辽宁省沈阳第二中学2024届高三第四次模拟考试数学试卷（学生版+教师版 ）

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说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由对数运算和指数运算求解集合，，然后根据集合的运算，即可求解.
【详解】因为，所以，所以集合，
因为，所以，即，所以集合，
所以，
因为或，
所以或或，
所以.
故选：.
2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与都是红球
C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球D. 至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【解析】
【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，
则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB，
两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，
两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
3. 在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出为直线的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意设直线的方向向量为，则，
而，则，即为直线的法向量，
又O到直线的距离为，
故在上的投影向量为，

故选：C
4. 已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义及和角的余弦公式计算即得.
【详解】令坐标原点为，以射线为终边的角为，则以射线为终边的角为，
则，，
所以点的横坐标为.
故选：C
5. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】，则，
所以，
所以.
故选：C.
6. 双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲线.人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.进一步探究可以发现对勾函数，的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定的两条渐近线，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角（锐角）角平分线方程，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.
【详解】趋向于0时，趋向于0，趋向于正无穷时，趋向于0，
则的两条渐近线分别为，，
所以该函数对应的双曲线焦点在，夹角（锐角）的角平分线上，
设且，若，分别是，的倾斜角，
故，，故为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
由，即，
整理得，可得（负值舍去），
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线斜率为，
故.
故选：D
【点睛】关键点点睛：求出的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键.
7. 已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，并利用导数判断的单调性；把要解不等式变形为，根据的单调性即可解出不等式.
详解】设，则，
因为对任意，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又等价于，即，
因为在上单调递增，所以
解得，所以原不等式的解集是.
故选：D.
8. 经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A. B.
C. 的值不可能是D. 的值可能是
【答案】A
【解析】
【分析】先根据对称中心求解出的值，再根据求解出的值，由此可求的解析式；根据不等式恒成立，通过分离参数得到，借助不等式得到，由此求解出的范围并判断.
【详解】因为，所以，
又因为是的对称中心，所以，所以，故A正确；
所以，所以，所以，故B错误；
所以，
因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以，取等号时，
又，所以，取等号时，
所以，所以，故CD均错误；
故选：A
二 、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 已知，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，则（ ）
A. B. 该方程的实数根为1
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】将代入方程中，结合复数相等的充要条件，即可求解，进而结合选项即可逐一求解.
【详解】由是方程的根，得，
整理得，而，因此，解得，
对于A，，A错误；
对于BC，方程，变形，
显然此方程还有一个实根1，另一个虚根，B正确，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
10. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，C，E，F四点共面，则
B. 存在点，使得平面
C. 若，C，E，F四点共面，则四棱锥的体积为定值
D. 若，C，E，F四点共面，则四边形的面积不为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用面面平行的性质定理证明，，然后可得，取E不是棱的中点，可判断A；取E为棱的中点，可判断B；由的面积为定值，以及平面，平面，可判断C；取点E为中点，和点E与点重合两种情况求出四边形的面积可判断D.
【详解】在长方体中，若，C，E，F四点共面，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，同理，
对于A，由，C，E，F四点共面，得平行四边形，则，，
于是，若E不是棱的中点，则，A错误；
对于B，当E是棱的中点时，由上知，F为的中点，四边形是平行四边形，
则，而平面，平面，因此平面，B正确；
对于C，由长方体性质知，且平面，平面，
则平面，同理可得平面，即点E，F到平面的距离为定值，
又的面积为定值，因此三棱锥和三棱锥的体积都为定值，
所以四棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，当点E为中点时，四边形是菱形，，，
四边形的面积为，
当点与点重合时，F与D重合，四边形为矩形，
面积为，四边形的面积不为定值，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A.
B. 关于点对称
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】用特殊值法，假设，可判断选项A；对进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；对两边求导，可得，根据可判断的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；由特殊值关系得到，，化简，即可判断选项D.
【详解】假设，则，则，与都为偶函数，
则所设函数符合题意，此时，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，即，即，
因为，所以，所以，
则，故，
所以，所以，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，
由，得，则，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以 D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：
对称性有关结论：
若，则关于直线对称；
若，则关于直线对称；
若，则关于点中心对称；
若，则关于点中心对称；
周期性结论：
若，则函数的周期为.
三、填空题：本题共三小题，每小题 5分，共15分.
12. 若点在圆外，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离大于半径即可列不等式求解.
【详解】圆的标准方程为，
由于点在圆外
所以，解得，
故答案为：
13. 某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.
【详解】依题意，，，，
∴（分），
∴全班学生的平均成绩为分．
全班学生成绩的方差为
故答案为：
14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newtn，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值．一般地，过点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值．若，取作为r的初始近似值，则的正根的二次近似值为______．若，，设，，数列的前n项积为．若任意，恒成立，则整数的最小值为______．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】根据题意得到，代入数据计算得到答案，，，计算，，根据函数的单调性得到，计算得到答案.
【详解】，切线方程为，
故，
当时，，．
，，切线方程为，
则，，
故，
函数为增函数，，，故，
故，即，为整数，．
故答案为：；2
【点睛】本题考查了函数，数列和导数的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用零点存在定理确定范围是解题的关键.
四 、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小；
（2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围．
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，，
可得；
【小问2详解】
延长交于，延长交于，延长交于，，
根据题意可得，，因为，所以，
设，，在中，由正弦定理可得，
即，可得，
同理在中，可得，
所以
，
因为，所以,，
所以,，
所以,．
16. 如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，，由平面平面可证平面，由，可证平面，所以，在中可求，由勾股定理逆定理即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，分别求出直线与平面的方向向量和法向量，利用公式求解线面角的正弦值，即可求解余弦值.
【小问1详解】
连接，，，
由已知四边形为菱形，又
所以为等边三角形，又点是棱的中点，
所以，即，
因为平面平面，且交线为，
由，平面，得平面，
由平面，得，，
因，，且，平面，
所以平面，
由平面，得，
设，，有，
解得：，即，
所以，满足，即；
【小问2详解】
以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
，，，
所以，，，
设平面的法向量，
由，得，
令可得，
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
因为，所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
17. 某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响.
（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
【答案】（1）；
（2）12.
【解析】
【分析】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，根据，结合独立重复试验的概率公式可得；
（2）设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，先求，然后根据二项分布期望公式列不等式得，令，，利用导数求最值即可得解.
【小问1详解】
设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，
表示乙在一轮比赛中投进个球，
则，，
，；
，，
，.
则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为：
.
【小问2详解】
，.
设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
；
设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，则在恒成立，
故在上单调递增，
又的最大值为，
则的最大值为，的最小值为，
而
故理论上至少要进行12轮比赛.
18. 已知抛物线：，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P.
（1）证明：点P在定直线上；
（2）若面积为，求点P的坐标；
（3）若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义求出直线和方程，联立直线方程可得点的坐标，分析可得答案；
（2）根据题意，由三角形面积公式可得的值，由此计算可得答案；
（3）根据题意，求出直线的斜率，分析可得，同理，，由此可得直线的方程，与直线联立可得答案．
【小问1详解】
由，得，，设，，，
所以方程为：，整理得：.
同理可得，方程为：
联立方程方程解得，
因为点T在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交，
设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，
故，所以，
所以，，可知
所以点在定直线上.
【小问2详解】
在，的方程中，令，得，，
由（1）知，，，，
所以面积，
故，
化简可得，故或，
所以点P的坐标为或
【小问3详解】
若，则，重合，与题设矛盾.
抛物线焦点，由,得直线斜率，
直线斜率，所以，
可知，同理，所以是外接圆的直径.
若点T也在该圆上，则.
由得，故,
得直线的方程为：.
又点在定直线上，
联立两直线方程得
19. 记，若存在，满足：对任意，均有，则称为函数在上的最佳逼近直线.已知函数，.
（1）请写出在上的最佳逼近直线，并说明理由；
（2）求函数在上的最佳逼近直线.
【答案】（1），理由见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）结合的单调性求出最值，从而得到，再由所给定义及图象的特征得到，讨论，的大小，即可求出；
（2）设，令，结合（1）可得最佳逼近直线，从而得到的最佳逼近直线.
【小问1详解】
在上的最佳逼近直线为.
易知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
进而有（*），
由的图象特点可知，对任意，
均有
，
下面讨论，的大小：
①若，至少有一个大于等于，则，
②若，两个都小于，则，，
所以，进而，所以，
即；
由①②以及（*）式可知成立，
且当时等号成立.
进而在上的最佳逼近直线为；
【小问2详解】
易知点，在函数的图象上，
设，再令，则，
由（1）问可知在上的最佳逼近直线为，
所以，
，
进而在上的最佳逼近直线为.
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，第二问关键是设，从而与第一问联系上.