河南省开封市五县联考2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

这是一份河南省开封市五县联考2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题用0，在中，，，为线段上的点，且等内容，欢迎下载使用。

命题人：刘兴堂 审核人：王琳 考试时长：120分钟 满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效
3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效、4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）
1.复数的实部为（ ）
A.1B.C.D.
2.在中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（ ）
A.B.2C.D.1
3.若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ）
A.BC.D.
4.端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还要给孩子们佩戴香囊.某商家销售的香囊有四种不同的形状，其中圆形的香囊有36个，方形的香囊有18个，桃形的香囊有27个，石榴形的香囊有9个.现该商家利用分层随机抽样的方法在这些香囊中抽出20个香囊摆放在展台上，则抽出的桃形香囊的个数为（ ）
A.2B.4C.6D.8
5.在棱长为的正方体中，直线到平面的距离为（ ）
A.B.C.D.
6.已知直线，分别在两个不同的平面，内.则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.三星堆古遗址作为“长江文明之源”被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现.如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球上，则球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
8.在中，，，为线段上的点，且.若，则（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分、在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，少选得部分分，错选或不选得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.）
9.在复数集内，下列命题是真命题的是（ ）
A.若复数，则B.若复数满足，则
C.若复数，满足，则D.若复数满足，则
10.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则点，，三点共线
C.若点是的重心，则
D.若且，则的面积是面积的
11.在长方体中，，，，动点在平面内且满足，，，则（ ）
A.无论，取何值，三棱锥的体积为定值30
B.当时，的最小值为
C.当时，直线与直线恒为异面直线
D.当时，平面
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）
12.已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为______.
13.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖.如图，已知棱长为2的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是，则牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是______.
14.如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则______.
四、解答题（本大题共5小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知平面直角坐标系中，向量，.
（1）若，且，求向量的坐标
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的，位于该市的某大学与市中心的距离，且.现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学，其中，，.
（1）求大学与站的距离；
（2）求铁路段的长.
17.（本小题满分15分）
如图，棱长为2的正方体，点，分别在棱，上，过点，，的截面将正方体分割成两部分，
（1）请画出经过点，，的平面与正方体表面的交线；（无需证明，保留作图痕迹）：
（2）若点，分别为，中点，求过点，，的截面将正方体分割的较小部分几何体的体积.
18.（本小题满分17分）
已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若的面积为，为内角的角平分线，交边于点，求线段长的最大值.
19.（本小题满分17分）
如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.
（1）求二面角的余弦值；
（2）求四棱锥外接球的体积
图（1）图（2）
2023-2024学年五县联考
高一数学第二次月考试卷解析
一、单项选择题
CBACBACB
二、多项选择题
9、 AD10、 ACD11、 BD
三、填空题
12.答案13. 答案14. 答案：
四、解答题
15.（本小题13分）
解析：（1）设，由题意得，因为，
所以，解得，
又，所以，解得，
所以向量的坐标为或；
（2），
当与共线时，，解得，
当与的夹角为锐角，则
解得，
所以若与的夹角为锐角时，的取值范围为
16解：（1）在中，，，
且，
由余弦定理，得.
所以，所以大学与站的距离为.
（2）因为，且为锐角，所以
在中，由正弦定理，得，
即，
解得.
由题意知为锐角，所以，
所以.
因为，所以，
所以.
又，所以.
在中，由正弦定理，得，
即，解得，
所以铁路段的长为.
17、（1）作直线分别交、的延长线于，，连接交于，连接交于点，连接、，如图五边形即为所求；
（2），则，则，
且，为的中点，则，
，，
同理，，，，
，在中，，，，，
所以正方体位于截面下方的几何体体积为
因此，较小部分几何体的体积为.
18、（1）由正弦定理，得，即，
故
（2）由（1）知，
因为的面积为，所以，
解得
又因为，
所以，
于是，
那么
所以（当且仅当时等号成立）
故的最大值为.
19、解析：（1）在等腰梯形中，作于，
则，，，
.连接，则，
，，，；
，，平面.
又面，
又，，面，，
又，就是二面角的平面角，
在中，，
所以二面角的余弦值为
（2）取的中点，连接，，易证四边形、均为平行四边形
所以，所以为等腰梯形的外心，
取的中点，连接，，，，，
平面.平面.
又易得，所以为四棱锥外接球的球心，
所以