2023-2024学年山西省晋中市介休市七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省晋中市介休市七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算x3⋅x4的结果是( )
A. x7B. x12C. 2x7D. 2x12
2.司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是( )
A. 金额B. 数量C. 单价D. 金额和数量
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a2=2a2B. (a−b)2=a2−b2
C. (2a2b3)3=−6a6b3D. 3a2b÷ab=3a
4.下列图形中，由∠1=∠2，能得到AB/​/CD的是( )
A. B.
C. D.
5.蓝鲸是迄今海洋中最大的生物，同时也是地球上体积最大的动物，平均体长约30米，重达200吨以上，而被命名为“H39“的原生动物则是世界上体积最小的动物，最大直径为0.0000003米.将数据0.0000003用科学记数法表示为( )
A. 0.3×10−6米B. 3×10−6米C. 3×10−7米D. 0.3×10−7米
6.观察下列图形，从图1到图2可表示的乘法公式为( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (a−b)2=(a+b)(a−b)
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−2ab+b2=(a−b)2
7.水滴进玻璃容器(滴水速度相同)实验中，水的高度随滴水时间变化的情况(如图)，下面符合条件的示意图是( )
A.
B.
C.
D.
8.计算(x−3)(x+5)所得结果为( )
A. x2+2x−15B. x2−2x−15C. x2−2x+15D. x2+8x+15
9.折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是( )
A. ∠1与∠3互余B. ∠2=90°
C. AE平分∠BEFD. ∠1与∠AEC互补
10.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按此规律摆下去，若第n个图案中有y个三角形，则y与n之间的关系式是( )
A. y=2n+1B. y=2n−1C. y=3n+1D. y=3n−1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：−a(b−3)= ______．
12.如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是______．
13.如图1是一款小型手推升降机，如图2是其平面示意图，其中AB/​/CD，经测量：∠A=25°，∠CDE=110°，则∠ADE的度数为______．
14.我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(℃)的关系如表：
根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.5W/m⋅K，则温度为______℃.
15.图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积.若m+n=8，m−n=2，则S1−S2= ______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)a3⋅(−b3)2+(−2ab2)3；
(2)(−2)3+9×(−34)−2−(−7)0．
17.(本小题12分)
(1)简便计算：2032×2024−20282；
(2)先化简，再求值：[(x2+y2)−(x−y)2+2y(x−y)]÷4y，其中|x+7|+(y−2)2=0．
18.(本小题8分)
如图，直线AB与CD相交于点O，P为直线AB上一点(不与点O重合)．
(1)用直尺和圆规过点P作直线EF//CD，使∠APF成为∠POD的同位角(不写作法，保留作图痕迷)；
(2)当∠COP+∠BOD=258°时，∠APF= ______．
19.(本小题8分)
阅读下列推理过程，完成相应任务：
如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1=∠B，∠A+∠2=90°．
求证：AB/​/CD．
证明：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠AOE=90°(垂直的定义)．
又∵∠1=∠B(已知)，
∴CE//BF(______“依据1“)，
∴∠AFB=∠AOE(______”依据2”)，
∴∠AFB=90°(等量代换)．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=180°(平角的定义)，
∴∠AFC+∠2=90°．
又∵∠A+∠2=90°(已知)，
∴∠A=∠AFC(______“依据3”)，
∴AB/​/CD(______“依据4”)．
任务：
上述推理过程中的“依据1”“依据2”“依据3”“依据4”分别指什么？
“依据1”：______；
“依据2”：______；
“依据3”：______；
“依据4”：______．
20.(本小题9分)
综合实践小组探究香燃烧时剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)的关系.下面是他们实验过程的示意图以及相关数据，请利用图中信息解答下列问题：
(1)将表格中空缺的数据补充完整；
(2)根据表中信息，分析香燃烧过程中剩余长度y(cm)随燃烧时间x(分)的变化规律(写出一个结论即可)；
(3)香的剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)之间的关系式为______．
21.(本小题7分)
如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知AB//MN//PQ，若∠2=100°，∠DBE=130°，求∠1的度数．
22.(本小题10分)
如图，将边长为(a+b)的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形(阴影部分).观察图形，解答下列问题：
(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______；
方法2：______；
(2)从中你得到什么等式？______；
(3)运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知x+y=6，12xy=3，求x2+y2的值；
②已知(2021−x)2+(x−2024)2=49，求(2021−x)(x−2024)的值．
23.(本小题11分)
如图，直线PQ//MN，一副三角尺(∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=30°,∠BAC=60°,∠DCE=∠DEC=45°)按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
(1)求∠DEQ的度数．
(2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F，G)，设旋转时间为t(s)(0≤t≤45)．
①在旋转过程中，若边BG/​/CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转(C,D的对应点为H，K).请求出当边BG/​/HK时t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：x3⋅x4=x3+4=x7．
故选：A．
根据同底数幂的乘法法则计算即可．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：因为金额会随着数量的变化而变化，
所以单价是常量．
故选：C．
根据常量和变量的定义进行作答．
本题主要考查常量和变量，熟练掌握它们的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a2=a4，故A不符合题意；
B、(a−b)2=a2−2ab+b2，故B不符合题意；
C、(2a2b3)3=8a6b9，故C不符合题意；
D、3a2b÷ab=3a，故D符合题意；
故选：D．
根据单项式除以单项式，同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】
解：A、由∠1=∠2，不能得到AB/​/CD，故不符合题意；
B、∵∠1=∠2，∴AC/​/BD，不能得到AB/​/CD，故不符合题意；
C、由∠1=∠2，不能得到AB/​/CD，故不符合题意；
D、∵∠1=∠2，∴AB/​/CD，故符合题意．
5.【答案】C
【解析】解：0.0000003米=3×10−7米．
故选：C．
根据科学记数法的方法进行解题即可．
本题考查科学记数法−表示较小的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．熟记相关结论即可．
6.【答案】A
【解析】解：图1是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，用图2的方式拼接，可得图1中两个梯形的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，
所以有(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：A．
用代数式表示图1、图2中两个梯形的面积和即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由题知，
根据所给函数图象可知，
最开始的一段时间，随着滴水时间的增加，水的高度上升较明显，
一段时间后，随着滴水时间的增加，水的高度上升不明显，
且越往后，水的高度变化越不明显．
所以容器应该是从下往上逐渐增大的．
故选：D．
根据所给函数图象，推断出水的高度随滴水时间的变化如何变化，即可得出容器的大致形状．
本题考查函数图象，能够从所给函数图象中推断出容器的大致形状是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：(x−3)(x+5)
=x2+5x−3x−15
=x2+2x−15
故选：A．
本题需先根据多项式乘多项式的法则，分别进行计算，再把所得的结果合并即可求出答案．
本题主要考查了多项式乘多项式，在解题时要注意乘法法则的应用和结果的符号是本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：根据折叠的性质可知，∠1=∠AEB，∠3=∠FEC，
∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC=180°，
∴2(∠1+∠3)=180°，
即∠1+∠3=90°，故A不符合题意；
∴∠2=90°，故B不符合题意，C符合题意；
∵∠1+∠AEC=180°，
∴∠1与∠AEC互补，
故D不符合题意．
故选：C．
利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断．
本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4=3×1+1
第2个图案有7个三角形，即7=3×2+1
第3个图案有10个三角形，即10=3×3+1
…
按此规律摆下去，
第n个图案有(3n+1)个三角形．
故选：C．
根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．
本题考查了规律型−图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
11.【答案】−ab+3a
【解析】解：−a(b−3)=−ab+3a．
故答案为：−ab+3a．
根据单项式乘多项式，去括号法则计算即可．
本题考查了整数的混合运算，要注意当与有负号的项进行运算时要注意符号的变化．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：∵PB⊥MN，
∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段最短求解即可．
本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关键．
13.【答案】85°
【解析】解：∵AB/​/CD，∠A=25°，
∴∠ADC=∠A=25°，
∵∠CDE=110°，
∴∠ADE=∠CDE−∠ADC=110°−25°=85°．
故答案为：85°．
根据平行线的性质求出∠ADC，即可求出∠ADE．
本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．
14.【答案】450
【解析】解：根据题意，温度每增加50℃，导热率增加0.05W/m⋅K，
所以，当导热率为0.5W/m⋅K时，温度为450℃，
故答案为：450．
根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案．
本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．
15.【答案】16
【解析】解：∵m+n=8，m−n=2，
∴S1−S2
=(S1+SB)−(S2+SB)
=m2−n2
=(m+n)(m−n)
=8×2
=16，
故答案为：16．
先根据已知求出S1−S2，并进行分解因式，把m+n与m−n的值代入计算即可．
本题主要考查了平方差公式的应用，解题关键是灵活应用平方差公式解决问题．
16.【答案】解：(1)原式=a3b6−8a3b6
=−7a3b6；
(2)原式=−8+9×169−1
=−8+16−1
=7．
【解析】(1)利用幂的乘方及积的乘方运算后再合并同类项即可；
(2)利用负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方法则及有理数的乘法法则计算即可．
本题考查有理数及整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2032×2024−20282
=(2028+4)(2028−4)−20282
=20282−42−20282
=−16；
(2)[(x2+y2)−(x−y)2+2y(x−y)]÷4y
=(x2+y2−x2+2xy−y2+2xy−2y2)÷4y
=(−2y2+4xy)÷4y
=−y+x，
∵|x+7|+(y−2)2=0，
∴x+7=0，y−2=0，
解得x=−7，y=2，
当x=−7，y=2时，原式=−×2+(−7)=−8．
【解析】(1)根据(a+b)(a−b)=a2−b2化简求解即可得到答案；
(2)先将中括号内的式子展开，然后化简，再根据多项式除以单项式计算即可，然后根据|x+7|+(y−2)2=0，可以得到x、y的值，再代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图：EF即为所求；
(2)51°．
【解析】(1)见答案；
(2)因为∠COP+∠BOD=258°，
又因为∠COP=∠BOD，
所以∠COP=∠BOD=129°，
所以∠AOD=180°−∠BOD=51°，
因为EF//CD，
所以∠APF=∠AOD=51°，
故答案为：51°．
(1)根据平行线的性质作图；
(2)根据对顶角的性质及平行线的性质求解．
本题考查了复杂作图，掌握对顶角及平行线的性质是解题的关键．
19.【答案】同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行
【解析】证明：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠AOE=90°(垂直的定义)．
又∵∠1=∠B(已知)，
∴CE//BF(同位角相等，两直线平行)，
∴∠AFB=∠AOE(两直线平行，同位角相等)，
∴∠AFB=90°(等量代换)．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2=180°(平角的定义)，
∴∠AFC+∠2=90°．
又∵∠A+∠2=90°(已知)，
∴∠A=∠AFC(同角的余角相等)，
∴AB/​/CD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的判定与性质求证即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】4 y=16−45x(0【解析】解：(1)由题意可知，燃烧时间为15分钟时，剩余长度为8−4=4(cm)；
故答案为：4；
(2)由表格数据可知，香燃烧过程中剩余长度y(cm)随燃烧时间x(分)的增加而减少；
(3)由题意可知，香每燃烧5分钟，剩余长度减少4cm，
所以香的剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)之间的关系式为y=16−45x(0故答案为：y=16−45x(0(1)由表格数据可知，香每燃烧5分钟，剩余长度减少4cm，据此可得答案；
(2)由表格数据解答即可；
(3)根据香每燃烧5分钟，剩余长度减少4cm，可得剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分)之间的关系式．
本题考查函数的表示方法，根据表格中数据的变化规律求出函数关系式是解决问题的关键．
21.【答案】解：点C是AB延长线上一点，如图：

∵AB//MN，
∴∠2+∠CBD=180°，
∵∠2=100°，
∴∠CBD=80°，
∵∠DBE=130°，
∴∠CBE=∠DBE−∠CBD=50°，
∵AB//PQ，
∴∠1=∠CBE=50°．
【解析】点C是AB延长线上一点，先由两直线平行，同旁内角互补求出∠CBD=80°，则∠CBE=50°，再由两直线平行，内错角相等即可得到∠1=∠CBE=50°．
本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】a2+b2 (a+b)2−2ab a2+b2=(a+b)2−2ab
【解析】解：(1)方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法2，从边长为(a+b)的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2；(a+b)2−2ab；
(2)在(1)两种方法表示面积相等可得，a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为：a2+b2=(a+b)2−2ab；
(3)①∵12xy=3，
∴xy=6，
又∵x+y=6，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=62−2×6=36−12=24；
②设a=2021−x，b=x−2024，则a2+b2=49，a+b=−3，
∴原式=−20，
答：(2021−x)(x−2024)的值为−20．
(1)方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
(2)由(1)中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；
(3)①由(2)的结论，代入计算即可；
②设a=2021−x，b=x−2024，则a2+b2=49，a+b=−3，求ab即可．
本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键．
23.【答案】解：(1)如图①中，

∵∠ACB=30°，
∴∠ACN=180°−∠ACB=150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN=12∠ACN=75°，
∵PQ/​/MN，
∴∠QEC+∠ECN=180°，
∴∠QEC=180°−75°=105°，
∴∠DEQ=∠QEC−∠CED=105°−45°=60°；
(2)①如图②中，

∵BG//CD，
∴∠GBC=∠DCN，
∵∠DCN=∠ECN−∠ECD=75°−45°=30°，
∴∠GBC=30°，
∴4t=30，
∴t=7.5s，
∴在旋转过程中，若边BG/​/CD，t的值为7.5s；
②如图③中，当BG/​/HK时，延长KH交MN于R，

∵BG/​/KR，
∴∠GBN=∠KRN，
∵∠QEK=60°+3t，∠K=∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN=90°−(60°+3t)=30°−3t，
∴4t=30°−3t，
∴t=4.5s；
如图③−1中，当BG/​/HK时，延长HK交MN于R，

∵BG/​/KR，
∴∠GBN+∠KRM=180°，
∵∠QEK=60°+3t，∠EKR=∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM=120°−(180°−60°−3t)=3t，
∴4t+3t=180°，
∴t=1807s.
综上所述，满足条件的t的值为4.5s或1807s.
【解析】(1)利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
(2)①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当BG/​/HK时，延长KH交MN于R.根据∠GBN=∠KRN构建方程即可解决问题．如图③−1中，当BG/​/HK时，延长HK交MN于R.根据∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．温度T(℃)
100
150
200
250
300
导热率K(W/m⋅K)
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
燃烧时间x/分
0
5
10
15
20
剩余长度y/cm
16
12
8
______
0