2024年湖北省荆楚初中联盟中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年湖北省荆楚初中联盟中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献.刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”.例，如果把收入10元记作+10元，那么支出15元应记作( )
A. −15元B. 0元C. ±15元D. 15元
2.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. x2÷x3=xC. x2+x3=2x5D. (x2)3=x6
4.将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若∠1=28°，则∠2的度数是( )
A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°
5.下列立体图形中，主视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
6.不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
7.某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是( )
A. 1800x+300=1200xB. 1200x+300=1800x
C. 3000x+300=600xD. 1200x=1800(x+300)
8.一种弹簧秤最大能称不超过20kg的物体，不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为( )
A. y=15−0.5x
B. y=15+0.5x
C. y=10+0.5x
D. y=0.5x
9.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径.小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm，AB=8cm，CD=6cm.请你根据上述数据计算纸杯的直径是( )
A. 5cmB. 8cmC. 10cmD. 10.2cm
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B(6,0)两点，与y轴负半轴交于点C.①b2−4ac>0；②a+c0.上述结论中，正确的个数有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：4a−a3=______．
12.在一次数学测试中，第一小组6位学生的成绩(单位：分)分别为：84，78，89，74，●，75，其中有一位同学的成绩被墨水污染，但知道该小组的平均分为80分，则该小组成绩的中位数是______．
13.如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算.若运算进行一次就停止了，则x的取值范围是______．
14.学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为______．
15.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=2，BD平分∠ABC且与CD垂直，E为AB的中点.当S△BEF与S△DFC的差最大时，则EF的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：−22+3tan30°−| 122−1|．
17.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，D为斜边BC的中点.延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，BE.请按要求画出图形，判断四边形ABEC的形状并说明理由．
18.(本小题6分)
先化简，再求值．x−4x÷(x+2x2−2x+1−x4−4x+x2).已知x= 2+2．
19.(本小题8分)
某校为了解全校1500名学生参加学校兴趣活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
请根据以上调查报告的统计分析，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的学生有______人；
(2)若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“兴趣活动时间6小时”对应扇形的圆心角度数；
(3)估计该校1500名学生中，参与劳动实践兴趣小组的人数；
(4)如果你是该校学生，为鼓励同学们积极地参与兴趣小组活动，请你面向全体同学写出一条建议．
20.(本小题8分)
如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象在第一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为AB的中点，S△AOC=4．
(1)求k2的值；
(2)当OB=2，y1>y2>0时，求x的取值范围．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点F，D为BC的中点，直线DF与直线AB交于点E．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若CD=3，tan∠DAB=34，求EF的长．
22.(本小题10分)
电商平台经销某种品牌的儿童玩具，进价为50元/个.经市场调查发现：每周销售量y(个)与销售单价x(元/个)满足一次函数关系(其中x为整数，且50≤x≤100).部分数据如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W元的最大值；
(3)电商平台希望每周获得不低于1100元的利润，请计算销售单价的范围．
23.(本小题11分)
在Rt△ABC中，∠A=90°，E，F，D分别是AC，AB，BC上的点，BF=FD，DE=EC．

(1)求∠FDE的度数(图1)；
(2)若点G为BC的中点(图2)，其它条件不变，请探究FG与EG是否垂直；
(3)将(1)中△DEC绕点D逆时针旋转一定的角度得到△DE′C′，如图3所示，G为线段BC′的中点，FG⊥GE′吗？请说明理由．
24.(本小题12分)
如图1，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B(0,−3)，经过点C的直线y=kx−4k与抛物线y=14x2+bx+c的另一个交点为M．
(1)直接写出b，c的值；
(2)若∠MCA=∠ABO，求k的值；
(3)若D为BC上的点，F为AC上的点，BD=CF，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接DE，BF，如图2，当DE+BF取得最小值时，求点F的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵收入10元记作+10元，
∴支出15元应记作−15元，
故选：A．
根据把收入10元记作+10元，即可得出支出15元应记作−15元，即可作答．
本题考查了正负数的意义，掌握正负数的意义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A.图形是轴对称图形，不符合题意；
B.图形是轴对称图形，不符合题意；
C.图形是轴对称图形，不符合题意；
D.图形是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的定义即可判断．
本题考查中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，原式计算错误，不符合题意；
B、x2÷x3=x−1，原式计算错误，不符合题意；
C、x2与x3不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、(x2)3=x6，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方计算运算判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得∠3=90°，
∴∠4=180°−90°−28°=62°，
∵直尺两边平行，
∴∠2=∠4=62°，
故选：C．
先求得∠4的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
本题考查了平行线的性质．掌握平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，故本选项不合题意；
C、立方体的主视图是正方形，故本选项不合题意；
D、三棱柱的主视图是正方形，故本选项不合题意；
故选：A．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
6.【答案】A
【解析】解：因为袋子中有2个红球和4个蓝球共有6个球，
所以，取出红球的概率为P=26=13，
故选：A．
根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，正确把握概率的计算公式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得，1800x+300=1200x，
故选：A．
根据两个工程队用时相同，可列方程1800x+300=1200x，然后作答即可．
本题考查了本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵不挂物体时弹簧的长为15cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，最大能称不超过20kg的物体，
∴挂重后弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间的函数关系式为y=15+0.5x．
故选：B．
挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．
本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，设圆心为O，连接OD，OB，过点O作MN⊥AB于点N，交CD于点M，
∵CD//AB，
∴MN⊥CD，
∴MN=7，
∵AB=8cm，CD=6cm．
∴DM=12CD=12×6=3,BN=12AB=12×8=4，
设OM=x，
∴ON=MN−OM=7−x，
∵OM2+MD2=OD2，ON2+BN2=OB2，
∴OM2+MD2=ON2+BN2，
∴x2+32=(7−x)2+42
∴x=4，
∴OM=4，
∴OD= 32+42=5，
∴纸杯的直径为5×2=10．
故选：C．
作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．由垂径定理求出BN，DM的长，设OM=x，由勾股定理得到x2+42=(7−x)2+32，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：①：∵图象与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴①正确；
②：∵由图象可得，图象开口向下，与y轴负半轴交于点C，
∴当x=−1时，yy2>0时，x的取值范围是：x>2．
【解析】(1)过点A作y轴的垂线，垂足为D，证明△ADC≌△BOC进而求出结论；
(2)先求出A(2,8)，根据图象写出结论即可．
本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
21.【答案】(1)证明：连接OD，OF．

∵O为AB的中点，D为BC的中点；
∴OD/​/AC，
∴∠DOB=∠CAB，∠DOF=∠AFO．
又∵OF=OA，
∴∠CAB=∠AFO，
∴∠DOB=∠DOF，
∵OF=OB，OD为△DOF和△DOB的公共边，
∴△DOF≌△DOB(SAS)，
∴∠DFO=∠DBO，
∵∠ABC=90°，
∴∠DFO=90°，
∵OF为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线．
(2)解：∵CD=3，D为BC的中点；
∴BD=3．
在Rt△ABD中，tan∠DAB=34，
∴AB=4，AO=BO=FO=2．
∵∠E公共，∠EFO=∠ABD=90°，
∴Rt△EFO∽Rt△EBD，
∴OFBD=EFEB=23，
设EF=2x，则BE=3x，EO=3x−2．
在Rt△EFO中，(2x)2+22=(3x−2)2；
解这个方程得，x1=0(不符合题意，舍去)，x2=125，
∴EF=125×2=245．
【解析】(1)连接OD，OF.可证OD/​/AC，从而∠DOB=∠CAB，∠DOF=∠AFO，进而可证∠DOB=∠DOF，然后根据SAS证明△DOF≌△DOB得∠DFO=∠DBO，进而可证DF为⊙O的切线；
(2)由tan∠DAB=34求出AB=4，证明Rt△EFO∽Rt△EBD得OFBD=EFEB=23，设EF=2x，则BE=3x，EO=3x−2，在Rt△EFO中利用勾股定理求出x的值即可求解．
本题考查了三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定，解直角三角形，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把(55,220)和(60,200)分别代入得：
55k+b=22060k+b=200，
解得：k=−4b=440，
∴y=−4x+440(50≤x≤100)；
(2)依题意，W=y(x−50)=(−4x+440)(x−50)=−4x2+640x−22000，
∵−4