2024年上海市闵行区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年上海市闵行区中考数学三模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. 无限小数都是无理数B. −1125没有立方根
C. 正数的两个平方根互为相反数D. −(−13)没有平方根
2.已知|a|=3，|b|=2，且b和a的方向相反，那么下列结论中正确的是( )
A. 3a=2bB. 2a=3bC. 3a=−2bD. 2a=−3b
3.下列成语所反映的事件中，是确定事件的是( )
A. 十拿九稳B. 守株待兔C. 水中捞月D. 一箭双雕
4.方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据x1，x2，x3，…，xn，可用如下算式计算方差：s2=1n[(x1−5)2+(x2−5)2+(x3−5)2+…+(xn−5)2]，其中“5”是这组数据的( )
A. 最小值B. 平均数C. 中位数D. 众数
5.“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数y=1x2，其图象位于( )
A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限
6.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( )
A. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.若函数y=−2xm是反比例函数，则m的值是______．
8.为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷25份，那么样本容量是______．
9.如果关于x的多项式x2−2x+m在实数范围内能因式分解，那么实数m的取值范围是______．
10.某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为______．
11.如果二次函数y=x2−4x+1的图象的一部分是下降的，那么x的取值范围是______．
12.一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是______．
13.若点P到⊙A上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么⊙A的半径为______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设AB=a，BC=b，那么MN可用a、b表示为______．
15.中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA=1.5km，则这段圆曲线(弧AB)的长为______km.(结果保留π)
16.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，则点M的坐标为______．
17.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE(点D在直线BC的上方)，G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是 ．
18.在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数y=(x−2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=14x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：813+|3− 3|+1 3−2+(π− 2)0．
20.(本小题10分)
解方程组：x2−5xy+6y2=0x+y=12
21.(本小题10分)
如图，一次函数y1=−x−1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=kx图象的一个交点为M(−2,m)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点B到直线OM的距离．
22.(本小题10分)
如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s.某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60℃的水(不计热损失)，求该学生分别接温水和开水的时间．
23.(本小题12分)
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2=OB⋅OE．
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)如果BC=BD，AE⋅AF=AD⋅BF，求证：△ABE∽△ACD．
24.(本小题12分)
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中E点为抛物线的拱顶且高4m，AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
解决下列问题：
(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线(太阳光线为平行线)透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
25.(本小题14分)
如图，已知在△ABC中，射线AM/​/BC，P是边BC上一动点，∠APD=∠B，PD交射线AM于点D.联结CD.AB=4，BC=6，∠B=60°．
(1)求证：AP2=AD⋅BP；
(2)如果以AD为半径的圆A以与A以BP为半径的圆B相切．求线段BP的长度；
(3)将△ACD绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时∠BEP的余切值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、无限循环小数是有理数，故不符合题意；
B、−1125有立方根是−15，故不符合题意；
C、正数的两个平方根互为相反数，正确，故符合题意；
D、−(−13)=13有平方根，故不符合题意，
故选：C．
根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可．
本题主要考查了平方根、立方根及无理数的定义，以及实数和数轴的关系．
2.【答案】D
【解析】解：∵|a|=3，|b|=2，且b和a的方向相反，
∴ab=−32，
∴2a=−3b．
故选：D．
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量基本知识，属于中考常考题型．
根据平行向量的性质即可解决问题．
3.【答案】C
【解析】解：A、十拿九稳，是随机事件，不符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月，是不可能事件，属于确定事件，符合题意；
D、一箭双雕，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】B
【解析】解：方差s2=1n[(x1−5)2+(x2−5)2+(x3−5)2+…+(xn−5)2]中“5”是这组数据的平均数，
故选：B．
根据方差的定义可得答案．
本题考查方差，解题的关键是掌握方差的定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意x≠0，
当x<0时，y>0；此时点在二象限；
当x>0时，y>0；此时点在一象限；
故选：A．
根据x的取值，判断y的范围，即可求解．
本题考查函数的特征和性质，研究函数图象一般的方法是描点法．
6.【答案】A
【解析】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°−60°=30°，
∵OE=OF、OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1,∠F2DC=∠CDF=60°，
∴∠EDA=∠E1DA=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1//BF1，
∵E1F2=E2F1，
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2 3，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴AE= 22−12= 3．
根据对称性可得AE1=AE= 3．
∴AD2=12，DE12=9，AE12=3，
∴AD2=AE12+DE12，
∴ΔDE1A是直角三角形，且∠E1=90°，
四边形E1E2F1F2是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F2F2是菱形，
∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故选：A．
根据题意，分别证明四边形E1E2F1F2是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．
本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7.【答案】−1
【解析】解：若函数y=−2xm是反比例函数，
则m=−1，
故答案为：−1．
形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，也可以写成y=kx−1(k为常数，k≠0)，据此解答即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟知其定义是解题的关键．
8.【答案】1250
【解析】解：为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷25份，那么样本容量是：50×25=1250．
故答案为：1250．
利用样本容量定义可得答案．
此题主要考查了样本容量，关键是掌握一个样本包括的个体数量叫做样本容量．样本容量只是个数字，没有单位．
9.【答案】m≤1
【解析】解：∵关于x的多项式x2−2x+m在实数范围内能因式分解，
∴x2−2x+m=0有实数根，
∴a=1，b=−2，c=m，
则Δ=b2−4ac≥0，
(−2)2−4×1×m≥0，
4−4m≥0，
−4m≥−4，
m≤1，
∴实数m的取值范围是：m≤1，
故答案为：m≤1．
关于x的多项式x2−2x+m在实数范围内能因式分解，说明方程x2−2x+m=0有实数根，然后根据一元二次方程根的情况是由判别式决定，从而列出关于m的不等式，解不等式即可．
本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握一元二次方程与判别式的关系．
10.【答案】13
【解析】解：∵共有6名学生干部，其中女生有2人，
∴任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为26=13，
故答案为：13．
直接根据概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
11.【答案】x≥2
【解析】解：由题意，∵y=x2−4x+1=(x2−4x+4)−3=(x−2)2−3，且抛物线开口向上，
∴当x<2时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥2时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升．
∵二次函数y=2x2−4x+1的图象的一部分是上升的，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
依据题意，由y=x2−4x+1=(x−2)2−3，又抛物线开口向上，从而当x<2时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥2时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升，再结合二次函数y=x2−4x+1的图象的一部分是上升的，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
12.【答案】8
【解析】【分析】
此题主要考查了多边形内角和公式．
根据多边形内角和公式列方程，再解方程即可．
【解答】
解：设多边形边数为n，由题意得：
180°·(n−2)=1080°，
解得：n=8，
故答案为：8．
13.【答案】5或3．
【解析】解：当点A在圆内时，最大距离为8，最小距离为2，因而半径是5；
当点A在圆外时，最大距离为8，最小距离为2，则直径是6，因而半径是3．
故答案为：5或3．
点A应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点A在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点A在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案．
本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
14.【答案】12(a−b)
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的加减运算法则，三角形的中位线定理，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
先根据中位线定理求出MN=12DB，再根据平面向量的加减运算法则求出DB即可求解．
【解答】
解：如图，连接BD，
∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴MN/​/BD，且MN=12BD，
∴MN=12DB，
∵AB=DC=a，BC=b，
∴DB=−(BC+CD)，
∴DB=−(b−a)=a−b，
∴MN=12(a−b)．
故答案为：12(a−b)．
15.【答案】12π
【解析】解：∵CA，CB是⊙O的切线，
∴AC⊥OA，BC⊥OB，
∴∠CAO=∠CBO=90°，
∴∠ACB+∠AOB=180°，
∵α+∠ACB=180°，
∴∠AOB=α=60°，
∴弧AB的长=60π×1.5180=12π(km)．
故答案为：12π.
求出∠AOB=60°，再利用弧长公式求解．
本题考查切线的性质，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式l=nπr180．
16.【答案】(3 3,−2)
【解析】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，图中是7个全等的正六边形，
∴AB=BC=2 3，OQ=3，
∴OA=OB= 3，
∴OC=3 3，
∵DQ=DB=2OD，
∴OD=1，QD=DB=CM=2，
∴M(3 3,−2)，
故答案为：(3 3,−2)．
设中间正六边形的中心为D，连接DB.判断出OC，CM的长，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】0≤d≤ 10
【解析】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，
当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：
∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，
∴H为BC中点，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，
∴BH=CH=AH=AB 2=3 2，
∵AG1=2G1H，
∴AG1=2 2，G1H= 2，
∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，
∴K为AC中点，
∴∠AKD=∠CKD=90°，∠AKH=∠CKH=90°，
∴∠AKD+∠AKH=180°，
∴D，K，H共线，
∵AK=CK=DK=12AC=12AB=3=HK，
∴G2K=13DK=1，G2D=DK−G2K=2，
∴G2H=G2K+HK=4，
∵TG2//ED，
∴TG2AD=THAH=HG2HD=44+2=23，即TG23 2=TH3 2=23，
∴TG2=2 2，TH=2 2，
∴TG1=TH−G1H= 2，
∴G1G2= TG12+TG22= 10，
∴G1G2最大值为 10，
∴G1G2的范围是0≤G1G2≤ 10，
故答案为：0≤d≤ 10．
分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．
本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．
18.【答案】712或−2512
【解析】解：由y=(x−2)2(0≤x≤3)，当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
∵A(3,0)，四边形ABCO是矩形，
∴B(3,4)，
①当抛物线经过O、B时，将点O(0,0)，B(3,4)代入y=14x2+bx+c(0≤x≤3)得
c=014×9+3b+c=4，
解得b=712；
②当抛物线经过A、C时，将点A(3,0)，C(0,4)代入y=14x2+bx+c(0≤x≤3)得
c=414×9+3b+c=0，
解得b=−2512，
综上所述，b=712或b=−2512，
故答案为：712或−2512，
根据题意求得点A(3,0)，B(3,4)，C(0,4)，然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
19.【答案】解：813+|3− 3|+1 3−2+(π− 2)0
=2+3− 3+ 3+2( 3−2)( 3+2)+1
=5− 3− 3−2+1
=4−2 3．
【解析】根据绝对值、二次根式的性质，零指数幂分别计算即可．
本题考查了绝对值、分母有理化、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：x2−5xy+6y2=0 ①x+y=12 ②，
由①得x−2y=0或x−3y=0，
x−2y=0x+y=12或x−3y=0x+y=12，
解方程组得：x1=8y1=4，x2=9y2=3；
所以原方程组的解为x1=8y1=4和x2=9y2=3．
【解析】本题考查的是高次方程的解法，把高次方程化为二元一次方程组是解题的关键．
利用因式分解把①化为两个二元一次方程，组成两个二元一次方程组，解方程组得到答案．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y1=−x−1过M(−2,m)，
∴m=1，
∴M(−2,1)
把M(−2,1)代入y2=kx得：k=−2，
∴反比列函数为y2=−2x；
(2)设点B到直线OM的距离为h，过M点作MC⊥y轴，垂足为C．
∵一次函数y1=−x−1与y轴交于点B，
∴点B的坐标是(0,−1)．
S△OMB=12×1×2=1，
在Rt△OMC中，OM= OC2+CM2= 12+22= 5，
∵S△OMB=12OM⋅h=1，
∴h=2 5=2 55．
即：点B到直线OM的距离为2 55．
【解析】(1)首先根据一次函数解析式算出M点的坐标，再把M点的坐标代入反比例函数解析式即可；
(2)设点B到直线OM的距离为h，过M点作MC⊥y轴，垂足为C，根据一次函数解析式表示出B点坐标，再利用△OMB的面积=12×BO×MC算出面积，再利用勾股定理算出MO的长，再次利用三角形的面积公式可得12OM⋅h，根据前面算的三角形面积可算出h的值．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，关键是熟练掌握三角形的面积公式，并能灵活运用．
22.【答案】解：设该学生接温水的时间为x s，
根据题意可得：20x×(60−30)=(280−20x)×(100−60)，
解得x=8，
∴20×8=160(ml)，
∵280−160=120(ml)，
∴120÷15=8(s)，
∴该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为8s．
【解析】设该学生接温水的时间为x s，则接温水20x ml，开水(280−20x)ml，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．
本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵OD2 =OE⋅OB，
∴OEOD=ODOB，
∵AD/​/BC，
∴△AOD∽△COB，
∴OAOC=ODOB
∴OAOC=OEOD
∴AF/​/CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；
(2)证明：∵AF/​/CD，
∴∠AED=∠BDC，△BEF∽△BDC，
∴BEBD=BFBC，
∵BC=BD，
∴BE=BF，∠BDC=∠BCD，
∴∠AED=∠BCD．
∵∠AEB=180°−∠AED，∠ADC=180°−∠BCD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵AE⋅AF=AD⋅BF，
∴AEBF=ADAF，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD，
∴AEBE=ADDC，
∴△ABE∽△ADC．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．
(1)由已知得出OEOD=ODOB，由平行线得出△AOD∽△COB，得出OAOC=ODOB，证出OAOC=OEOD，得出AF//CD，即可得出结论；
(2)由平行线得出∠AED=∠BDC，△BEF∽△BDC，得出BEBD=BFBC，证出∠AEB=∠ADC.由已知得出AEBF=ADAF，由平行四边形的性质得出AF=CD，得出AEBE=ADDC，由相似三角形的判定定理即可得出结论．
24.【答案】解：(1)由题知，E点为抛物线顶点坐标为(0,4)，
设抛物线的解析式为y=ax2+4，
∵四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线，BC=4m，
∴AD=BC=4m，OB=2m，
∵AB=3m，
∴A(−2,3)，
将其代入y=ax2+4中，
有3=4a+4，
∴a=−14，
∴抛物线的解析式为y=−14x2+4；
(2)∵四边形LFGT和SMNR为正方形，FL=NR=0.75m，
∴MN=FG=FL=NR=0.75m，
延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，易知四边形FHJN和ABFH为矩形，

∴FH=AB=3m，FN=HJ，
∴HL=HF+FL=3.75m，
∵y=−14x2+4，
当y=3.75时，−14x2+4=3.75，
解得x=±1，
∴H(−1,0)，J(1,0)，
∴FN=HJ=2m，
∴GM=FN−FG−MN=0.5m；
(3)∵OE为BC的中垂线，BC=4m，
OB=OC=2m，
∴B(−2,0)，C(2,0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则2k+b=0−2k+b=3，解得k=−34b=32，
∴直线AC的解析式为y=−34x+32，
∵太阳光为平行线，
设过点K且平行于直线AC的解析式为y=−34x+m，
由题意得y=−34x+m与抛物线相切，即只有一个交点，
联立y=−34x+my=−14x2+4，
整理得x2−3x+4m−16=0，
则b2−4ac=(−3)2−4(4m−16)=0，
解得m=7316，
∴y=−34x+7316，
当y=0时，x=7312，
∴K(7312,0)，
∵B(−2,0)，
∴BK=2+7312=9712m．
【解析】(1)根据题意得到E的坐标，设函数解析式为y=ax2+4，求出点A坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据正方形性质得到HL=HF+FL=3.75m，求出y=3.75时，对应的自变量的值，得到FN的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意求出直线AC的解析式，进而设出过点的光线解析式为y=−34x+m，利用光线与抛物线相切，求出m的值，进而求出点K坐标，即可得出BK的长．
本题考查二次函数的实际应用，坐标与图形，中垂线性质，待定系数法求出函数解析式，正方形的性质，矩形的性质和判定．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AM/​/BC，
∴∠APB=∠DAP，
又∵∠APD=∠B，
∴△ABP∽△DPA，
∴APDA=BPAP，
∴AP2=AD⋅BP；
(2)解：设BP=x，作AH⊥BC于H，如图1所示：
∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=12AB=2，
根据勾股定理得：AH= 42−22=2 3，
AP2=PH2+AH2=(x−2)2+(2 3)2=x2−4x+16，
∴AD=AP2BP=x2−4x+16x，
两圆相切时，AB=|AD+BP|，
即4=|x+x2−4x+16x|，
整理得：4x=|4x−16|，
解得：x=2，
∴BP的长度为2时，两圆内切；
(3)解：根据题意得：AD=AB=x2−4x+16x=4，
解得：x=4，
∴BP=4，
∵∠ABP=60°，AB=BP=4，
∴△ABP为等边三角形，
∵AD=AB=4，CH=BC−BH=4，AD//CH，∠AHC=90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴BE=CD=AH=2 3，∠ABE=∠ADC=90°，
作PG⊥AB于G，如图2所示：
则PG//BE，PG=2 3，
∴PG=BE，
∴BF=FG=12BG=1，
∴ct∠BEP=BEBF=2 3．
【解析】(1)先由平行线证明∠APB=∠DAP，再由已知条件∠APD=∠B，证明△ABP∽△DPA，得出对应边成比例APDA=BPAP，即可得出结论；
(2)设BP=x，作AH⊥BC于H，先根据勾股定理求出AH，再由勾股定理得出AP2=PH2+AH2，由两圆外切时，AB=|AD+BP|，得出方程，解方程即可；
(3)作PG⊥AB于G；先根据题意得出：AD=AB=x2−4x+16x=4，解方程求出BP，再证明△ABP为等边三角形，求出PG，然后证明四边形ADCH为矩形，得出BE=CD=AH=2 3，∠ABE=∠ADC=90°，求出BF，即可求出∠BEP的余切值．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆外切的条件、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)(3)中，需要通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、矩形才能得出结果．物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．