期末考试B卷压轴题模拟训练（二）-【B卷常考】2022-2023学年七年级数学下册压轴题攻略

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19．已知 ，则 的值是____．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行计算，然后将已知式子的值代入即可求解．
【详解】解：
∵
∴原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
20．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________．
【答案】
【分析】直接利用概率求法进而得出答案．
【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，
∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键．
3．如图1，在矩形中，对角线与相交于点，动点从点出发，在线段上匀速运动，到达点时停止.设点运动的路程为，线段的长为，若与的函数图象如图2所示，则矩形的面积是______.
【答案】48
【分析】根据点P的移动规律，当OP⊥BC时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的面积．
【详解】如图2所示，当OP⊥BC时，BP＝CP＝4，OP＝3，
所以AB＝2OP＝6，BC＝2BP＝8，
所以矩形ABCD的面积＝6×8＝48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出BP＝CP＝4，OP＝3．
4．如图，是边长为4的等边三角形，，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点．交于点，连接，则的周长是__________．
【答案】8
【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【详解】解：∵，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，∵，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，
∵
∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN=MF，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．
5．如图，，P为平面内一动点，且，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最小值为___________．
【答案】1
【分析】把△PBA绕点P逆时针旋转60°得△PMC，连接AC，由旋转的性质得出MC=3，AC=2，由三角形的三边关系得出1≤MA≤5，进而求出MA的最小值是1．
【详解】解：如图，
∵△PBM是等边三角形，
∴PM=PB，
∴把△PBA绕点P逆时针旋转60°得△PMC，点A落在点C处，连接AC，MC
∴MC=AB=3，PC=AP=2，∠APC=60°，
∴△APC是等边三角形，
∴AC=AP=2，
∵CM-AC≤MA≤CM+AC，
∴3-2≤MA≤3+2，即1≤MA≤5，
∴MA的最小值是1．
故答案为：1
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形的三边关系，正确把△PBA绕点P逆时针旋转60°得△PMC是解决问题的关键
二、解答题
6．对于任意四个有理数，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：例如：．
(1)若是一个完全平方公式，求常数的值：
(2)若，且，求的值：
(3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出；
（2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出；
（3）根据阴影部分的面积等于，，可以把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵是完全平方式
∴
∴
解得：
∴．
（2）∵
∴
去括号得：
合并同类项得：
∵
∴
∴
∴
解得：
∴．
（3）∵
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积为：
∵
∵，
∴阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查了新定义公式，完全平方式，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键．
7．某高速公路经过A、C、B三地，A、B两地相距千米，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别开往B、A两地．甲、乙两车到C地的距离，千米与行驶时间小时的关系如图所示．根据图象进行以下探究：
(1)直接写出相应距离：______千米；______千米；
(2)求甲车的速度，并求出图中的值．
(3)在行驶过程中，求甲、乙两车之间的距离千米与行驶时间小时的关系式．
【答案】(1)240，180
(2)甲车的速度是60千米小时，图中的值为
(3)
【分析】（1）利用图象与轴的交点的纵坐标可得出，的长；
（2）利用路程除以时间得甲车的速度，进而可求得的值；
（3）求出乙的速度和到达目的地的时间，再分三种情况由“路程速度时间”分类讨论即可．
【解析】（1）由题意结合图象可得：A地到C地距离为，B地到C地距离为，
故答案为：，．
（2）由图象知，甲车从A地到B地用时小时，甲车的速度是(千米小时，，答：甲车的速度是千米小时，图中的值为．
（3）甲的速度为，小时甲行驶了，此时在距C地处与乙车相遇，乙已经行驶了：，乙的速度为：；乙到达目的地所需时间为，相遇前，行驶过程中甲、乙两车之间的距离(千米)与行驶时间小时的关系式为：；相遇到乙车到达目的地前，行驶过程中甲、乙两车之间的距离(千米)与行驶时间小时的关系式为：；乙车到达目的地后，行驶过程中甲、乙两车之间的距离(千米)与行驶时间小时的关系式为：；综上所述，关系式为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意及图中各参数，根据已知得出甲的速度，进而得出小时乙行驶的距离．
26．如图，和都是等边三角形，连接，，与交于点，连接，与交于点．
(1)求证：；
(2)求的大小；
(3)若 ， ，求的长度．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】（1）根据推出≌即可解答；
（2）如图，过点作于，作于，先根据（1）中≌，可得，由三角形的面积公式可得高，由角平分线的逆定理可得平分，根据三角形内角和定理可得，所以，从而得结论；
（3）如图，作辅助线构建等边三角形和全等三角形，证明≌，得，根据角平分线的性质得，由同高三角形面积的关系可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：如图，和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：如图，过点作于，作于，

≌，
，，
，
，，
，，，
，，，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，过点作于，作于，则是等边三角形，

，，
，
，≌，，
平分，，，，
，
的面积的面积，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．