2022-2023学年四川省成都市七年级下册数学期末试题分类汇编：三角形全等压轴题、中档题

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一、B卷压轴题
1．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．

(1)如图1，若平分，，求的值；
(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，连接，
①求证：；
②，，求的值．
【答案】(1)3
(2)，理由见解析
(3)①证明见解析；②12
【分析】（1）如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到；
（2）如图，分别延长交于点E，由（1）可得，得，再证得到，由此可得结论；
（3）如图所示， 在上截取，证明，得到，，进一步证明，则；
②如图所示，过点C作于G，则都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性质得到则，据此求出，则，进一步求出则．
【详解】（1）解：如图，分别延长，交于点．

∵，
∴，
又∵，
∴．
在和中，

∴．
∴；
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，

∴．
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，延长，交于点．

由（1）可得，，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴．
在和中，

∴．
∴．
∵．
∴．
（3）解：①如图所示， 在上截取，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴；

②如图所示，过点C作于G，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在中，，过点A作于点D，E为边上一点，且，过点E作于点F．
(1)求证：；
(2)连接，若G为线段的中点，连接．
（i）试判断的形状，并说明理由；
（ii）连接，记的面积分别为，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）是等腰直角三角形，理由见解析；（ii）
【分析】（1）根据垂直的定义得到，再根据同角的余角相等证明，由此即可证明；
（2）（i）如图所示，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而证明，可证明，得到，再证明，即可证明是等腰直角三角形；
（ii）如图所示，延长交于H，过点B作于M，设，先得到，，证明，得到，则可得，；证明，得到，则；进一步证明是等腰直角三角形，得到，求出则．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：（i）是等腰直角三角形，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵G为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形；
（ii）如图所示，延长交于H，过点B作于M，
设，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．如图1，在中，于D，于E，与相交于点G，．

(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，平分，点为的延长线一点，为上一点，连接，若，，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)为等腰直角三角形；见解析
(3)8
【分析】（1）根据垂直的定义得出，，利用等量代换即可证明；
（2）根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）在上截取，连接，根据全等三角形的判定分别得出，，，再由其性质得出线段间的数量关系求解即可
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：在上截取，连接，

∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故线段的长为8．
【点睛】此题是关于三角形的一道综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，同角的余角相等等知识．熟练判定两个三角形全等是解决此题的关键．
4．已知等腰中，，点D在射线上，连接，在右侧作等腰，且

(1)如图1，若平分，延长、交于点F，求证：；
(2)如图2，点M为的中点，求证：点M在线段的垂直平分线上；
(3)如图3，射线与射线交于点G，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，进而求出，则可得，利用三角形外角的性质可得，即可证明；
（2）如图所示，在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，证明是等腰直角三角形，推出，证明，，进而证明，得到，则；证明，得到，进而推出，证明，得到，则；证明都是等腰直角三角形，得到，即可证明，则点M在线段的垂直平分线上；
（3）如图所示，延长到K使得，连接，设直线与交于M，证明，得到，由三角形内角和定理得到，再证明，得到，同理可得，则 ．
【详解】（1）证明：∵都是等腰直角三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵是等腰直角三角形，M是的中点，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点M在线段的垂直平分线上；

（3）解：如图所示，延长到K使得，连接，设直线与交于M，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴同理可得，
∴．

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．如图1，等边的边长为4，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在在侧作等边，连接．

(1)求证：；
(2)当点在直线上运动时，
①的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由；
②能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)①的周长存在最小值，此时的长为2；②或
【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，即可得证；
（2）①，得到，进而得到的周长，根据垂线段最短，得到时，最短，利用三线合一进行求解即可；②分点在的延长线上和在的延长线上，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）证明：∵等边，
∴，

∴
∵等边，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）知，
∴，
∴的周长，
由垂线段最短可知，当时，最短，
故的周长最小，
当时，在等边中，由三线合一可得：点为的中点，
∴此时的长为，
∴的周长存在最小值，此时的长为2；
②分以下情况讨论：
当点在的延长线上时，
由（1）知，，
∴只能，
∴
由题意知，
∴，
∴
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在的延长线上时，
∵，
∴只能，
∴
由题意知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，

综上所述：或．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
6．在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于直线的对称点为E，连接．

(1)如图1，点D在线段上，，求的度数；
(2)射线与射线的交于点F，过点D作交射线于点G，连接交于点H．
①如图2，点D在线段上，求证：；
②点D在线段延长线上，用等式表示线段和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)15°
(2)①见解析；②，理由见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质可得、，再运用等边三角形的性质可得、，进而得到、，由三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答；
（2）①先说明是等边三角形可得，再证，再根据轴对称的性质、等量代换等知识点证明结论；②由①可知，利用全等三角形的性质可得，再说明是等边三角形可得，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：点B关于直线AD的对称点为E，
，，
是等边三角形，
，．
∴
∵
，．
．
．
（2）解：①是等边三角形，
，．
∵，
，．
．
是等边三角形．
．
．
点B关于直线AD的对称点为E，
，设．
是等边三角形，
，．
，．
．
．
．
在中，．
，，．
点B关于直线AD的对称点为E，
，．
．
，
．
．
．
．
在和中，
．
②，理由如下：
由①可得．
．
在中，，．
，
．
∴是等边三角形．
．
．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键．
7．在中，，，点D是AC边上一点，交于点F，交直线于点E．

(1)如图1，当D为的中点时，证明：．
(2)如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则与有何数量关系，并说明理由．
(3)连接，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)2
【分析】（1）由题意可知，，，利用即可证明结论；
（2）先证明，再证明，即可得；
（3）过点作，可证，易得，由，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，则，
∵为的中点时，，
∴，则，
在与中，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过点作，则，

∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
8．（1）阅读理解：
如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．
某同学是这样思考的：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 中线的取值范围是 ．
（2）问题解决：
如图2，在中，点是边的中点，点在边上，点在边上，若．求证：．
（3）问题拓展：
如图3，在中，点是边的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，探索与的数量关系和位置关系，并说明理由．

【答案】（1）；（2）证明见解答过程；（3），理由见解答过程．
【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出．即可．
【详解】（1）解：延长至点E，使得，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
，
，
；
故答案为：；；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：
同（1）得：，
，，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，，理由如下：

延长至，使，连接，如图3所示：
由（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
9．在中，，D，E分别为平面内两点，连接，使且．

(1)如图1，
①与有怎样的数量关系，请说明理由；
②与有怎样的位置关系，请说明理由；
(2)如图2，若延长与相交于H，且过的中点N，的角平分线交于F，过点A作于M，已知，，．设，请用含x的代数式表示y．
【答案】(1)①，理由见解析；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①证明，即可得出结论；②延长交的延长线于点P，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，求出，即可得出结论；
（2）证明，得出，求出，根据是的角平分线，，得出垂直平分，，求出，根据， 得出即可得出结果．
【详解】（1）解：①，理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
②，理由如下：
延长交的延长线于点P，

由①知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，，

∵点N是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
整理得．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，证明三角形全等．
10．如图，向外作和等边，连接．

(1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点．
①试猜想、的关系，并说明理由；
②连接，问是否平分，为什么？
(2)如图2，当是直角三角形（）时，若，．
求证：．
【答案】(1)①，且，见解析；②是，见解析
(2)见解析
【分析】（1）①证明，从而得到即可；
②作于点，作于点，由①结论可得：，从而，从而推出，进而得出结果．
（2）向外作等边，连接，由（1）①的结论可得：，可证得点、点、点点共线，是线段的垂直平分线，进一步得出结论．
【详解】（1）解：①猜想：，理由：
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
②平分，
理由：作于点，作于点，

由①结论可得：，
．
，，
平分；
（2）证明：向外作等边，连接，

由（1）①的结论可得：，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
点、点、点点共线，是线段的垂直平分线，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，角平分线的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
11．【问题提出】
（1）如图1，在和，已知三点在一条直线上，，求的长度．

【再探究】
（2）如图2，与均为等边三角形，若点为边上的一点，以为一边作，另一边交于点，连接，试探究线段的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图3，在三角形中，，若，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）易证，即可得到，，从而求得；
（2）在上取一点，使，连接，可得为等边三角形，，根据，利用角的转化可得，又因为、、均为等边三角形，可得，可证，进而可得出是等边三角形，可知；
（3）过点作，使，可得为等腰直角三角形，过点作，设，则，在中，，可列出一元二次方程，解得，即可求出的面积．
【详解】解：（1）如图1，在和，，
，
，
在和中，
，
，，
；
（2），在上取一点，使，连接，

又，
为等边三角形，
，，
，
又，
，
又，
，
，
又、、均为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
又，
是等边三角形，
即；
（3）过点作，使，
，
，
为等腰直角三角形，
过点作，
设，
则，
在中，，
可得，
，
．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质和等边三角形的判定和性质是解题的关键．
二、A卷中档题
12．如图，在中，，．过点作，且取，连接交于点．

(1)求证：；
(2)作于点，连接．
①求证：；
②设，求与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）证，得到对应边．
（2）①用三角形全等证明高等，两个三角形同底等高，则面积相等．
②作,证，得到等腰直角，得到线段，从而得出．
【详解】（1）解：
在和中


（2）①作于．

在和中

②作交于．


∵在和中，


由等腰直角及可得
从而，由可得
，即
【点睛】本题考了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质．三角形全等判定灵活选用方法是解决本题关键．本题存在三角形全等8字模，面积相等中同底等高模型．
13．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
(1)求的度数；
(2)如图②，若将绕B点以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转．请直接写出旋转过程中有一边与平行时t的值．
【答案】(1)60°
(2)①6；②或
【分析】（1）如图，先求解，，由，可得，从而可得答案；
（2）①如图，由，可得，可得，再列方程求解即可；②如图，当时，延长交于R．证明，过作，则，可得，，再建立方程即可；如图中，当时，延长交于R．证明，，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图②中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边，t的值为6．
②如图③中，当时，延长交于R．
∵，
∴，
过作，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图③﹣1中，当时，延长交于R．
∵，
∴，
∵，同理：，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的t的值为或．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的含义，一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合，清晰的分类讨论都是解本题的关键．
14．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形的面积为10．
【分析】（1）证明，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立；
（3）证明，推出是线段的垂直平分线，利用四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．如图1，是一副直角三角板（，，），让两块三角板的直角顶点及直角边分别重合放置，斜边AB，CD交于点M．

(1)求的度数；
(2)若位置保持不变，将绕点O逆时针旋转．
①当旋转至图2所示位置时，恰好，求此时α的度数；
②在旋转过程中，是否存在CD与的一边平行？若存在，请求出α的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当或时，CD与的一边平行
【分析】（1）利用三角形的内角和及外角的性质即可求解；
（2）①由平行线的性质得，再结合互余即可求解；
②分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，则，
∴；
（2）①由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴；
②由（1）知，
当时，设与交于点，

∵，
∴，
∴，
即：，
当时，

∵，
∴，
即：，
当时，则点与点同在上方或下方，
∵，，
∴点与点不能在同一侧，相互矛盾，故此情况不存在，
综上，当或时，CD与的一边平行．
【点睛】本题考查三角的内角和定理及外角性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
16．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．

(1)若线段，求线段的长；
(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．
①是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①成立，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，由角平分线的定义得到，进一步证明，得到，则；
（2）①如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，同（1）可得，则，由，即可推出；
②如图所示，在上截取，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，从而证明，得到，由可证明．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴

（2）解：①成立，理由如下：
如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，即，
同（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴；

②，理由如下：
如图所示，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
(3)如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)15
【分析】（1）折叠得到，进而得到，推出，利用证明，即可；
（2）全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据，即可得出结论；
（3）设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，得到，进而得到，推出，再根据，得到，进而推出，得到，根据全等三角形的面积相等，三角形的中线平分面积，求出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵边沿过点B的直线l对折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，

设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例．本题的综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
18．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．

(1)求证：平分；
(2)连接交于点G，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7.5
【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明；
（2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明；
（3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出；
【详解】（1）证明： 是的角平分线，
.
，
.
.
为边上的高，
.
.
平分.
（2）过点F作于点M，于点N，
平分，且，，
.
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，

（3），
，，
，
为边上的高，
，
，
.
在和中，
.
，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
19．如图1，在等腰直角中，，点是线段上不与点，重合的动点，连接并延长至点，使，过点作，垂足为点．

(1)当点，位于点的异侧时，问线段，，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
(2)当点，位于点的同侧时，若，，请在备用图中画出图形，并求的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)作图见解析，线段的长为或
【分析】（1）如图，过点作于点，证明，可得，，再结合线段的和差关系可得结论；
（2）如图，过点作于，求解，同（1）可得，设，则，分两种情况讨论：①当点在点，之间时，点在点，之间，②当点在，之间时，点在，之间，再利用线段的和差关系建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点

∵在等腰中，，∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，过点作于

在等腰中，由三线合一得点是的中点
∵，
∴，
同（1）可得，
设，则，
①当点在点，之间时，点在点，之间，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在，之间时，点在，之间
∴，
∴，
∴，
∴
综合上述，线段的长为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的方法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
20．已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．

(1)求证：；
(2)求的度数．
(3)若，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明；
（2）由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，；
（3）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案．
【详解】（1）证明：三角形是等边三角形，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
；
（2）解：三角形是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
由（1）得，，
；
（3）解：，
理由如下：
由（1）得，，
，
由（2）得，，
，
，
，
，
如图，令交于点，
，
则
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键．