八年级数学下学期期末检测卷01

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（重庆专用，含第二十一章一元二次方程）
（全卷共26题，满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1.5，2，3B．7，24，25
C．8，15，17D．9，12，15
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【详解】解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、82+152=17，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛．小明已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．加权平均数
【答案】A
【分析】某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，由于比赛取前6名参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，根据中位数的意义分析即可得到结果．
【详解】解：某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，由于比赛取前6名参加决赛，将这13名同学参加女子百米赛跑的成绩按照从小到大的顺序排列后，中位数及中位数前面的共有7名同学，从而只要知道自己的成绩及中位数即可知道自己能否进入决赛，
故选：A．
【点睛】本题考查利用统计数据做决策，熟练掌握中位数的意义，理解中位数的求法是解决问题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）．
A．(−3)2=−3B．3×5=15
C．22=4D．14÷7=2
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和运算法则对四个选项依次计算并判断即可．
【详解】解：A选项，−32=3≠−3，故A选项不符合题意；
B选项，3×5=3×5=15，故B选项符合题意；
C选项，22=2，故C选项不符合题意；
D选项，14÷7=2，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和运算法则，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．
4．下列命题中不正确的是（ ）．
A．直角三角形斜边中线等于斜边的一半B．矩形的对角线相等
C．矩形的对角线互相垂直D．矩形是轴对称图形
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质、矩形的性质逐项判定即可．
【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
C、矩形的对角线不互相垂直，原说法错误，符合题意；
D、矩形是轴对称图形，正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、矩形的性质等知识点，掌握相关性质定理是解答本题的关键．
5．一次函数y=kx+3的图像经过点P，且y的值随着x的增大而增大，则点P可以是（ ）
A．3,2B．2,−3C．−3,4D．−2,−1
【答案】D
【分析】根据一次函数图象的增减性判断k的取值范围，再把点的坐标代入一次函数解析式求得k的值，再判断是否在k的取值范围内即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+3的图像的y的值随着x的增大而增大，
∴k>0，
把3,2代入一次函数y=kx+3得：3k+3=2，即k=−13<0，故A错误；
把2,−3代入一次函数y=kx+3得：2k+3=−3，即k=−3<0，故B错误；
把−3,4代入一次函数y=kx+3得：−3k+3=4，即k=−13<0，故C错误；
把−2,−1代入一次函数y=kx+3得：−2k+3=−1，即k=2>0，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的特征是解题的关键．
6．估计24×12+3的运算结果应在（ ）
A．3到4之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间
【答案】B
【分析】求出式子的结果，再估算无理数的大小，即可得出答案．
【详解】解：24×12+3
=24×12+3
=12+3
=12+3
=33
=27，
∵5<27<6，
∴ 24×12+3的运算结果应在5到6之间，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小的应用，关键是求出式子的结果．
7．甲、乙两车从A城出发到B城，在整个行程过程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．下列表述不正确的是（ ）

A．A、B两城相距300kmB．甲先出发1小时，晩1小时到达
C．甲、乙都行驶150km时相遇D．乙车到达B城时，甲、乙相距50km
【答案】D
【分析】根据函数图象直接判断A，B选项，根据函数图象分别求得甲乙的函数解析式，进而判断C，D选项即可求解．
【详解】解：A．根据函数图象可知A、B两城相距300km，故该选项正确，符合题意；
B．根据函数图象可知甲先出发1小时，晩1小时到达，故该选项正确，符合题意；
设甲的函数解析式为y=kt+b，则5,0，10,300代入得，
5k+b=010k+b=300
解得：k=60b=−300
∴甲的函数解析式为y=60t−3005≤t≤10
设乙的函数解析式为y1=k1t+b，则6,0，9,300代入得，
6k+b=09k+b=300
解得：k=100b=−600
∴甲的函数解析式为y=100t−6006≤t≤9
当60t−300=100t−600
解得：t=152
将t=152代入y=60t−3005≤t≤10
解得：y=60×152−300=150
∴甲、乙都行驶150km时相遇，故C选项正确；
D．乙车到达B城时，t=9，将t=9代入y=60t−3005≤t≤10
解得：y=60×9−300=240
300−240=60
∴甲、乙相距60km，故D选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息，待定系数法求解析式是解题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，连接DE，若BC=6，BF=2，则DE的长为（ ）
A．5B．4C．453D．25
【答案】D
【分析】连接BE，根据正方形的性质得出AB=BC=6，∠EAF=45°，求出∠AEF=∠EAF，得出EF=AF=AB−BF=6−2=4，根据勾股定理求出BE=BF2+EF2=22+42=25，根据对称性求出DE=BE=25.
【详解】解：连接BE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=6，∠EAF=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AEF=90°−45°=45°，
∴∠AEF=∠EAF，
∴EF=AF=AB−BF=6−2=4，
∴BE=BF2+EF2=22+42=25，
∵正方形ABCD关于AC对称，
∴DE=BE=25，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是根据正方形的性质，勾股定理求出BE=25．
9．如图，一次函数y=kx+bk≠0与y=x+2的图象相交于点Mm,4，则关于x，y的二元一次方程组kx−y=−by−x=2的解是（ ）

A．x=1.8y=4B．x=2y=4C．x=2.4y=4D．x=3y=4
【答案】B
【分析】先利用直线y=x+2确定M点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．
【详解】解：把M(m,4)代入y=x+2，得m+2=4，
解得m=2，即P点坐标为(2,4)，
∴二元一次方程组kx−y=−by−x=2的解为x=2y=4．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，熟练应用数形结合思想是解题的关键．
10．根据绝对值的定义可知x=xx≥0−xx<0，下列结论正确的个数有（ ）
①化简|a|+|b|+|c|一共有8种不同的结果；
②x+3+2−x的最大值是5；
③若an=3n−19，Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an（n为正整数），则当Sn=1327时，n=35；
④若关于x的方程13x2−23x−83=x+b有2个不同的解，其中b为常数，则−43312
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】由a、b、c的结果分别有2种，则|a|+|b|+|c|的结果共有2×2×2=8种，可判断①；根据x的取值，化简运算x+3+2−x即可判断②；根据
【详解】解：∵ a、b、c的结果分别有2种，
∴ |a|+|b|+|c|的结果共有2×2×2=8种，
故①正确；
当x>2时，x+3+2−x=x+3+x−2=2x+1，
当0≤x≤2时，x+3+2−x=x+3+2−x=5，
当−3≤x<0时，x+3+2−x=3−x+2−x=5−2x，
当x<−3时，x+3+2−x=−x−3+2−x=−2x−1，
故②错误；
∵n是正整数，
∴an=3n−19=19−3n,1≤n≤63n−19,n≥7，
S6=16+13+10+7+4+1=51，
Sn=51+2+3n−19n−62，n≥7，
当n=35时，Sn=51+2+3×35−19×35−62=51+1276=1327，
故③正确；
13x2−23x−83=13x2−23x−83,x≤−2或x≥4−13x2+23x+83,−2当x≤−2或x≥4时，13x2−23x−83=x+b，
∴13x2−53x−83−b=0，
∵方程有2个不同的解，
Δ=b2−4ac=−532−4×13×−83−b>0，
解得：b>−5712，
当−2∴−13x2−13x+83−b=0，
∵方程有2个不同的解，
Δ=b2−4ac=−132−4×−13×83−b>0，
解得：b<3312，
故④错误；
综上，正确的有①③，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，绝对值的性质，一元二次方程的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）
11．方程2x2−4x=0的根为______________．
【答案】x1=0，x2=2
【分析】先把方程化为2xx−2=0，再化为两个一次方程即可．
【详解】解：由原方程，得
2xx−2=0，
则2x=0或x−2=0，
解得x1=0，x2=2．
故答案是：x1=0，x2=2．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键．
12．将函数y=2x−1的图象向右平移2个单位后，所得图象的函数表达式为________．
【答案】y=2x−5/y=−5+2x
【分析】根据直接利用一次函数平移规律“左加右减”的原则求解．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数y=2x−1的图象向右平移2个单位，所得图象的解析式为y=2(x−2)−1，即y=2x−5．
故答案是：y=2x−5．
【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
13．已知a，b，c是三角形的三边长，且满足a−122+b−5+c−13=0，则该三角形的形状是______．
【答案】直角三角形
【分析】根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：由题意得： a−12=0，b−5=0，c−13=0，
解得：a=12，b=5，c=13，
∵122+52=132，
∴三角形为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
14．计算(5+1)(5−1)的结果是______．
【答案】4
【分析】直接用平方差公式展开，再算减法即可．
【详解】解：(5+1)(5−1)
=(5)2−12
=5−1
=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是运用平方差公式计算．
15．在大课间活动中，体育老师对甲、乙两名同学每人进行10次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2=0.20,s乙2=0.16，则甲、乙两名同学中成绩更稳定的是________．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【分析】根据方差越小，成绩越稳定，进行作答即可．
【详解】解：∵s甲2=0.20,s乙2=0.16，
∴s甲2>s乙2，
∴甲、乙两名同学中成绩更稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点睛】本题考查利用方差判断稳定性．熟练掌握方差越小，成绩越稳定，是解题的关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，BC=4，AB=2，∠B=60°，E是AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线翻折得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是___________ ．(提示：DE与EB'均为定长线段．)
【答案】21−1/−1+21
【分析】如图，连接DE，过E作EG⊥DA的延长线于G，由翻折的性质可得EB'=BE=1，由题意知， B'D≥DE−EB'，由平行四边形的性质可得∠EAG=∠B=60°，则∠GEA=30°，AG=12AE=12，GE=AE2−AG2=32，GD=AG+AD=92，在Rt△DEG中，由勾股定理得DE=GE2+GD2=21，代入B'D≥DE−EB'，求解即可．
【详解】解：如图，连接DE，过E作EG⊥DA的延长线于G，
由翻折的性质可得EB'=BE=1，
由题意知，B'D>DE−EB'，
当E、B'、D三点共线时，B'D=DE−EB'，
∴B'D≥DE−EB'，
由平行四边形的性质可得∠EAG=∠B=60°，
∴∠GEA=30°，
∴AG=12AE=12，GE=AE2−AG2=32，GD=AG+AD=92，
在Rt△DEG中，由勾股定理得DE=GE2+GD2=21，
∴B'D≥21−1，
∴B'D的最小值是21−1，
故答案为：21−1．
【点睛】本题考查了翻折的性质，平行四边形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．若关于x的一元一次不等式组3x+6>2x+4x+1>a的解集为x＞2，且关于y的分式方程3−ay3−y−3y−3=1的解是整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 _______．
【答案】−2
【分析】由不等式组的解集可确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义确定整数a的值即可．
【详解】解：关于x的一元一次不等式组3x+6>2x+4①x+1>a②，
解不等式①得x>2，
解不等式②得x>a−1，
由于不等式组的解集为x>2，
所以a−1≤2，
解得a≤3，
∵关于y的分式方程3−ay3−y−3y−3=1的解为y=3a−1是整数，
∴a−1=±1,a−1=±3，
即a=2，a=0，a=4，a=−2，
由于y=3是增根，因此a−1≠1，即a≠2，
又a≤3，
∴a=0或a=−2，
∴所有满足条件的整数a的值之和是0−2=−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查一元一次不等式组，分式方程，理解一元一次不等式组、分式方程的解，掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是正确解答的前提．
18．一个两位自然数m，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数m'，那么称m'为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数m″，那么称m″为m的“后置充美数”．记Fm=m'−m″9，例如：m=12时，m'=312，m″=123，F12=312−1239=21．请计算F32=______；已知两个“完美数”m=10a+b6≤a≤9,0≤b≤9，n=10x+y1≤x≤9,0≤y≤9，若Fm是一个完全平方数，且2m+Fn−8y=140，则n的最大值为______．
【答案】 23 85
【分析】根据题目所给新定义即可计算F32；根据题意得出Fm=10b+a，Fn=10y+x，结合完全平方数的定义和6≤a≤9,0≤b≤9得出Fm=16,36,49，则2m=122,126,188，根据2m+Fn−8y=140得出2y+x=140−2m，根据1≤x≤9,0≤y≤9，以及n为两位数，即可得出x=18−2y或x=14−2y，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
F32=32'−32″9=532−3259=23，
∵m=10a+b，n=10x+y，
∴Fm=m'−m″9=100a+b+10a+b−100a+10b+a+b9=10b+a，
Fn=n'−n″9=100x+y+10x+y−100x+10y+x+y9=10y+x，
∵Fm是一个完全平方数，且Fm是一个两位数，
∴Fm=10b+a=16,25,36,49,64,81．
∵6≤a≤9,0≤b≤9，
∴Fm=10b+a=16,36,49．
∴m=10a+b=61,63,94，则2m=122,126,188，
∵2m+Fn−8y=140，
∴2m+10y+x−8y=140，整理得：2y+x=140−2m，
∵2y+x=140−2m>0，
∴2m=122,126，
∴2y+x=18或14，
∴x=18−2y或x=14−2y，
当x=18−2y时，n=10x+y=1018−2y+y=180−19y，
∵0≤y≤9，n为两位数，
∴当y=5时，n有最大值85；
当x=14−2y时，n=10x+y=1014−2y+y=140−19y，
∵0≤y≤9，n为两位数，
∴当y=3时，n有最大值83；
综上：n的最大值为85，
故答案为：23，85．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的有理数的混合运算，二元一次方程组的整数解，整式的加减运算，不等式的基本性质，理解新定义的含义是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）
19．解方程：
(1)2x−22=x2−4
(2)2x2−4x−1=0．
【答案】(1)x1=2，x2=6；
(2)x1=2+62，x2=2−62．
【分析】（1）先移项，再根据因式分解法解方程即可；
（2）直接根据公式法求解即可．
【详解】（1）解：2x−22=x2−4
移项得2x−22−x+2x−2=0，
因式分解得x−22x−2−x+2=0，即x−2x−6=0，
∴x1=2，x2=6；
（2）解：2x2−4x−1=0，
Δ=−42−4×2×(−1)=16+8=24，
∴x=4±264，
∴x1=2+62，x2=2−62．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
20．如图，已知E是平行四边形ABCD对角线AC上的点，连接DE，过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使∠CBF=∠ADE，连接BE、DF，证明四边形BFDE是平行四边形．
解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过△ADE与△CBF全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决，请根据解答思路完成下面的作图与填空：

(1)尺规作图：过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使∠CBF=∠ADE，连接BE、DF（保留作图痕迹，不写作法与证明）
(2)证明：∵在四边形ABCD是平行四边形，
∴AD= ① ，AD∥BC；
∴∠DAE= ②
在△ADE与△CBF中，
∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF
∴△ADE≌△CBF (ASA)，
∴ ③ =BF，∠AED=∠BFC，
∴______④___________
∴四边形DEBF是平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)①BC；②∠ACB；③DE；④DE∥BF
【分析】（1）作∠CBF=∠ADE ，其中BM交AC于F即可；
（2）由于△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质得到DE =BF，∠AED=∠BFC ,根据等角的补角相等可得∠AED=∠BFC，则DE∥BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．
【详解】（1）解：如图作∠CBF=∠ADE,其中BM交AC于F

（2）证明：∵在四边形ABCD是平行四边形，
∴AD= BC，AD∥BC；
∴∠DAE= ∠ACB
在△ADE与△CBF中，
∠ADE=∠CBFAD=BC∠DAE=∠BCF
∴△ADE≌△CBF (ASA)，
∴ DE =BF，∠AED=∠BFC，
∴DE∥BF
∴四边形DEBF是平行四边形
故答案为：①BC；②∠ACB；③DE；④DE∥BF
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21．某校组织了一次“创文创卫”安全知识充赛，现从七、八年级各随机抽取100名同学的竞赛得分（满分100分），分为5个组（x表示得分，x取整数）A组：x≥90；B组：80≤x<90；C组：70≤x<80；D组：60≤x<70；E组：0≤x<60，将得分进行统计，得到如下信息：
①100名七年级学生中B组得分从高到低排列，排在最后的10个得分是82，82，81，81，81，81，80，80，80，80；
②七、八年级得分的平均数、中位数、众数如下表：
③100名七年级学生得分条形统计图如下图：

④100名八年级学生得分扇形统计图如下图．

请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)根据以上信息填空：a= ，b= ，并补全条形统计图；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的安全知识掌握得更好？并说明理由；
(3)若该校有七年级学生800名，八年级学生1000名．若得分在90分及其以上为优秀，请估计该校七、八年级竞赛成绩为优秀的学生人数．
【答案】(1)10，81，条形统计图见解析
(2)该校七年级的安全知识掌握得更好，理由见解析
(3)该校七年级竞赛成绩为优秀的学生人数为112人，八年级竞赛成绩为优秀的学生人数为100人
【分析】（1）用1依次减去B组、C组、D组、E组所占的百分比，即可求出a，计算七年级中第50个人和第51个人得分的平均数，即可求出b；用100减去七年级A组、C组、D组、E组的人数，求出B组人数，即可补全条形统计图；
（2）分别比较七年级和八年级得分的平均数、中位数、众数，即可得出结论；
（3）分别用七年级和八年级的总人数乘以其得分在90分及其以上的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：∵a%=1−40%−25%−18%−7%=10%，
∴a=10，
七年级B组人数：100−14−28−13−6=39（人）
∵计算七年级中第50个人和第51个人分别对应B组第36个人和第37个人，
∴b=81+812=81，
故答案为：10，81；
条形统计图如图所示：

（2）解：该校七年级的安全知识掌握得更好，因为虽然七、八年级得分的平均数相同，但是七年级得分的中位数和众数都大于八年级，故该校七年级的安全知识掌握得更好．
（3）解：七年级：800×14100=112（人），
八年级：1000×10%=100（人），
答：该校七年级竞赛成绩为优秀的学生人数为112人，八年级竞赛成绩为优秀的学生人数为100人．
【点睛】本题主要考查了统计相关知识，解题的关键是熟练掌握统计相关知识，正确从题目和图形中获取需要数据．
22．如图，游艇在湖面上从点O向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60°方向上，航行2小时到达B处，此时测得灯塔A在北偏西30°方向上，A与B 的距离是6千米．
(1)求灯塔A到航线OB的最短距离（结果保留根号）；
(2)求游艇的速度．
【答案】(1)33千米
(2)6千米/时
【分析】（1）过A作AC⊥BC于C，根据垂线段最短得知AC的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，在Rt△ABC中利用含30度角的直角三角形性质求解即可；
（2）利用含30度角的直角三角形性质求得OB即可．
【详解】（1）解：过A作AC⊥BC于C，则AC的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，
根据题意，∠ABC=60°，AB=6千米，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，则BC=12AB=3，
AC=AB2−BC2=62−32=33（千米），
故灯塔A到航线OB的最短距离为33千米；
（2）解：由题意，∠AOC=30°，∴∠OAB=90°，
在Rt△ABO中，OB=2AB=2×6=12（千米），
∴12÷2=6（千米/时），
答：游艇的速度为6千米/时．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形性质的应用，理解题意，构造直角三角形求解是解答的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P，Q同时从B点出发，点P沿着B→C方向运动，点Q沿着B→A→D方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，若运动时间为x秒，将AQ的长度记为y1，△BPD的面积记为y2．
​
(1)直接写出y1，y2与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y1，y2的图象并写出y1的一条性质；
(3)若函数y=kx+2与y1有两个交点，求k的取值范围．
【答案】(1)y1=3−2x0≤x<1.52x−31.5≤x≤3.5，y2＝32x0≤x≤3.5
(2)见解析
(3)−43≤k≤47
【分析】（1）当0≤x<1.5时，点Q在AB上运动，则y1=AQ=AB−BQ=3−2x,当1.5≤x≤3.5时，点Q在AD上运动，同理可解；由y2=12×BP•CD，即可求解；
（2）通过取点、描点、连线、绘制图象即可求解；
（3）从图象看，当函数y=kx+2过点3.5，4和1.5，0时，两条直线恰好有2个交点，进而求解．
【详解】（1）当0≤x<1.5时，点Q在AB上运动，
则y1=AQ=AB−BQ=3−2x,
当1.5≤x≤3.5时，点Q在AD上运动，
同理可得：y1=2x-31.5即y1=3−2x(0≤x<1.5)2x−3(1.5≤x≤3.5)，
则y2=12×BP⋅CD=12×x×3=32x0≤x≤3.5；
（2）对于y1=3−2x(0≤x<1.5)2x−3(1.5≤x≤3.5)，
当x=0时，y1=3，当x=1.5时，y1=0，当x=3.5时，y1=4，
对于y2=32x0≤x≤3.5，
当x=0时，y2=0，当x=2时，y2=3，
通过对上述点描点、连线、绘制图象如下：
从图象看，当0≤x<1.5时，y1随x的增大而减小，当1.5≤x≤3.5，y1随x的增大而增大（答案不唯一）；
（3）从图象看，当函数y=kx+2过点3.5，4和1.5，0时，两条直线恰好有2个交点，
将3.5，4代入y=kx+2得：4=3.5k+2，则k=47，
将1.5，0代入y=kx+2得：0=1.5k+2，则k=−43，
∴k的取值范围为：−43≤k≤47．
【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到矩形性质，一次函数的基本性质，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．
24．随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
(1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架B型无人机的成本是300元．若生产A、B两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产B型无人机多少架？
【答案】(1)150%
(2)25架
【分析】（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据“2月份生产数量×1+x2=4月份生产数量”，列出方程求解即可；
（2）设B型m架，则A型100−m架，根据“预算投入生产的成本不高于22500元”列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，
∴2000(1+x)2=12500
∴x1=1.5=150%,x2=−3.50（不合题意，舍去）
∴该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%．
（2）解：设B型m架，则A型100−m架，
200100−m+300m≤22500
100m+20000≤22500，
∴m≤25
∴最多能生产B型无人机25架．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题中等量关系和不等关系，列出方程和不等式求解．
25．如图，直线l2:y=−43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l1与直线y=12x平行，且与x轴交于点A，与y轴交于点C．

(1)求点A、B的坐标，以及直线l1的函数解析式；
(2)若点M在射线AC上，当△ABM的面积为112时，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过A作直线l3垂直于x轴，若点P是直线l3上一点，在y轴上是否存在点Q，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A3,0；B0,4；直线l1的解析式为y=12x−32
(2)点N的坐标为−2,3或4,−5
(3)存在；符合条件的点Q坐标为0,9；0,−1；0,78
【分析】（1）把y=0和x=0分别代入y=−43x+4求出点A、B的坐标即可；利用待定系数法求出直线l1的解析式即可；
（2）先求出点M的坐标为1,−1，然后分两种情况讨论：当AM为以AB为边的平行四边形的另一条边时，当AM为以AB为边的平行四边形的对角线时，分别求出点N的坐标即可；
（3）分三种情况讨论：当AP=AB时，当AP=BP时，当BP=AB时，分别求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：把y=0代入y=−43x+4得：0=−43x+4，
解得：x=3，
∴点A的坐标为3,0，
把x=0代入y=−43x+4得：y=4，
∴点B的坐标为0,4，
∵直线l1与直线y=12x平行，
∴设直线l1的解析式为y=12x+b，
把A3,0代入得：12×3+b=0，
解得：b=−32，
∴直线l1的解析式为y=12x−32．
（2）解：把x=0代入y=12x−32得：y=−32，
∴C0,−32，
∴BC=4−−32=112，
∴S△ABC=12×112×3=334，
∵334>112，
∴点M在AC上，
设点Mm,12m−32m>0，
∴S△BCM=12×112m=114m，
∴S△ABM=S△ABC−S△BCM=334−114m=112，
解得：m=1，
∴点M的坐标为1,−1，
当AM为以AB为边的平行四边形的另一条边时，点A向左平移3个单位，向上平移4个单位到点B，则点M向左平移3个单位，向上平移4个单位到点N，
∴此时点N的坐标为：1−3,−1+4，即N−2,3；

当AM为以AB为边的平行四边形的对角线时，则AM与BN互相平分，设此时点NxN,yN，
∴xN+02=1+32，4+yN2=−12，
解得：xN=4，yN=−5，
∴此时点N的坐标为4,−5；

综上分析可知，点N的坐标为−2,3或4,−5．
（3）解：存在；
∵A3,0；B0,4，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=32+42=5；
当AP=AB时，如图所示：

点P在点A上方时，BQ1=AP1=5，
此时点Q10,9；
点P在点A下方时，BQ2=AP2=5，
此时点Q20,−1；
当AP=BP时，如图所示：

设点P3,p，则p2=4−p2+32，
解得：p=258，
∴AP=258，
∵BQ=AP=258，
∴OQ=4−258=78，
∴点Q的坐标为0,78；
当BP=AB时，不存在符合题意的点Q；
综上分析可知，符合条件的点Q有0,9；0,−1；0,78．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，两点间距离公式，中点距离公式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
26．在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，且FE⊥BC交AC于点F，连线AE、BF．
(1)如图1，若点E为BC中点，BF⊥AC，AC＝8，AD＝62，求AB的长；
(2)如图2，若AE，BF交于点G，且AB＝AE，点G为AE中点，求证：CF＝AF＋2FG；
(3)如图3，若BC＝2AB，∠ABC＝60°，点B为边BC上的一动点，连接AE．将△ABE沿AB翻折得？AB′E，连接B′E交AD于点G，连接BB′交AD于点F，当线段EG最小时，直接写出AFEC的值．
【答案】(1)210；
(2)见解析；
(3)66
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BF=CF，由等腰直角三角形的性质可得BE=EC=32，BF=FC=6，由勾股定理可求解；
（2）由“ASA”可证ΔAGN≅ΔEGF，可得GF=GN，AG=EF，可证四边形ANEF是平行四边形，可得AF=NE=BN，AC//NE，可得结论；
（3）由直角三角形的性质和折叠的性质分别求出AF，EC的长，即可求解．
（1）
解：∵点E为BC中点，FE⊥BC，
∴BF=CF，
∵BF⊥AC，BF=FC，BE=EC，AD=BC=62，
∴BE=EC=32，BF=FC=6，
∴AF=2，
∴AB=AF2+BF2=4+36=210；
（2）
证明：如图，过点A作AH⊥BE于H，交BF于N，连接NE，
∵AB=AE，AH⊥BE，
∴BH=HE，AH//EF，
∴AH是BE的中垂线，
∴BN=NE，
∴∠NBE=∠NEB，
∵EF//AH，
∴∠EAN=∠AEF，
∵点G是AE中点，
∴AG=GE，
又∵∠AGN=∠EGF，
∴ΔAGN≅ΔEGF(ASA)，
∴GF=GN，AG=EF，
∴四边形ANEF是平行四边形，
∴AF=NE=BN，AC//NE，
∴AF+2FG=BN+FN=BF，∠ACB=∠NEB，
∴∠ACB=∠NBE，
∴BF=FC，
∴CF=AF+2FG；
（3）
如图3，过点A作AH⊥BC于H，
∵点E在BC上，点G在AD上，
∴当EG⊥AD时，EG有最小值，
∵∠ABC=60°，AH⊥BC，
∴∠BAH=30°，
∴BH=12AB，AH=32AB，
∵将ΔABE沿AE翻折得△AB'E，
∴∠AEB=∠AEB'=45°，BF=B'F，AE⊥BB'，
∴EF=12BB'，∠HAE=∠AEH=45°，
∴AH=HE=32AB，AE=2AH=62AB，
∴BE=3+12AB，
∴BB'=6+22AB，EC=BC−BE=3−32AB，
∴EF=6+24AB，
∴AF=6−24AB，
∴ AFEC=66．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
七年级
81.3
b
83
八年级
81.3
78.5
82