
观察图案可知，每下一幅图案比前一幅图案多4根小棒，找出4与n的联系即可．
本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
15.【答案】4
【解析】解：当y=0时，x=4或−1，
∴点B的坐标为(4,0)，
点A的坐标为(0,4)，
∴直线AB的解析式为：y=−x+4，
设点M的坐标为(a,−a2+3a+4)，
∵MN//x轴，
∴点N的坐标为(a2−3a,−a2+3a+4)，
∵点M在第一象限，
∴线段MN=a−(a2−3a)=−a2+4a，
当a=−42×(−1)=2时，MN有最大值为4．
故答案为：4．
先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线AB的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可．
本题是二次函数中典型的求最值问题，根据题意建立函数模型是解题的关键．
16.【答案】解： 4−( 3−2)+(−1)2023
=2− 3+2−1
=3− 3．
【解析】根据实数的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、实数的乘方运算等知识，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
17.【答案】解：原式=a2+2a+1+a−a2
=(a2−a2)+(2a+a)+1
=3a+1．
当a= 33时，3a+1=3× 33+1= 3+1．
【解析】分别运用完全平方公式和乘法分配律将两个括号展开，再进行合并同类项计算即可．
整式的混合运算是初中数学最基本的知识点，考查学生最基本的运算能力，一定要熟练掌握，确保计算结果正确无误．
18.【答案】解：(1)设y=k(x+2)，
把x=4，y=−18代入得−18=k(4+2)，
解得k=−3，
∴y=−3(x+2)=−3x−6，
即y与x之间的函数关系式为y=−3x−6；
(2)点P(7,−25)不是函数图象上的点．
理由如下：
当x=7时，y=−3×7−6=−27≠−25，
∴点P(7,−25)不是函数图象上的点．
【解析】(1)利用正比例函数的定义设y=k(x+2)，然后把已知对应的值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式；
(2)通过一次函数图象上的坐标特征进行判断．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
19.【答案】29°2′
【解析】解：如图，设PQ与OM交于点K，
∵∠BOD=23°26′，∠POD=37°32′，
∴∠POM=∠POD+∠BOD=60°58′，
在△OPK中，∠POK+∠OPK+∠OKP=180°，∠OPK=90°，
∴∠OKP=29°2′，
∵PN//OM，
∴∠α=∠OKP=29°2′，
故答案为：29°2′．
设PQ与OM交于点K，先由三角形内角和定理求出．∠OKP=29°2′，再根据平行线的性质求解即可．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，点D即为所求；
(2)如图所示，连接BD，过点D作DE⊥AB，
∵∠C=90°，AC=8，tan∠A=12，
∴BCAC=12，即BC8=12，
∴BC=4，
∴AB= AC2+BC2=4 5，BD= CD2+BC2=4 2，
∴sin∠A=DEAD=BCAB，即DE4=44 5，
∴DE=4 55，
∴sin∠ABD=DEBD=4 554 2= 1010．
【解析】(1)利用尺规作出AC的垂直平分线交AC于点D即为所求；
(2)连接BD，过点D作DE⊥AB，首先根据tan∠A=12求出BC=4，然后利用勾股定理求出AB= AC2+BC2=4 5，BD= CD2+BC2=4 2，然后利用sin∠A=DEAD=BCAB求出DE=4 55，进而利用正弦的概念求解即可．
此题考查了尺规作垂直平分线，掌握解直角三角形，求角的正弦值，勾股定理等知识是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设该印刷厂五月份生产甲种练习本x万本，生产乙种练习本y万本，
根据题意得：x+y=40(1.6−1.2)x+(0.6−0.4)y=11，
解得：x=15y=25．
答：该印刷厂五月份生产甲种练习本15万本，生产乙种练习本25万本；
(2)设该学校购买m本甲种练习本，则购买(10000−m)本乙种练习本，
根据题意得：1.6×0.9m+0.6(10000−m)≤7680，
解得：m≤2000，
∴m的最大值为2000．
答：最多能购买甲种练习本2000本．
【解析】(1)设该印刷厂五月份生产甲种练习本x万本，生产乙种练习本y万本，利用总利润=每本的销售利润×销售数量(生产数量)，结合该印刷厂五月份生产甲、乙两种练习本共40万本且总利润为11万元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该学校购买m本甲种练习本，则购买(10000−m)本乙种练习本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过7680元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】60 108 50
【解析】解：(1)∵捐款金额为50元的有21人，所占的百分比为35%，
∴这次被调查的学生共有：21÷35%=60(人)；
捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是：360°×1860=108°；
捐款金额的中位数是第30、31两个数，即50元；
故答案为：60，108，50；
(2)捐款金额为20元对应人数为：60×20%=12(人)
捐款金额为200元对应人数为：60−3−12−21−18=6(人)；
补全条形统计图如图．
(3)解：画树状图得：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P(选中甲、乙)=212=16．
(1)由捐款金额为50元的有21人，所占的百分比为35%，即可求得这次被调查的学生数；用360度乘以捐款金额为100元所占的百分比，即可求得B所占扇形的圆心角；根据中位数的求法可求得捐款金额的中位数；
(2)首先求得捐款金额为20元对应人数、捐款金额为200元对应人数，即可补全统计图；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用．
23.【答案】AE=CG AE⊥CG
【解析】解：(1)如图1，
延长AE，交CG于点H，交BC于点O，
在正方形纸片ABCD和EFGB中，
∠ABC=∠EBG=90°，AB=CB，BE=BG，
∴∠ABC−∠CBE=∠EBG−∠CBE，
∴∠ABE=∠CBG，
∴△ABE≌△CBG(SAS)，
∴AE=CG，∠BAE=∠BCG，
∴∠ABE+∠AOB=∠BCG+∠AOB=90°，
∵∠COH=∠AOB，
∴∠BCG+∠COH=90°，
∴∠CHA=90°，
∴AE⊥CG，
故答案为：AE=CG，AE⊥CG；
(2)如图2，
当点E在AF上时，
∵四边形EFGB是正方形，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEB=90°，
作EM⊥AB于M，作EN⊥AD于N，
∴∠AME=∠BEM=∠ANE=∠AFB=90°，
∴四边形AMEN是矩形，
∵cs∠ABE=BMBE=BEAB，
∴BM4=44 5，
∴BM=4 55，
∴EM= BE2−BM2= 42−(4 55)2=8 55，
∴AM=AB−BM=4 5−4 55=16 55，
AN=EM=8 55，
∴DN=AD−AN=4 5−8 55=12 55，
∴DE= DN2+EN2= (12 55)2+(16 55)2=4 5，
如图3，
当E在AF的延长线上时，
由上知：EM=8 55，EN=16 55，
∴DN=AD+AN=4 5+8 55=28 55，
∴DE= (16 55)2+(28 55)2=4 13，
综上所述：DE=4 5或4 13；
(3)如图2和图3中，
AE= AB2−BE2= (4 5)2−42=8，
由(1)得CG=AE=8，
∴图2中，CF=FG，
图3中，CF=3FG，
综上所述：CF=FG或CF=3FG．
(1)证明△ABE≌△CBG(SAS)，从而AE=CG，∠BAE=∠BCG，进一步得出结果；
(2)分为两种情形：当点E在AF上时，由cs∠ABE=BMBE=BEAB，求得BM=4 55，EM=8 55，从而得出AM=AB−BM=4 5−4 55=16 55，AN=EM=8 55，进一步得出结果；当E在AF的延长线上时，结合上面情形得出EM=8 55，EN=16 55，进而得出结果；
(3)结合(1)和(2)得出AE= AB2−BE2= (4 5)2−42=8，CG=AE=8，进而得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是画出图象，分类讨论．
24.【答案】解：(1)如图1，连接BC，
∵∠BOC=90°，∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3 2；
(2)过点C作CM⊥AB，
由直线l2：y=3x−3得：点C(1,0)，
所以AC=4
由(1)知，∠MAC=45°，所以△AMC是等腰直角三角形，AM=MC
由勾股定理得MC2+MA2=AC2，既2MC2=AC2，
则CM=2 2=圆的半径，
故点M是圆与直线l1的切点，
即：直线l1与⊙Q相切；
(3)如图3，
①当点M、N在两条直线交点的下方时，
由题意得：MQ=NQ，∠MQN=90°，
设点Q的坐标为(m,3m−3)，则点N(m,m+3)，
则NQ=m+3−3m+3=2 2，
解得：m=3− 2；
②当点M、N在两条直线交点的上方时，
同理可得：m=3+ 2；
故点Q的坐标为(3− 2,6−3 2)或(3+ 2,6+3 2).
【解析】(1)证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；
(2)证明CM=2 2=圆的半径，即可求解；
(3)分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．
本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中(2)，关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．品种
甲
乙
成本
1.2元/本
0.4元/本
售价
1.6元/本
0.6元/本
1.绝对值为2的数是( )
A. 2B. −2C. ±2D. −12
2.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是( )
A. 13×105B. 1.3×105C. 1.3×106D. 1.3×107
3.将多项式a3−16a进行因式分解的结果是( )
A. a(a+4)(a−4)B. (a−4)2C. a(a−16)D. (a+4)(a−4)
4.已知抛物线y=−2(x+h)2+k的顶点在第四象限，则( )
A. h>0，k>0B. h>0，k<0C. h<0，k>0D. h<0，k<0
5.如图为一无盖长方体盒子的展开图(重叠部分不计)，可知该无盖长方体的容积为( )
A. 4
B. 6
C. 12
D. 8
6.某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台m元，商店将进价提高30%后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为( )
A. m元B. 1.3m元C. 1.04m元D. 0.8m元
7.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
8.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点B正好在反比例函数y=kx的图象上，点A的坐标为(3,4)，则k的值为( )
A. 12
B. 16
C. 24
D. 32
9.如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB=4，则图中阴影部分的面积等于( )
A. 4π3B. 2π3C. 16π3D. 8π3
10.如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是(−10,1)，若直线同时经过点A，B，C，D，E，则k与b的乘积为( )
A. −3B. 3C. −5D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.计算：|−3|+12−1=_____．
12.定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，a⊗b=1a+1b，若(x+1)⊗x=2，则x的值为 ．
13.在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率P(w)与做功所用的时间t(s)成反比例函数关系，图象如图所示，当t=50时，P= ______．
14.在幼儿园的手工课上，老师与小朋友们用小棒摆图案，老师摆出的图案中具有一定的规律性，已知第1个图案用8根小棒，第2个图案用12根小棒，…，按此规律一直摆下去，则第n个图案中，需要的小棒的根数是 根(用含n的代数式表示)．
15.如图，抛物线y=−x2+3x+4与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过AB，M是抛物线第一象限内一点，过点M作MN//x轴交直线l于点N，则MN的最大值为______．
三、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算： 4−( 3−2)+(−1)2023．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(a+1)2+a(1−a)，其中a= 33．
18.(本小题6分)
已知y与x+2成正比例，当x=4时，y=−18．
(1)求y与x之间的函数关系式：
(2)判断点P(7,−25)是否是函数图象上的点，并说明理由．
19.(本小题6分)
如图所示是地球截面图，其中AB，EF分别表示南回归线和北回归线，CD表示赤道，点P表示太原市的位置.现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26′(∠BOD=23°26′)，太原市的纬度是北纬37°32′(∠POD=37°32′)，而冬至正午时，太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O)，则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ的夹角α的度数是______．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作出AC的中点D；
(2)在(1)的条件下，若AC=8，tan∠A=12，求sin∠ABD的值．
21.(本小题8分)
某印刷厂每月生产甲、乙两种练习本共40万本，且所有练习本当月全部卖出，其中成本、售价如表所示．
(1)若该印刷厂五月份的利润为11万元，求生产甲、乙两种练习本分别是多少万本；
(2)某学校计划用7680元的经费到该印刷厂采购练习本.经商讨，该公司同意甲种练习本售价打九折，乙种练习本不能让利.若学校能采购到1万本，且不超支，问最多能购买甲种练习本多少本？
22.(本小题8分)
春季开学后，某校为了让学生有效应用压岁钱，开展有意义的“尊老、敬老”慈善捐款活动，将捐款捐赠给本市敬老院.学生会为了了解学生捐款的情况，随机调查了该校部分学生，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生人数为 人，在扇形统计图中，捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是 度，在调查的这组学生中，捐款金额的中位数是 元；
(2)补全条形统计图；
(3)学生会为了更好地引导学生合理支配压岁钱，选出甲，乙，丙和丁四人从不同的方面在全校进行讲解，但由于时间的限定，临时调整只能两人讲解.因此，学生会采用随机抽签的方式从甲，乙，丙和丁四人中确定两名讲解人选.请用列表或画树状图的方式说明抽中甲和乙的概率是多少？
23.(本小题10分)
综合与实践
问题情境：如图1，正方形纸片ABCD和EFGB有公共顶点B，其中AB=4 5，BE=4，将正方形EBGF绕点B按顺时针方向旋转α．
观察发现：(1)如图2，当α<90°时，连接AE，CG，小组成员发现AE与CG存在一定的关系，其数量关系是______，位置关系是______．
探索研究：(2)当A，E，F三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时DE的长度．
拓展延伸：(3)猜想图3中CF与FG的数量关系并证明．
24.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(−3,0)，B(0,3)．
(1)如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；
(2)如图2，已知直线l2：y=3x−3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2 2为半径画圆．当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；
(3)设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN.问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：绝对值为2的数是±2．
故选：C．
根据绝对值的定义求解．
本题是绝对值的逆运算，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.【答案】C
【解析】解：1300000=1.3×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：a3−16a
=a(a2−16)
=a(a+4)(a−4)．
故选：A．
先提公因式，然后按照平方差公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法，平方差公式是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵抛物线的解析式为y=−2(x+h)2+k，
∴抛物线的顶点坐标为(−h,k)，
∵第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴−h>0，k<0，
∴h<0，k<0．
故选：D．
根据顶点式写出顶点坐标，再根据第四象限点的坐标特点做出判定即可．
本题考查了二次函数的顶点式和第四象限点的坐标特点，正确理解定义，性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了几何体的展开图，展开图折叠成几何体，得出长方体的长、宽、高是解题关键．
根据观察、计算，可得长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可得答案．
【解答】解：长方体的高是1，宽是3−1=2，长是6−2=4，
长方体的容积是4×2×1=8，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
该型号空调的零售价：m(1+30%)×0.8=1.04m(元)，
故选：C．
根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=BC，
∵点E是AD的中点，
∴AD=2AE，AB=2OE，
∵△ABC的周长是10，
∴△AOE的周长=AE+OA+OE=12(AD+AB+AC)=12×10=5，
故选：B．
根据中点的定义和三角形中位线定理得，AD=2AE，AB=2OE，从而得出可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点A、点B部分作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵点A(3,4)，
∴OM=3，AM=4，
∴OA= OM2+AM2=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，
∴AB//OC，
∴AM=BN=4，
∴Rt△AOM≌Rt△BCN(HL)，
∴OM=CN=3，
∴ON=5+3=8，
∴点B(8,4)，
∵点B(8,4)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=8×4=32，
故选：D．
根据菱形的性质以及勾股定理可求出点B的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，掌握菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示：连接OC，
∵CD垂直平分半径OA，
∴AC=OC，
∵OC=OA，
∴OA=OC=AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴S阴影=12S⊙O−2S扇形ACO
=12×(AB2)2π−2×60×(AB2)2π360
=12×4π−2×16×4π
=2π−43π
=23π.
故选：B．
根据图形可得，阴影部分的面积=S半圆−2S扇形ACO，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图所示，设y=kx+b(k≠0)与x，y轴的交点分别为G，F，BH⊥AH于点H，
∴F(0,b)，G(−bk,0)，
依题意，AH//GO，BH//FO，
∴∠BAH=∠FGO，∠AHB=∠GOF=90°
∴△ABH∽△GOF
∵每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，
∴GOFO=AHBH=1，
∴kbb=1k=2，即k=12，
∴直线解析式为y=12x+b，
将点A(−10,1)代入得，1=12×(−10)+b，
解得b=6，
∴kb=12×6=3．
故选：B．
设y=kx+b(k≠0)与x，y轴的交点分别为G，F，BH⊥AH于点H，则F(0,b)，G(−bk,0)，根据每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，得出k=12，将点A(−10,1)代入待定系数法求解析式即可求解．
本题考查了一次函数的应用，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：|−3|+(12)−1
=3+2
=5．
故答案为：5．
首先根据负数的绝对值是它的相反数，求出|−3|的值是多少；然后根据负整数指数幂的运算方法，求出(12)−1的值是多少；最后把它们相加，求出算式|−3|+(12)−1的值是多少即可．
(1)此题主要考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a−p=1ap(a≠0,p为正整数)；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
(2)此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
12.【答案】± 22
【解析】解：∵a⊗b=1a+1b，
∴(x+1)⊗x=1x+1+1x=x+x+1x(x+1)=2x+1x2+x，
∵(x+1)⊗x=2，
∴2x+1x2+x=2，
∴2x2−1=0，
解得：x=± 22，
经检验x=± 22是方程2x+1x2+x=2的解，
故答案为：± 22．
根据新定义可得(x+1)⊗x=2x+1x2+x，由此建立方程2x+1x2+x=2，解方程即可得到x的值．
本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题关键．
13.【答案】1200
【解析】解：设P=kt，
∵图象经过点(15,4000)，
∴4000=k15，
解得k=60000，
∴P=60000t，
把t=50代入P=60000t可得P=6000050=1200．
故答案为：1200．
首先设P=kt，再把(15,4000)代入可求得k的值，进而可得解析式；再把t=50代入函数解析式求解即可．
本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是正确掌握反比例函数的图象和性质．
14.【答案】4(n+1)
【解析】解：如图可知，后一幅图总是比前一幅图多4根小棒，
图案①需要小棒：4×1+4=8(根)，
图案②需要小棒：4×2+4=12(根)，
图案③需要小棒：4×3+4=16(根)，
⋯
则第n个图案需要小棒：4n+4=4(n+1)根．
故答案为：4(n+1)．
观察图案可知，每下一幅图案比前一幅图案多4根小棒，找出4与n的联系即可．
本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
15.【答案】4
【解析】解：当y=0时，x=4或−1，
∴点B的坐标为(4,0)，
点A的坐标为(0,4)，
∴直线AB的解析式为：y=−x+4，
设点M的坐标为(a,−a2+3a+4)，
∵MN//x轴，
∴点N的坐标为(a2−3a,−a2+3a+4)，
∵点M在第一象限，
∴线段MN=a−(a2−3a)=−a2+4a，
当a=−42×(−1)=2时，MN有最大值为4．
故答案为：4．
先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线AB的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可．
本题是二次函数中典型的求最值问题，根据题意建立函数模型是解题的关键．
16.【答案】解： 4−( 3−2)+(−1)2023
=2− 3+2−1
=3− 3．
【解析】根据实数的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、实数的乘方运算等知识，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
17.【答案】解：原式=a2+2a+1+a−a2
=(a2−a2)+(2a+a)+1
=3a+1．
当a= 33时，3a+1=3× 33+1= 3+1．
【解析】分别运用完全平方公式和乘法分配律将两个括号展开，再进行合并同类项计算即可．
整式的混合运算是初中数学最基本的知识点，考查学生最基本的运算能力，一定要熟练掌握，确保计算结果正确无误．
18.【答案】解：(1)设y=k(x+2)，
把x=4，y=−18代入得−18=k(4+2)，
解得k=−3，
∴y=−3(x+2)=−3x−6，
即y与x之间的函数关系式为y=−3x−6；
(2)点P(7,−25)不是函数图象上的点．
理由如下：
当x=7时，y=−3×7−6=−27≠−25，
∴点P(7,−25)不是函数图象上的点．
【解析】(1)利用正比例函数的定义设y=k(x+2)，然后把已知对应的值代入求出k，从而得到y与x之间的函数关系式；
(2)通过一次函数图象上的坐标特征进行判断．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
19.【答案】29°2′
【解析】解：如图，设PQ与OM交于点K，
∵∠BOD=23°26′，∠POD=37°32′，
∴∠POM=∠POD+∠BOD=60°58′，
在△OPK中，∠POK+∠OPK+∠OKP=180°，∠OPK=90°，
∴∠OKP=29°2′，
∵PN//OM，
∴∠α=∠OKP=29°2′，
故答案为：29°2′．
设PQ与OM交于点K，先由三角形内角和定理求出．∠OKP=29°2′，再根据平行线的性质求解即可．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，点D即为所求；
(2)如图所示，连接BD，过点D作DE⊥AB，
∵∠C=90°，AC=8，tan∠A=12，
∴BCAC=12，即BC8=12，
∴BC=4，
∴AB= AC2+BC2=4 5，BD= CD2+BC2=4 2，
∴sin∠A=DEAD=BCAB，即DE4=44 5，
∴DE=4 55，
∴sin∠ABD=DEBD=4 554 2= 1010．
【解析】(1)利用尺规作出AC的垂直平分线交AC于点D即为所求；
(2)连接BD，过点D作DE⊥AB，首先根据tan∠A=12求出BC=4，然后利用勾股定理求出AB= AC2+BC2=4 5，BD= CD2+BC2=4 2，然后利用sin∠A=DEAD=BCAB求出DE=4 55，进而利用正弦的概念求解即可．
此题考查了尺规作垂直平分线，掌握解直角三角形，求角的正弦值，勾股定理等知识是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设该印刷厂五月份生产甲种练习本x万本，生产乙种练习本y万本，
根据题意得：x+y=40(1.6−1.2)x+(0.6−0.4)y=11，
解得：x=15y=25．
答：该印刷厂五月份生产甲种练习本15万本，生产乙种练习本25万本；
(2)设该学校购买m本甲种练习本，则购买(10000−m)本乙种练习本，
根据题意得：1.6×0.9m+0.6(10000−m)≤7680，
解得：m≤2000，
∴m的最大值为2000．
答：最多能购买甲种练习本2000本．
【解析】(1)设该印刷厂五月份生产甲种练习本x万本，生产乙种练习本y万本，利用总利润=每本的销售利润×销售数量(生产数量)，结合该印刷厂五月份生产甲、乙两种练习本共40万本且总利润为11万元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该学校购买m本甲种练习本，则购买(10000−m)本乙种练习本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过7680元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】60 108 50
【解析】解：(1)∵捐款金额为50元的有21人，所占的百分比为35%，
∴这次被调查的学生共有：21÷35%=60(人)；
捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是：360°×1860=108°；
捐款金额的中位数是第30、31两个数，即50元；
故答案为：60，108，50；
(2)捐款金额为20元对应人数为：60×20%=12(人)
捐款金额为200元对应人数为：60−3−12−21−18=6(人)；
补全条形统计图如图．
(3)解：画树状图得：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P(选中甲、乙)=212=16．
(1)由捐款金额为50元的有21人，所占的百分比为35%，即可求得这次被调查的学生数；用360度乘以捐款金额为100元所占的百分比，即可求得B所占扇形的圆心角；根据中位数的求法可求得捐款金额的中位数；
(2)首先求得捐款金额为20元对应人数、捐款金额为200元对应人数，即可补全统计图；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用．
23.【答案】AE=CG AE⊥CG
【解析】解：(1)如图1，
延长AE，交CG于点H，交BC于点O，
在正方形纸片ABCD和EFGB中，
∠ABC=∠EBG=90°，AB=CB，BE=BG，
∴∠ABC−∠CBE=∠EBG−∠CBE，
∴∠ABE=∠CBG，
∴△ABE≌△CBG(SAS)，
∴AE=CG，∠BAE=∠BCG，
∴∠ABE+∠AOB=∠BCG+∠AOB=90°，
∵∠COH=∠AOB，
∴∠BCG+∠COH=90°，
∴∠CHA=90°，
∴AE⊥CG，
故答案为：AE=CG，AE⊥CG；
(2)如图2，
当点E在AF上时，
∵四边形EFGB是正方形，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEB=90°，
作EM⊥AB于M，作EN⊥AD于N，
∴∠AME=∠BEM=∠ANE=∠AFB=90°，
∴四边形AMEN是矩形，
∵cs∠ABE=BMBE=BEAB，
∴BM4=44 5，
∴BM=4 55，
∴EM= BE2−BM2= 42−(4 55)2=8 55，
∴AM=AB−BM=4 5−4 55=16 55，
AN=EM=8 55，
∴DN=AD−AN=4 5−8 55=12 55，
∴DE= DN2+EN2= (12 55)2+(16 55)2=4 5，
如图3，
当E在AF的延长线上时，
由上知：EM=8 55，EN=16 55，
∴DN=AD+AN=4 5+8 55=28 55，
∴DE= (16 55)2+(28 55)2=4 13，
综上所述：DE=4 5或4 13；
(3)如图2和图3中，
AE= AB2−BE2= (4 5)2−42=8，
由(1)得CG=AE=8，
∴图2中，CF=FG，
图3中，CF=3FG，
综上所述：CF=FG或CF=3FG．
(1)证明△ABE≌△CBG(SAS)，从而AE=CG，∠BAE=∠BCG，进一步得出结果；
(2)分为两种情形：当点E在AF上时，由cs∠ABE=BMBE=BEAB，求得BM=4 55，EM=8 55，从而得出AM=AB−BM=4 5−4 55=16 55，AN=EM=8 55，进一步得出结果；当E在AF的延长线上时，结合上面情形得出EM=8 55，EN=16 55，进而得出结果；
(3)结合(1)和(2)得出AE= AB2−BE2= (4 5)2−42=8，CG=AE=8，进而得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是画出图象，分类讨论．
24.【答案】解：(1)如图1，连接BC，
∵∠BOC=90°，∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3 2；
(2)过点C作CM⊥AB，
由直线l2：y=3x−3得：点C(1,0)，
所以AC=4
由(1)知，∠MAC=45°，所以△AMC是等腰直角三角形，AM=MC
由勾股定理得MC2+MA2=AC2，既2MC2=AC2，
则CM=2 2=圆的半径，
故点M是圆与直线l1的切点，
即：直线l1与⊙Q相切；
(3)如图3，
①当点M、N在两条直线交点的下方时，
由题意得：MQ=NQ，∠MQN=90°，
设点Q的坐标为(m,3m−3)，则点N(m,m+3)，
则NQ=m+3−3m+3=2 2，
解得：m=3− 2；
②当点M、N在两条直线交点的上方时，
同理可得：m=3+ 2；
故点Q的坐标为(3− 2,6−3 2)或(3+ 2,6+3 2).
【解析】(1)证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；
(2)证明CM=2 2=圆的半径，即可求解；
(3)分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．
本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中(2)，关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．品种
甲
乙
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