2022-2023学年四川省成都市七年级下册数学期末试题分类汇编：B卷整式乘除、变量之间的关系

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一、整式的乘除
1．完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题．
请尝试解决：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)21
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式将变形为，整体代入即可求解；
（2）由及已知条件得，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了完全平方公式及求代数式得值，熟练掌握完全平方公式是解题得关键．
2．已知连续四个整数的积与1的和可以写成一个整数的平方，如：请完成下列各题：
(1)填空：①；
②；
③．
(2)从（1）中能发现什么一般结论？若设连续四个整数中的最小的数为n，请用含n的等式写出你发现的一般结论，并说明理由；
(3)若（其中m＞0），请根据（2）中的一般结论，求m的值．
【答案】(1)①11；②19；③29
(2)，理由见解析
(3)341
【分析】（1）根据有理数的混合运算进行计算即可；
（2）猜想第个式子为：，再证明即可；
（3）根据（2）中结论进行求解即可．
【详解】（1）解：：①；
②；
③；
（2）解：等式的左边为：
故第个式子为：；
（3）若，
即时，
则原式
故．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子特点，探索出式子的一般规律是解题的关键．
3．【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量失系是________；
【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且，，求的值；
【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．

【答案】（1），；（2）；（3）48
【分析】（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系；
（2）利用（1）中关系，整体代入求值即可；
（3）根据两块全等的特制直角三角板可得，进而得到，设，根据已知条件、列方程求得y，进而求得影音部分的面积即可．
【详解】解：（1）图2中，阴影部分的边长为的正方形，因此面积为，
也可以从边长为的正方形面积减去图1的面积，即,则
故答案为：，；
（2）由（1）可得
∴，
∴，解得：；
（3）∵两块直角三角板全等，
∴，
∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴，
设，
∴，
∵，即
∴
∵，
∴，解得：，
∴,
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查的是完全平方公式及其变形的应用、全等三角形的性质等知识点，熟练地运用完全平方公式的几何变形是解答本题的关键．
4．已知，．
(1)求的值；
(2)将长方形和长方形如图所示放置，，，、的长分别为、的一半，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）运用完全平方公式进行化简即可；
（2）先表示图中阴影部分的面积，易知，，然后把，，，，代入化简即可．
【详解】（1）解：整理原式，
把，，代入中，
所以；
（2）解：因为，，、的长分别为、的一半，
所以，，
图中阴影部分的面积，
所以把，，，代入上式，
即，
由（1）知，，
所以，
所以图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了完全平方公式以及整体代入思想，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形．

(1)用含x，y的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A，B）的面积；
(2)若，，求卧室（含卧室A，B）比客厅大多少平方米．
【答案】(1)客厅面积为平方米，卧室的面积为平方米
(2)36
【分析】（1）结合图形直接列代数式表示出客厅和卧室面积即可；
（2）先根据整式加减运算法则化简，再利用完全平方公式变形，最后将相关数据代入计算即可．
【详解】（1）.解：结合图形可得：客厅面积为（平方米），卧室的面积为：（平方米），
客厅面积为平方米，卧室的面积为平方米．
（2）解：
.
把，代入，原式．
【点睛】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式对代数式进行变形是解答本题的关键．
6．材料一：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．
材料二：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下：
∵，∴，因此，该式有最小值1．
(1)已知多项式M是多项式N的“雅常式”，如果，，请求出M关于N的“雅常值”；
(2)多项式的最小值为，求出n的值；若（m为常数）是Q的“雅常式”，求P关于Q的“雅常值”．
【答案】(1)2
(2)，P关于Q的“雅常值”为3
【分析】（1）根据定义计算即可求解；
（2）由可知，进而求得，根据（m为常数）是Q的“雅常式”，可得中不含一次项，进而可得，即可求得．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
∴M关于N的“雅常值”为2；
（2）∵
∵，
∴多项式的最小值为，
又∵多项式的最小值为，
∴，
∴，
∵（m为常数）是Q的“雅常式”，
∴为常数，且这个常数为正数
即：中不含一次项，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，学生的理解能力以及知识的迁移能力，配方法的应用，整式的运算，理解A是B的“雅常式”的定义是解题的关键
7．我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

(1)图中所表示的数学等式为 ；
(2)利用（1）中得到结论，解决问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)
(2)①2；②-12
【分析】第1问运用等面积理解完成平方公式的几何意义，第2问变形出完全平方公式解题
【详解】（1）解：（1）由图形可得大正方形的面积为，还可以表示为
，
故答案为：
（2）解：①已知，则．

②，
故答案为：①2，②-12
【点睛】本题主要考查完全平方公式几何理解及应用，掌握等面积法及完全平方公式是解题的关键．
8．如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的小长方形卡片拼成．

(1)如图1，当图中最大长方形的宽为时，分别求、的值；
(2)如图2，若大正方形的面积为81，每张卡片的面积为14，求小正方形的边长；
(3)如图3，当两个阴影部分（均为长方形）面积差为定值时，求与的数量关系．
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】（1）根据图形得出；，然后解方程组即可；
（2）根据图形得出；根据，得出，即可求出结果；
（3）设最大长方形的长为，得出，根据，整理得出，得出当时，为定值，即可得出答案．
【详解】（1）解：由最大长方形的宽可得：
；
由最大长方形的长可得：
，从而．
．

（2）解：小正方形的边长为，大正方形的边长为，
比较图中正方形的面积可得：；
当时，．
．
（3）解：设最大长方形的长为，则．
∴
，
当时，为定值．
∴为定值时，．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式．
9．两个边长分别为和的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影)面积为．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形(如图2)，两个小正方形叠合部分(阴影)面积为．
(1)用含的代数式分别表示．
(2)若，求的值：
(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）S1=a2-b2，S2=2b2-ab．（2）18；（3）15
【分析】（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab，将a+b=9，ab=21代入进行计算即可；
（3）根据S3=a2+b2-b（a+b）-a2=（ a2+b2-ab）和S1+S2=a2+b2-ab=30，可求得图3中阴影部分的面积S3．
【详解】解：（1）由图可得，S1=a2-b2，S2= a2-a(a-b)-b(a-b)-b(a-b)=2b2-ab．
（2）∵a+b=9，ab=21
∴S1+S2=a2-b2+2b2-ab
=a2+b2-ab
=（a+b）2-3ab
=81-3×21
=18
∴S1+S2的值为18．
（3）由图可得：
S3=a2+b2-b（a+b）-a2
=（ a2+b2-ab）
∵S1+S2=a2+b2-ab=30
∴S3=×30=15
∴图3中阴影部分的面积S3为15．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
二、变量之间的关系
10．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

大熊猫被誉为“中国国宝”，属于国家一级保护动物．为了更好地保护大熊猫，四川栗子坪自然保护区工作人员给大熊猫淘淘佩戴GPS颈圈监测它的活动规律．观测点A，B，C依次分布在一条直线上，观测点B距离A处，观测点C距离A处．监测人员发现淘淘某段时间内一直在A，B，C三个观测点之间活动，从A处匀速走到处，停留后，继续匀速走到C处，停留后，从C处匀速返回A处．给出的图象反映了淘淘在这段时间内离观测点A的距离与离开观测点A的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
(2)填空：
①淘淘从观测点A到B的速度为______
②观测点B与C之间的距离为______；
③当淘淘离观测点A的距离为时，它离开观测点A的时间为______．
(3)当时，请直接写出关于的函数解析式______．
【答案】(1)75，150，300
(2)①7.5；②150；③26或49.6
(3)
【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；
（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式．
【详解】（1）解：由图象可得，在前20分钟的速度为：
故当离观测点A的距离为
在时，离观测点A的距离不变，都是；
在时，离观测点A的距离不变，都是；
所以，当时，离观测点A的距离为；
故填表为：
（2）①由（1）得观测点A到B的速度为；
②观测点B与C之间的距离为：；
③分两种情形：
当淘淘离开观测点A的距离为时，离开观测点A的时间为：
淘淘从观测点B到C的速度为：
，
，
∴；
当淘淘返回点A的距离为时，离开观测点A的时间为：
淘淘从观测点C返回的速度为：
∴时间为：
综上可得：它离开观测点A的时间为或；
故答案为：①；②；③或
（3）当时，设直线解析式为，
把代入得：，
解得，
∴；
当时，；
当时，设直线解析式为，
把代入得：

解得，
∴，
由上可得，当时，y关于x的函数解析式为．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．2023年3月31日上午，由四川省体育局、成都市人民政府主办的“2023四川省第一届绿道运动会龙舟赛”在成都市锦城湖2号湖区举行．若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题：
(1)求甲队划行的速度；
(2)当x为何值时，甲、乙两队划行的路程相等？
(3)当时，求甲、乙两队划行的路程相差100米时的x的值．
【答案】(1)200米/小时
(2)4
(3)3或5
【分析】（1）结合图象，利用速度=施工距离÷时间，列式求解即可；
（2）根据图中的信息利用待定系数法求出函数关系式，根据函数关系式即可求解；
（3）由题意可以知道两人相距100米有两种情况，分别写出相应的关系式即可解答．
【详解】（1）解：由图可知，甲队在的时间段内，速度为：（米/小时），
故甲队划行的速度为200米/小时；
（2）解：设甲队在的时段内y与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点，
∴，
解得，
∴甲队在的时段内y与x之间的函数关系式为：；
设乙队在的时段内y与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点，，
∴，解得：，
∴乙队在的时段内y与x之间的函数关系式为：；
由题意，得，
解得．
∴当时，甲、乙两队划行的路程相等．
（3）解：由题意可得，或，
解得，或，
故当时，甲、乙两队划行的路程相差100米时的x的值为3或5．
【点睛】本题考查一次函数的应用，求一次函数解析式等，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件即可．
12．如图1，，两地之间有一条笔直的公路，地位于，之间，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息1分钟，继续按原速从地返回至地后停止；乙匀速步行从地前往地．甲、乙两人各自距地的路程、（米）与时间（分）之间的函数关系如图2所示，请结合图象解答下列问题：

(1)________；________；________；
(2)求甲、乙两人第一次相遇的时间；
(3)在甲从地返回地的过程中，当为何值时，甲、乙两人之间的距离200米．
【答案】(1)4；9；17
(2)分
(3)或．
【分析】（1）根据图形即可分析出的值以及甲和乙的速度，利用时间路程速度即可求出和值．
（2）时间路程速度即可求出甲乙二人第一次相遇的时间．
（3）由于是追击问题，分情况讨论即可求出甲乙两人相距200米的时间．
【详解】（1）解：甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息1分钟，
．
甲的速度为：（米/分），
甲从时所花的时间为：（分），
．
由图可知，乙的速度为：（米/分），
乙从时所花的时间为：（分）
．
故答案为：4；9；17．
（2）解：由图可知，， ，
由（1）问可知，甲的速度为：（米/分），乙的速度为：（米/分），
甲、以两人第一次相遇的时间为：（分）．
故答案为：分．
（3）解： ①甲出发到达地，返回地时，且甲在乙后边，
甲在地休息1分钟，乙继续行驶，
此时乙继续行驶的距离为：（米），
乙在地左边，且乙离地距离为：（米），
欲保证甲乙两人相距200米，
设分钟，甲与乙相距200米，
，
（分），
（分）．
②当时，设，把，代入可得
，解得，
∴
当时，设，把，代入可得
，解得，
∴
当时，，解得
当时，，解得
综上所述，或．
答：当或时，甲乙两人之间的距离为200米．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了函数与图像关系以及行程问题，解题的关键在于观察图像，理解题意，掌握关键信息．
13．天府国际机场通航，负责机场货物装卸的某物流公司，现有甲、乙两条自动分拣流水线．已知甲运转1小时后，乙开始运转．如图所示，折线段、线段分别表示甲、乙两条流水线装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系．其中，甲停转了2小时进行技术改进，改进后甲继续运转且流水线装卸效率与乙流水线相同；乙在运转了36分钟时，两条流水线装卸货物的重量相等．
(1)当时，甲装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是 ；当时，乙装卸货物的重量y（吨）与时间（小时）之间的关系式是 ；
(2)求m和n的值；
(3)当时，甲、乙两条流水线装卸货物的重量相差35吨，求时间t的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或或
【分析】（1）先求出当时，甲的装卸货物的速度为42吨/小时，由此即可求出甲装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是；再根据题意求出乙装卸货物的速度，进而求出乙装卸货物的重量y（吨）与时间（小时）之间的关系式即可；
（2）根据题意可得段甲装卸货物的速度为70吨/小时，由此即可求出m的值，进而求出n的值；
（3）分乙未装卸货物和当乙开始装卸货物，且乙比甲少时，当乙开始装卸货物，且乙比甲多时，三种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，甲1小时共装卸货物42吨，
∴当时，甲的装卸货物的速度为42吨/小时，
∴当时，甲装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是；
∵乙在运转了36分钟时，两条流水线装卸货物的重量相等，
∴乙装卸货物的速度为吨/小时，
∴当时，乙装卸货物的重量y（吨）与时间t（小时）之间的关系式是，
故答案为：；；
（2）解：由（1）可知段甲装卸货物的速度为70吨/小时，
∴，
（3）解：当乙未开始装卸货物时，则，解得；
当乙开始装卸货物，且乙比甲少时，则，解得；
当乙开始装卸货物，且乙比甲多时，则，解得；
综上所述，t的值为或或．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象并求出对应的函数关系式是解题的关键．
14．学校组织学生从学校出发，乘坐大巴车匀速前往卧龙大熊猫基地进行研学活动．大巴车出发0.5小时后，学校运送物资的轿车沿相同路线匀速前往．如图是大巴车行驶路程（千米）和轿车行驶路程（千米）随行驶时间（小时）变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题：

(1)分别求出，与之间的关系式；
(2)问轿车追上大巴车时距离学校多远？
【答案】(1)（）；（）
(2)轿车追上大巴车时距离学校40千米
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）令，解方程求解即可．
【详解】（1）观察图象得：（）
（）；
（2）令，得，
解得
∴当时，（千米）
∴轿车追上大巴车时距离学校40千米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图象中横坐标与纵坐标代表的含义．
15．如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．

(1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________；
(2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间；
(3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象可知点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，即可求得答案；
（2）由题意可知，，利用时间路程速度即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可
【详解】（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，
∴，
故答案为：10；
（2）∵四边形是长方形，
∴，
∴，
则点由点运动到点的总时间为；
（3）由（2）可知，，
则，，
若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为，
点在上运动的时间为，点在上运动的时间为，
当时，此时点在上，点在上，

则，，，，
∴的面积为
当时，此时点在上，点在上，不符合题意，
当时，此时点在上，点在上，

则，，，，
∴的面积为
，
综上，．
【点睛】本题主要考查了动点问题的图象，在解题时要能根据图象求出，，，并表示出相应线段的长度是解决问题的关键．
16．小亮和爸爸同时从家出发沿相同路线步行去公园，出发一段时间后，爸爸因忘带物品需返回家中，于是跑步原路返回到家取物品，然后沿小明步行的路线跑步前行（取东西的时间忽略不计，小亮和爸爸的步行速度不变，爸爸跑步速度不变），一段时间后，爸爸追上小亮，再和小亮步行前往公园，小亮和爸爸离家的距离（米）与出发时间（分）的关系如图所示，请结合图像解答下列问题：

(1)爸爸跑步的速度为___________米/分；
(2)求的值；
(3)若爸爸追上小亮后，仍跑步前行，将早于小亮2分钟到达公园，求爸爸追上小亮时离公园还有多远．
【答案】(1)200
(2)
(3)米
【分析】（1）由爸爸离家的距离（米）与出发时间（分）的关系图，出发一段时间后，爸爸因忘带物品需返回家中，于是跑步原路返回到家取物品，对应了第二段线段，从而得到爸爸跑步的速度为米/分；
（2）根据题意，由小亮离家的距离（米）与出发时间（分）的关系图可知小亮的速度为米/分，由爸爸追上小亮，所行路程相等，列方程求解即可得到答案；
（3）设爸爸追上小亮后还需分钟到达公园，则小亮还需分钟到达公园，列出方程解得，从而得到爸爸追上小亮时离公园的距离为米．
【详解】（1）解：根据题意，出发一段时间后，爸爸因忘带物品需返回家中，于是跑步原路返回到家取物品，由爸爸离家的距离（米）与出发时间（分）的关系图，对应了第二段线段，
爸爸跑步的速度为米/分；
（2）解：根据题意，由小亮离家的距离（米）与出发时间（分）的关系图可知小亮的速度为米/分，
由爸爸追上小亮，所行路程相等，则，
解得；
（3）解：设爸爸追上小亮后还需分钟到达公园，则小亮还需分钟到达公园，则，
解得，
爸爸追上小亮时离公园的距离为米．
【点睛】本题考查利用图像获取信息解决问题，读懂题意，数形结合，从图中获取相应问题的求解信息列式求解是解决问题的关键．
17．某公交车每月的支出费用为4000元，票价为2元/人次，设每月有人次乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为元．
(1)写出下列表格中对应的值；
(2)根据（1）中表格的数据，直接写出与之间的关系式；直接回答，当达到多少时，该公交车才不会亏损？
(3)若该公交车每月的收入与支出的差额要达到8000元，求的值．
【答案】(1)，，0，1000，2000，3000
(2)，2000人或2000人以上
(3)
【分析】（1）计算收入和支出的差额即可解答；
（2）用含有x的式子表示y，计算y大于等于0时x的取值范围；
（3）当y=8000时，求出x的值即可．
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
x=2000时，y=2000×2-4000=0；
x=2500时，y=2500×2-4000=1000；
x=3000时，y=3000×2-4000=2000；
x=3500时，y=3500×2-4000=3000；
完成表格如下：
（2）解：与之间的关系式为：；
∵不能亏损，
∴，即，
∴，
当每月的乘客量达到2000人或2000人以上时，该公交车才不会亏损．
（3）解：当时，．解得：．
∴差额要达到8000元，则乘坐该公交车的人要达到6000人次．
【点睛】本题考查了一次函数的应用题，解题的时候需要利用公式“差额=收入－支出”计算y是解答本题的关键．
18．把一块含角的直角三角尺放在两条平行线之间．
(1)如图1，若三角形的角的顶点G放在上，且，求的度数；
(2)如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；
(3)如图3，若把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，理由见解析
【分析】（1）依据，可得，再根据，即可得出，进而得到∠；
（2）根据，可得，再根据，即可得到；
（3）依据，可知，再代入，即可求出．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
19．甲和乙两人同时开车从A地出发，沿一条笔直的公路匀速前往相距450千米的B地，已知甲的速度大于乙的速度，1小时后，甲发现有物品落在A地，于是立即按原速度返回A地取物品，返回途中与乙相遇，在第2小时时取到物品后立即提速20%继续前往B地（所有掉头时间和取物品的时间忽略不计），在第5小时时再次遇到乙，并超过乙．已知甲和乙之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的部分关系如图所示．根据图象解答下列问题．

(1)乙的速度为 千米/小时；
(2)甲提速后的速度为多少千米/小时；
(3)当甲到达B地时，乙离B地的距离为多少千米．
【答案】(1)60
(2)甲提速后的速度为100千米/小时
(3)当甲到达B地时，乙离B地的距离为60（千米）
【分析】（1）由图知，甲返回A地的时刻为2小时，乙距离A地为120千米，故速度为（千米/小时），
（2）设甲原来的速度为x千米/小时，建立方程，解得 ，进而求得提速后速度100千米/小时；
（3）由图知，甲取回物品后从A地驶往B地所需时间为（小时），故知甲至B地时乙行驶的时间为（小时），进而乙行驶路程（千米），求得乙离B地的距离为（千米）．
【详解】（1）解：∵甲出发1小时后，按原速度返回A地取物品，
∴当甲返回A地的时刻为2小时，
此时，甲和乙之间的距离为120千米，即乙出发2小时行驶了120千米，
∴乙的速度为（千米/小时），
故答案为：60；
（2）解：设甲原来的速度为x千米/小时，则甲提速后的速度为千米/小时，
∵在第5小时时，甲、乙再次相遇，
∴，
解得： ，
∴，
∴甲提速后的速度为100千米/小时；
（3）解：甲取回物品后从A地驶往B地所需时间为（小时），
∴当甲到达终点时，乙行驶的时间为（小时），
∴乙行驶的路程为（千米），
∴当甲到达B地时，乙离B地的距离为（千米）．
【点睛】本题考查函数图象中的行程问题，一元一次方程的应用，由函数图象分析出甲、乙的行程、时间信息是解题的关键．
20．成都和西安两地之间的铁路交通设有高铁列车和普快列车两种车次，某天一辆普快从西安出发匀速驶向成都，同时另一辆高铁从成都出发匀速驶向西安，两车与成都的距离（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如图所示．
（1）西安与成都的距离为______千米，普通快车到达成都所用时间为_______小时；
（2）求高铁从成都到西安的距离与之间的关系式；
（3）在成都、西安两地之间有一条隧道，高铁经过这条隧道时，两车相距74千米，求西安与这条隧道之间的距离．
【答案】（1）666; 5.55；（2）；（3）西安与这条隧道之间的距离266km或166km．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得S2与t之间的关系式；
（3）根据题意和分类讨论的数学方法可以解答本题．
【详解】（1）由表格中的数据可得，
西安与成都的距离为666千米，普通快车到达成都所用时间为：666÷（666-546）=5.55小时，
故答案为：666，5.55；
（2）设高铁从成都到西安的距离S2与t之间的关系式为：S2=kt，
300=1.2k，得k=250，
即高铁从成都到西安的距离S2与t之间的关系式为S2=250t；
（3）当普快在隧道和西安之间时，设此时为t1，
[300÷1.2+（666-546）]×t1=666-74，
解得，t1=1.6，
则西安与这条隧道之间的距离是（666-546）×1.6+74=266（千米）；
当普快在成都和隧道之间时，设此时为t2，
[300÷1.2+（666-546）]×t2=666+74，
解得，t2=2，
则西安与这条隧道之间的距离是（666-546）×2-74=166（千米）；
由上可得，西安与这条隧道之间的距离是266千米或166千米．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．离开观测点A的时间
8
10
23
30
36
离观测点A的距离
60
240
离开观测点A的时间
8
10
23
30
36
离观测点A的距离
60
75
150
240
300
（人）
1000
1500
2000
2500
3000
3500
…
（元）
…
（人）
1000
1500
2000
2500
3000
3500
…
（元）
0
1000
2000
3000
…
t
0
1
2
4
…
S1
666
546
426
186
…