2024年广西桂林市九年级中考二模数学试题（学生版+教师版 ）

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注意事项：
1.试卷分为试题卷和答题卡两部分．请在答题卡上作答，在本试题卷上作答无效．
2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 不等式x＞2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解：x>2在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故选：C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等．
3. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一．下列新能源车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
4. 有一组数据：2，8，6，5，7，这组数据的中位数为（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2、5、6、7、8，处在最中间的数是6，
∴中位数为6，
故选：C．
5. 计算：的结果为（ ）
A. B. 1C. xD.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键．
先根据同分母分式加法运算法则计算，然后再约分即可．
【详解】解：．
故选：C．
6. 已知一次函数的图象经过点，则a的值为（ ）
A. 8B. C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式成为解题的关键．
将点代入求解即可．
【详解】解：将点代入可得：．
故选D．
7. 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，2个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形内角的计算，熟练掌握多边形的内角和计算公式及正多边形关于内角的性质是解题的关键．先求出正六边形的内角和，再根据正六边形的每个内角都相等求解即可．
【详解】解：∵正六边形的内角和为：
，
∴每一内角的度数为：．
故选：D．
8. 是一个美妙的黄金分割数，它被大量用于美术、建筑等领域，估算的值介于（ ）
A. 和0之间B. 0和0.5之间
C. 0.5和1之间D. 1和1.5之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的大小的估算，估算出的值是解题的关键．
先估算出的值，再估算出的值在1和2之间,然后估算的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
9. 《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪.现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根木，木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键是弄清题意、找准等量关系、列对方程组是解题的关键．
根据等量关系“”和“”列出方程组即可．
【详解】解：设绳子长x尺，木长y尺，
根据题意可得：．
故选：A．
10. 如图，是的直径，与相切于点B，线段交于点D，连接．若，则等于（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆周角等于对应圆心角的一半成为解题的关键．
根据圆的切线的性质可得，进而得到，然后根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选B．
11. 把因式分解得，则m的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘多项式，先求出，然后求出结果即可．
【详解】解：∵
，
又∵把因式分解得，
∴，
故选：B．
12. 如图所示，已知函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，
首先根据题意画出图象，然后求出，代入求出；然后得到当一次函数的图象与相切时，得到的，进而求出，然后根据图象求解即可．
【详解】解：如图所示，
当时，函数，
∴，
当一次函数的图象经过点A时，
∴，解得；
当一次函数的图象与相切时，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴由图象可得，当时，函数的图象与一次函数的图象有三个交点．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13. 25的算术平方根是 _______ .
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
【详解】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键．
14. 2024年5月3日下午17时27分，嫦娥六号在我国文昌航天发射场成功发射，这次任务的目标是实现人类首次在月球背面的采样，填补了人类对月球背面探索的历史空白．检查航天器零部件的质量情况，适合采用______调查．（填“全面”或“抽样”）
【答案】全面
【解析】
【分析】本题考查主要全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据全面调查与抽样调查的意义进行解答即可．
【详解】解：∵航天器零部件精确度要求高，
∴适合采用全面调查．
故答案为：全面．
15. 若，则______．（填“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变是解本题的关键．
利用不等式的基本性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 一元二次方程的一次项系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，b，c，据此即可解答．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数为．
故答案为：．
17. 如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键．
由题意可得，进而解答，然后求出即可．
【详解】解：由题意可知：
∵，
∴，即，解得：，
∴木杆折断之前高度为．
故答案为．
18. 如图，已知正方形的边长为6，，将正方形绕着点C顺时针旋转，使点D落在坡度为的坡面上，则在旋转过程中，点A的路径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坡度的应用、解直角三角形、正方形的性质、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
设，则，运用勾股定理可求得，即，运用正弦函数可得，然后根据正方形的性质可得,,进而求得，最后根据弧长公式即可解答．
【详解】解：根据题意画出如图：
使点D落在坡度为的坡面上，设，则，
由勾股定理可得：,即，
解得：，则,
∴，即，
由正方形的性质可得：,,
∴，
∴点A的路径长为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
19. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】先算乘方，零指数幂，负指数幂，再算加减法．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握乘方，零指数幂，负指数幂的运算法则．
20. 解一元二次方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．直接运用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
所以．
21. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，F在延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，点E为的中点，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）先由平行四边形的性质推出，进而利用证明即可；
（2）由平行四边形的性质得到，则由线段中点的定义和全等三角形的性质得到，据此可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 如图，抛物线经过，两点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）尺规作图：在该抛物线上作一点P，使得，且点P在x轴下方．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法、垂直平分线等知识点，掌握垂直平分线的性质和作法成为解题的关键．
（1）直接将，代入可求得b、c的值即可解答；
（2）连接,然后作线段的垂直平分线与抛物线的交点即为所求．
小问1详解】
解：将，代入可得:
，解得：，
所以抛物线的函数解析式为．
【小问2详解】
解：如图：点P即为所求．
23. 垃圾科学分类，文明你我同行．某校为了解学生对环保知识的掌握情况，随机抽取了一个班的学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（A类表示不了解，B类表示了解很少，C类表示基本了解，D类表示非常了解）．根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请根据图中提供的信息，解答下列问题
（1）该班的学生共有______名；
（2）请补全条形统计图；
（3）在D类10人中，有5名学生（其中2名男生，3名女生）比较擅长主持，现从这5人随机抽取2人作为班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的主持人，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合条件的结果数目，然后利用概率公式计算该事件发生的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
（1）根据C类所占百分比和C类人数可得该班学生的人数；
（2）用该班学生数减去A、C、D人数求出B类人数即可补全条形图；
（3）通过画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
该班的学生共有：（名），
故答案为：．
【小问2详解】
B类人数有：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
设2名男生分别用，表示，3名女生分别用，，，画树状图如下：
从这5人中随机抽取2人共有20种等可能结果，所选2人恰好1名男生和1名女生有12种结果，
∴所选2人恰好1名男生和1名女生的概率为：，
答：所选1名男生和1名女生的概率为．
24. 2024年是中国农历甲辰龙年．春节前，某商场进货员计划进货“吉祥龙”和“如意龙”两种公仔吉祥物，发现用6000元购进的“吉祥龙”的数量是用2500元购进的“如意龙”的数量的2倍，且每个“吉祥龙”的进价比“如意龙”贵了5元．
（1）一个“吉祥龙”、一个“如意龙”的进价分别是多少元？
（2）为满足消费者的需求，该商场购进“吉祥龙”和“如意龙”两种公仔吉祥物共200个，“吉祥龙”售价定为50元，“如意龙”售价定为40元，若全部售出的总利润不低于3400元，则至少要购进多少个“吉祥龙”？
【答案】（1）每件“如意兔”的进价是25元，每件“吉祥龙”的进价是30元；
（2）最少购进80个“吉祥龙”．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式成为解题的关键．
（1）设每件“如意龙”的进价是x元，则每件“吉祥龙”的进价是元，利用等量关系“用6000元购进的“吉祥龙”的数量是用2500元购进的“如意龙”的数量的2倍”列分式方程求解即可；
（2）设至少购进个“吉祥龙”x个，则购进个“如意龙”的个数为个，然后根据题意列一元一次不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设每件“如意龙”的进价是x元，则每件“吉祥龙”的进价是元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
则元．
答：每件“如意兔”的进价是25元，每件“吉祥龙”的进价是30元．
【小问2详解】
解：设至少购进个“吉祥龙”x个，则购进个“如意龙”的个数为个，
根据题意得：，解得：，
所以x的最小值为80．
答：最少购进80个“吉祥龙”．
25. 实验与探究
【提出问题】在物理学科中、我们知道：光线从空气射入水等不同介质时、会发生折射现象（如图1），在同一介质中，折射角的大小随着入射角的改变而变化，入射角不变时，对应的折射角的大小也不变．
某学习兴趣小组设计了如图2所示的竖直实验容器装置、研究光线的折射过程中、折射光线的落点移动的距离l与介质的高度h和折射角有怎样的关系．
【实验操作】将实验容器装置水平放置在桌面，已知，，，E为的中点，将激光笔倾斜固定在A处．
（1）操作探究一：开启激光笔发射一束红光线，容器中不装溶液介质时，发现光斑恰好落在C处，如图2所示，此时学习兴趣小组在A处测得C处的俯角为45°，求的度数；
（2）操作探究二：当兴趣小组缓缓加入溶液介质上升至D处，光斑随之从C处级缓左移至F处．如图3，此时，作出法线与BC的交点H，测得折射角等于，求的长．
【类比迁移】更换不同溶液介质后，入射角不变，折射角发生改变．设折射角为，如图4，请直接写出折射光线的落点移动的距离l（即的长）与介质的高度h和折射角的数量关系．
【答案】【实验操作】（1）（2）；【类比迁移】
【解析】
【分析】（1）根据题意直接运用平行线的性质即可解答；
（2）由中点的定义可得，再运用据等腰直角三角形的判定与性质，再证明四边形是矩形、四边形是矩形，可得，，即，再解直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答；
类比迁移：方法同（2）可得，再证明四边形是矩形、四边形是矩形，可得，进而得到，再解直角三角形可得，最后根据线段和差即可解答．
【详解】解：实验操作：
（1）由题意可知：，，
∴．
（2）∵E为的中点，
∴，
由（1）可知：，则，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，同理：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
类比迁移：
由（2）可得、，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，同理：四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于跨学科综合题，主要考查了解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
26. 已知为的外接圆，，点D为圆上任意一点（不与B、C重合），且A、D两点分别位于直径的两侧，过点D分别作于E，交延长线于点G．
（1）若经过圆心O，如图1所示，求证：与相切；
（2）在（1）的条件下，连接交于点F，如图1所示，若B为的中点，的半径为5，求的长；
（3）如图2所示，若点D为的中点，交于点H，连接，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是矩形，进而得到，然后根据切线的定义即可证明结论；
（2）根据垂径定理可得，再证可得，进而得到，再证可得，最后按等比例分配即可解答；
（3）设，则，先说明，由勾股定理可得，再说明，然后运用正弦的定义可得，则；再由矩形的性质可得，再运用线段的和差求得，最后代入计算即可．
【小问1详解】
证明：∵， ，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，即，
∵经过圆心O，
∴与相切．
【小问2详解】
解：∵经过圆心O，，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即，
∵B为的中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：设，则，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定、垂径定理、正弦的定义、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．