2024年湖南省长沙市开福区北雅中学中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年湖南省长沙市开福区北雅中学中考数学模拟试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.有理数−3的相反数是( )
A. −3B. 3C. −13D. 13
2.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a3=a9B. a3+a3=a6C. a6÷a3=a2D. (a3)3=a9
3.四大名著一般指《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四部小说，它们是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产之一.某同学想阅读其中的两本，从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率是( )
A. 112B. 16C. 14D. 12
4.如图，将一个含30°角的直角三角板的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为100°，∠ACB=90°，连接DC交AB于点E，则∠AEC的度数为( )
A. 110°B. 105°C. 100°D. 95°
5.《九章算术》中有这样一个问题：今有垣(墙)高九尺(1尺=10寸)，瓜生其上，蔓向下日长七寸，瓠(葫芦)生其下，蔓向上日长一尺，问几日相逢？设x天后瓜与葫芦的蔓长在一起，根据题意可列出方程为( )
A. 7x=10x−9B. 0.7x+x=9C. 7x−0.9=10xD. 7x−0.9=x
6.已知二次函数y=x2−2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当x>12时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是( )
A. m>−32B. m≤12C. −327.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其函数图象如图所示，当S=0.4m2时，该物体承受的压强p的值为( )
A. 300Pa
B. 250Pa
C. 200Pa
D. 150Pa
8.直线l1：y=kx−b和l2：y=−2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.将矩形纸片OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为BC边上一动点(不与点B，C重合)，连接OP，将△OCP折叠，得到△OC′P.经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点B′落在直线PC′上，折痕交AB于点E.已知点B(4,3)，当四边形PB′EB是正方形时，点E的坐标为( )
A. (4,2.5)B. (4,1.5)C. (4,2)D. (4,1)
10.如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为a−2，请你写出一个符合条件的多项式______．
12.在平面直角坐标系中，把点P(−5,3)沿水平方向平移3个单位长度得到点P1，点P1的坐标是______．
13.运动心率(次/分)是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要，对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：(220−年龄)×0.8=最大运动心率，(220−年龄)×0.6=最小运动心率.健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是______岁.
14.如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，tan∠BAE=34，P是AD边上一个动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD的值为______．
15.如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入y=2x+3中得到一个y值，再把得到的y值代入y=x−23x中，又求出一个新的x值.如：把x=−1.5代入y=2x+3中得到y=0；再把y=0代入y=x−23x中求得x=2．
(1)把x=1代入y=2x+3中，最后求出的x值为______；
(2)小明发现，给x一个整数并把它代入y=2x+3中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是______．
16.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，则拱门所在圆半径的长为______分米．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(−12)−2+| 3−2|+327−(3−π)0．
(2)化简求值：(1+1x−3)÷x2−4x+4x2−9，其中x=7．
18.(本小题8分)
解方程组：x+23+y4=12x+y=4．
19.(本小题8分)
小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．

(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形(如图②).根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______．
(2)如果要拼成一个长为(a+2b)，宽为(a+b)的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片(长方形)的面积可以把多项式a2+4ab+3b2分解因式，其结果是______；
(4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2，并画出拼图的图形．
20.(本小题8分)
2024年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界，这个魔术中隐含了一个数学问题--约瑟夫问题.春晚结束后，小华和小丽玩起了抽扑克牌游戏，他们从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9.将这四张牌背面朝上，洗匀．
(1)小丽从中随机抽出一张牌，则抽到这张牌是奇数的概率是______；
(2)小丽从中随机抽取一张，记下牌面上的数字后放回，背面朝上，洗匀，接着小华再从中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请求出他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率．
21.(本小题8分)
如图，∠AOB=90°，tanA=12，反比例函数y=−2x(x<0)的图象过点B(−2,a)，反比例函数y=kx(x>0)经过点A．
(1)求a和k的值．
(2)过点B作BC/​/x轴，与双曲线y=kx交于点C，求△OAC的面积．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，O为BC上一点，以O为圆心，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，交AC于点E，过E作⊙O的切线，交AB于点F．
(1)若∠B=α，用含α的代数式表示∠AEF；
(2)若BO=3，BD=1，EF=6，AE=5 2，求AF的长．
23.(本小题8分)
如图，道路A、B的坡度为1：2.4，坡长为13m，有一座建筑物CD垂直于地面，AB、CD在同一平面上，且AC=18m.在坡顶B处测得该建筑物顶端D的仰角为44°.求建筑物CD的高度(结果保留整数).(参考数据：sin44°≈0.69，cs44°≈0.72，tan44°≈0.97)
24.(本小题8分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是边AC上的一点(不与点A、C重合)，E是边BC延长线上一点，BD=DE，延长ED交边AB于点F．
(1)求证：∠ADF=∠ABD；
(2)如果EF⊥BF，且CDAC=13，求∠E的余切值；
(3)联结CF，当BD平分CF时，求CDBF的值．
25.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点(与点C，B不重合)，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，若S△BEF：S△BDE=2：3，求出点D的坐标．
(3)P为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为对角线的菱形？若存在，请直接写出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：有理数−3的相反数是3，故B正确．
故选：B．
根据相反数的定义进行判断即可．
本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
2.【答案】D
【解析】解：A.a3⋅a3=a6，故此项错误，不符合题意；
B.a3+a3=2a3，故此项错误，不符合题意；
C.a6÷a3=a3，故此项错误，不符合题意；
D.(a3)3=a9，故此项正确，符合题意；
故选：D．
A、根据同底数幂的乘法法则(同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加)去判断；
B、根据合并同类项法则(同类项法则：系数相加字母及指数不变)去判断；
C、根据同底数幂的除法法则(同底数幂的除法法则：底数不变指数相减)去判断；
D、根据幂的乘方法则(幂的乘方法则：底数不变指数相乘)去判断．
本题考查了幂的乘方与合并同类项，同底数幂的乘法与除法，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
3.【答案】B
【解析】解：把《红楼梦》，《水浒传》，《西游记》，《三国演义》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图：
由图知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的结果有2种，
∴抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率是212=16．
故选：B．
根据题意画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查利用概率公式求概率，画树状图法求等可能事件的概率等知识点，掌握画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意可知点C在以AB为直径的圆上
设圆心为O，连接OD，则∠AOD=100°，
∴∠ACD=12∠AOD=50°，
∴∠AEC=180°−∠ACD−∠CAE=180°−50°−30°=100°．
故选：C．
根据题意可知点C在以AB为直径的圆上，根据圆心角和圆周角的关系求出∠ACD，再利用三角形内角和定理就可以求出答案．
本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理，关键是确定C在以AB为直径的圆上．
5.【答案】B
【解析】解：依题意得：0.7x+x=9．
故选：B．
根据墙高=瓜蔓的生长速度×生长时间+葫芦蔓的生长速度×生长时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=x2−2mx+m2+2m+3=(x−m)2+2m+3，
∴图象开口向上，顶点为(m,2m+3)，对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x2−2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当x>12时，y随x的增大而增大，
∴2m+3≥0m≤12，
∴−32≤m≤12．
故选：D．
根据二次函数的解析式求得顶点坐标和对称轴，结合抛物线开口向上，二次函数y=x2−2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当x>12时，y随x的增大而增大，得出2m+3≥0m≤12，从而得出答案．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握抛二次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数，设p= kS，
则k=pS=0.1×1000=100，
故p=100S，
当S=0.4m3时，p=1000.4=250(pa)．
故选：B．
依据题意，设p=kS，把(0.1,1000)代入得到反比例函数的解析式，再把S=0.25代入解析式即可解决问题．
本题主要考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】解：A、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k>0，b>0，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k>0，b<0，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线l1：y=kx−b中k<0，b>0，l2：y=−2kx+b中k>0，b>0，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线l1：y=kx−b中k>0，b<0，l2：y=−2kx+b中k<0，b<0，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B．
先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可得OA=BC=4，OC=AB=3，当四边形PB′EB是正方形时，∠BPB′=90°，
∴∠CPC′=90°，
由折叠的性质，可得∠CPO=∠C′PO=45°，
∴∠COP=∠CPO=45°，
∴OC=PC=3，
∴PB=BC−PC=1，
∵四边形PB′EB是正方形，
∴PB=BE=1，
∴AE=AB−BE=2，
∴点E的坐标为(4,2)，
故选：C．
根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得PB=BC−PC=1，再由正方形的性质求解即可．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质．
10.【答案】C
【解析】解：∵正五边形的每个内角为180°×(5−2)÷5=108°，
∴组成的正多边形的每个内角为360°−2×108°−24°=120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则(n−2)×180°n=120°，
解得：n=6．
故选：C．
由完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．
本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识，解答本题的关键是掌握正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
11.【答案】a(a−2)+b(a−2)(答案不唯一)
【解析】解：a(a−2)+b(a−2)=(a−2)(a+b)．
故答案为：a(a−2)+b(a−2)(答案不唯一)
利用提公因式法进行因式分解即可得出结论．
本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法是解题的关键．
12.【答案】(−8,3)或(−2,3)
【解析】解：∵点P(−5,3)沿水平方向平移3个单位长度得到点P1，
∴当点P(−5,3)沿水平方向向右平移3个单位长度，得出P1(−2,3)，
当点P(−5,3)沿水平方向向左平移3个单位长度，得出P1(−8,3)，
综上：点P1的坐标是(−8,3)或(−2,3)，
故答案为：(−8,3)或(−2,3)．
先进行分类讨论，再根据横坐标，右移加，左移减进行解答即可．
本题考查了坐标与图形的变化−平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
13.【答案】33
【解析】解：设这位男性的年龄是x岁，
由题意可得：(220−x)×0.8−(220−x)×0.6=33，
解得x=55，
答：这位男性的年龄是33岁，
故答案为：33．
先设这位男性的年龄是x岁，然后根据题意和题目中的数据，可以列出方程(220−x)×0.8−(220−x)×0.6=33，再求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
14.【答案】83或247
【解析】解：∵在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，
∴AD=BC=6，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，BE=3，
∴tan∠AEB=ABBE=43，
∴AB=4，
∴AE= AB2+BE2=5，
∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，
∴PD=PD′，
设PD=PD′=x，则：AP=AD−PD=6−x，
当△APD′是直角三角形时，
①∠AD′P=90°时，则∠AD′P=∠BAD=∠B，
∴∠PAD′=∠AEB=90°−∠BAE，
∴△ABE∽△PD′A，
∴ABPD′=AEPA，即：4x=56−x，
解得：x=83，
经检验，x=83是原方程的解，
∴PD=83；
②当∠APD′=90°时，
∴∠APD′=∠B=90°，
∵∠PAE=∠AEB，
∴△APD′∽△EBA，
∴APBE=PD′AB，
∴6−x3=x4，
解得：x=247，
经检验，x=247是原方程的解，
∴PD=247；
综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD=83或247．
故答案为：83或247．
根据矩形的性质，中点以及tan∠AEB=43，求出BE的长，进而求出AE，AB的长，设PD′=PD=x，当△APD′是直角三角形时，分两种情况：①当∠AD′P=90°，②当∠APD′=90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结果．
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用分类思想和方程思想是解题的关键．
15.【答案】−17 −1
【解析】解：(1)把x=1代入y=2x+3中，y=2+3=5，
再把y=5代入5=x−23x中，求得x=−17；
经检验x=−17是原方程的解，
故答案为：−17；
(2)设这个数为m，依题意得2m+3=m−23m，
整理得3m2+4m+1=0，
解得m=−13(舍去)，m=−1，
故答案为：−1．
(1)根据题意运算法则计算即可求解；
(2)设这个数为m，依题意得2m+3=m−23m，解一元二次方程求得整数解即可．
本题考查了解一元二次方程，和分式方程，熟练掌握解分式方程是关键．
16.【答案】15
【解析】解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB=18分米，C为AB的中点，
∴AC=BC=9分米，
设圆的半径为x分米，则OA=OD=x分米，
∵CD=27分米，
∴OC=(27−x)分米，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC2+OC2=OA2，
∴92+(27−x)2=x2，
∴x=15，
即拱门所在圆的半径是15分米．
故答案为：15．
连接AO，根据垂径定理求得AC=BC=9分米，设圆的半径为x分米，则OA=OD=x分米，OC=(27−x)分米，然后根据勾股定理即可求得x的值．
本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，
17.【答案】解：(1)(−12)−2+| 3−2|+327−(3−π)0
=4+2− 3+3−1
=8− 3；
(2)(1+1x−3)÷x2−4x+4x2−9
=x−2x−3⋅(x+3)(x−3)(x−2)2
=x+3x−2，
当x=7时，
原式=7+37−2=2．
【解析】(1)根据负整数指数幂，绝对值，平方根和立方根性质，零指数幂的意义进行计算，即可得出结果；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值、因式分解；熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值是解决问题的关键．
18.【答案】解：方程组化简为：4x+3y=4①2x+y=4②，
②×2得：4x+2y=8③，
①−③得：y=−4，
把y=−4代入②得：x=4，
∴方程组的解为：x=4y=−4．
【解析】先把方程组化简成一般形式，然后利用加减消元和代入消元法求出未知数的值即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
19.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2 2 3 a2+4ab+3b2=(a+3b)(a+b)
【解析】解：(1)由图得，正方形面积为(a+b)2，或为a2+2ab+b2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2，
∴需要2号卡2个，三号卡3个，
故答案为：2，3；
(3)长方形面积为a2+4ab+3b2，或为(a+3b)(a+b)，
∴a2+4ab+3b2=(a+3b)(a+b)，
故答案为：a2+4ab+3b2=(a+3b)(a+b)；
(4)a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b)，
如图所示，
故答案为：(a+2b)(a+3b)．
(1)根据图形面积的求法整理算式即可；
(2)化简整式乘法判断小图形面积即可；
(3)根据图形面积的求法整理算式即可；
(4)根据图形面积的求法整理算式并画出图形即可．
本题考查了分解因式，数形结合及准确的计算化简是解题关键．
20.【答案】34
【解析】解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有：3，7，9，共3种，
∴抽到这张牌是奇数的概率为34．
故答案为：34．
(2)列表如下：
共有16种等可能的结果，其中他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果有：(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)，共9种，
∴他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的概率为916．
(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到这张牌是奇数的结果有3种，利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及他们抽到的两张扑克牌牌面数字之和恰好是3的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵反比例函数y=−2x的图象过点B(−2,a)，
∴−2a=−2，即a=1，
∴BD=1，OD=2，
作BD⊥x轴，AE⊥x轴，

∵∠BOD=∠OAE，∠BDO=∠OEA，
∴△BOD∽△OAE，
∵tanA=OBOA=12，
∴OBOA=BDOE=ODAE=12，
∴OE=2BD=2，AE=2OD=4，
∴点A的坐标为(2,4)，
∴将点A坐标代入y=kx得4=k2，
∴k=8．
(2)∵BC//x轴，
yc=yB=1，
将yc=1代入y=8x中，得xc=8，
∴点C的坐标为(8,1)，
∴OC所在的直线为y=18x，
当x=2时，y=14即F(2,14)，
AF=4−14=154，
S△OAC=S△ACF+S△OAF

=12AF⋅OE+12AF⋅(xC−xF)
=12×154×2+12×154×(8−2)
=15．
答：△OAC的面积为15．
【解析】(1)根据条件可得a=1，利用一线三垂在得到△BOD∽△OAE，利用相似比求出点A坐标即可解得k值；
(2)根据BC/​/x轴可得点C的坐标为(8,1)，F(2,14)，可得AF=154，依据S△OAC=S△ACF+S△OAF代入数据计算即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)如图1所示，连接OE，

∵EF是切线，
∴∠OEF=90°，
∵AB=AC，OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=∠B=α，
∴∠AEF=180°−∠OEF−∠OEC=90°−α；
(2)∵⊙O与AB相切于点D，
∴∠ODB=90°，
在Rt△BOD中，由勾股定理得OD= OB2−BD2=2 2，
∵EF是切线，
∴∠OEF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
由(1)得∠1=∠B=∠C，
又∵∠B+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
如图2所示，过点F作FG⊥AC于G，则∠EGF=∠ODB=90°，

∴△BOD∽△FEG，
∴ODEG=BDFG=OBEF，即2 2EG=1FG=36，
∴EG=4 2,FG=2，
∴AG=AE−EG= 2，
在Rt△AGF中，由勾股定理得AF= AG2+FG2= 6．
【解析】(1)连接OE，由切线的性质得到∠OEF=90°，再由等边对等角得到∠OEC=∠OCE=∠B=α，则由平角的定义可得∠AEF=180°−∠OEF−∠OEC=90°−α；
(2)由切线的性质得到∠ODB=90°，由勾股定理得OD= OB2−BD2=2 2，证明∠1+∠2=90°，由(1)得∠1=∠B=∠C，再由∠B+∠3=90°，可得∠3=∠2，如图所示，过点F作FG⊥AC于G，则∠EGF=∠ODB=90°，证明△BOD∽△FEG，求出EG=4 2,FG=2，则AG=AE−EG= 2，在Rt△AGF中，由勾股定理得AF= AG2+FG2= 6．
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角等等，解答本题的关键是熟练掌握切线的性质．
23.【答案】解：过点B作BE⊥AC，BF⊥CD，垂足分别为E，F，则四边形BFCE是矩形．
∵道路A、B的坡度为1：2.4=5：12，
∴可设BE=5xm，则AE=12xm．
在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，
∴AE2+BE2=AB2，
解得AB=13x=13m，即x=1，
∴BE=5m，AE=12m，
∴BF=CE=AC+AE=18+12=30m，CF=BE=5m．
在Rt△BFD中，∵∠DBF=44°，
∴tan∠DBF=DFBF=tan44°≈0.97，
∴DF=BF⋅tan44°≈30×0.97≈29.1m，
∴CD=CF+DF≈34m．
答：建筑物CD的高度约为34m．
【解析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，解直角三角形−坡度坡角问题，锐角三角函数定义，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型．过点B作BE⊥AC，BF⊥CD，垂足分别为E，F，则四边形BFCE是矩形．解Rt△ABE，求出BE=5m，AE=12m，那么BF=CE=AC+AE=30m，CF=BE=5m.解Rt△BFD，求出DF=BF⋅tan44°≈29.1m，那么CD=CF+DF≈34m．
24.【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BDE中，BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠EDC+∠DEB=∠ACB，∠ABD+∠DBE=∠ABC，
∴∠EDC+∠DEB=∠ABD+∠DBE，
∴∠EDC=∠ABD，
∵∠EDC=∠ADF，
∴∠ADF=∠ABD；
(2)解：过点A作AN⊥CB于点N，如图，

在△ABC中，AN⊥CB，AB=AC，
∴BN=NC=12CB，∠ABC+∠BAN=90°，∠BAN=∠CAN，
∵EF⊥BF，
∴∠ABC+∠E=90°，
∴∠BAN=∠E，
∵∠DBE=∠DEB，∠BAN=∠CAN，
∴∠DBE=∠CAN=∠E，
又∵∠BCD=∠ACN，
∴△BCD∽D△ACN，
∴BCAC=BDAN=CDCN，
∵BN=NC=12CB，CDAC=13，
∴2CN3CD=CDCN，
∴2CN2=3CD2，
∴CD= 63CN，
∴AC=3CD= 6CN，
在Rt△ACN中，AN= AC2−CN2，
∴AN= AC2−CN2= 5CN，
∴ct∠CAN=ANNC= 5NCCN= 5，
∴ct∠E= 5．
(3)解：过点F作FN/​/CD，交BD于点N，BD与FC交于点O，如图，

∵BD平分CF，
∴FO=OC，
∵FN//CD，
∴∠FNO=∠CDO，∠NFO=∠DCO，
又∵FO=OC，
∴△FNO≌△CDO(AAS)，
∴FN=CD，
设AB=AC=1，CDBF=t,t<1，
∴FNBF=CDBF=t，
∵FN//CD，
∴△BFN∽△BAD，
∴FNBF=ADAB，
∴AD=FNBF×AB=t，
∴CD=AC−AD=1−t，
即FN=CD=1−t，
∵FNBF=t，
∴BF=1−tt，
∴AF=AB−BF=1−1−tt=2t−1t，
∵∠ADF=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADF∽△ABD，
∴ADAB=AFAD，
∴t1=2t−1tt，
整理得t3=2t−1，
∴t3−1=2t−2，
∴(t−1)(t2+t+1)=2(t−1)，
∵t<1，
∴t2+t+1=2，
解得t= 5−12(负值舍去)，
经检验，t= 5−12是原方程的根，
∴CDBF= 5−12．
【解析】(1)根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，∠DBE=∠DEB，再根据∠EDC+∠DEB=∠ACB，∠ABD+∠DBE=∠ABC，即可证明；
(2)先证明∠DBE=∠CAN=∠E，再证明△BCD∽△ACN，即有BCAC=BDAN=CDCN，根据BN=NC=12CB，CDAC=13，可得CD= 63CN，进而可得AC=3CD= 6CN，AN= AC2−CN2= 5CN，即可解答；
(3)过点F作FN/​/CD，交BD于点N，BD与FC交于点O，先证明FN′=CD，设AB=AC=1,CDBF=t，CDBF=t，t<1，即有FNBF=CDBF=t，证明△BFNO△BAD，可得AD=FNBF×AB=t，则有CD=AC−AD=1−t，FN=CD=1−t，进而可得BF=1−tt，AF=AB−BF=1−1−tt=2t−1t，再证明△ADFO△ABD，可得ADAB=AFAD，进而得方程t3=2t−1，解方程即可求解．
本题考查相似型的综合应用，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线为y=a(x−x1)(x−x2)
∵经过A(−2,0)，B(4,0)两点，
∴y=a(x−4)(x+2)，
∴把C(0,−4)代入得，−4=a×(−4)×2，
∴a=12，
∴抛物线的解析式为y=12(x−4)(x+2)=12x2−x−4，
即y=12x2−x−4；
(2)解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B(4,0)、C(0,−4)代入得，
0=4k+b−4=b，
解得k=1b=−4，
∴直线BC的解析式为y=x−4，
设D(m,12m2−m−4)，则E(m,m−4)，F(m,0)，
∴EF=4−m，DE=m−4−(12m2−m−4)=−12m2+2m，
∵S△BEF：S△BDE=2：3，
∴EF：ED=2：3，
∴4−m−12m2+2m=23，
解得m1=4(不合，舍去)，m2=3，
∴D点的坐标为(3,−52)；
(3)如图，设BC与PQ的交点为D，

∵四边形BPCQ为菱形，
∴点D为BC和PQ的中点，BC⊥PQ，
∵B(4,0)，C(0,−4)，
∴D(2,−2)，
∵点P为抛物线上一动点，
∴设P(a,12a2−a−4)，
∵BC⊥PQ，
∴∠CDP=90°，
∴CD2+DP2=CP2，
∴(2−0)2+[−2−(−4)]2+(2−a)2+[−2−(12a2−a−4)]2=(a−0)2+[12a2−a−4−(−4)]2，
∴a=2 2或a=−2 2，
∴P(2 2,−2 2)或P(−2 2,2 2)，
设点Q的坐标为(m,n)，
当点P的坐标为(2 2,−2 2)时，有2 2+m2=2，−2 2+n2=−2，
∴m=4−2 2，n=2 2−4，
∴Q(4−2 2,2 2−4)；
当点P的坐标为P(−2 2,2 2)时，有−2 2+m2=2，2 2+n2=−2，
∴m=4+2 2，n=−2 2−4，
∴Q(4+2 2,−2 2−4)；
综上，存在P(2 2,−2 2)、Q(4−2 2,2 2−4)或P(−2 2,2 2)、Q(4+2 2,−2 2−4)．
【解析】(1)利用交点式假设出抛物线的解析式为 y=a(x−4)(x+2)，把C(0,−4)代入计算即可求解；
(2)利用待定系数法求出直线BC的解析式y=x−4，设D(m,12m2−m−4)，则E(m,m−4)，F(m,0)，求出EF=4−m，DE=−12m2+2m，由S△BEF：S△BDE=2：3得EF：ED=2：3，即4−m−12m2+2m=23，解之即可求解；
(3)设BC与PQ的交点为D，由菱形的性质得点D为BC和PQ的中点，BC⊥PQ，设P(a,12a2−a−4)，由勾股定理得CD2+DP2=CP2，即有(2−0)2+[−2−(−4)]2+(2−a)2+[−2−(12a2−a−4)]2=(a−0)2+[12a2−a−4−(−4)]2，解得a=2 2或a=−2 2，设点Q的坐标为(m,n)，再利用中点坐标公式即可求出点Q的坐标．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，菱形的性质，平面直角坐标系两点间距离公式，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．3
6
7
9
3
(3,3)
(3,6)
(3,7)
(3,9)
6
(6,3)
(6,6)
(6,7)
(6,9)
7
(7,3)
(7,6)
(7,7)
(7,9)
9
(9,3)
(9,6)
(9,7)
(9,9)