河南省信阳市名校2024届高三下学期全真模拟考试数学试题

这是一份河南省信阳市名校2024届高三下学期全真模拟考试数学试题，共9页。试卷主要包含了已知命题，已知，，则在上的投影向量为，抛物线，若，则，设椭圆等内容，欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数满足，则（ ）
A.B.C.D.
2.若非空集合，，，满足：，，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知命题：，，则为（ ）
A.，B.，
C.，D.，
4.已知，，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
5.抛物线（）上的点到焦点的距离为（ ）
A.B.2C.D.1
6.若，则（ ）
A.1B.C.2D.
7.已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（ ）
A.2B.C.D.
8.若，则（ ）
A.180B.C.D.90
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）A.椭圆的离心率B.
C.面积的最大值为12D.的最小值为
10.已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则（ ）
A.B.C.D.
11.下列命题正确的是（ ）
A.数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6
B.已知随机变量，若，则
C.对于随机事件，若，，，则与相互独立
D.已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为______.
13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为______.
14.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角C；
（2）若，是的中点，，求边.
16.（本小题15分）
某手机APP公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款APP人数的满意度统计数据如下：
（1）求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款APP不满意人数；
（2）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款APP与性别的关系，得到下表：根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款APP与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
，
17.（本小题15分）
如图，在三棱柱中，点在棱上且，，，为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本小题17分）
设椭圆（）的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
19.（本小题17分）
已知函数，其中，.若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为点的一个“上位点”，现有函数图像上的点列，，…，，…，使得对任意正整数，点都是点的一个“上位点”.
（1）若，请判断原点是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点的坐标为，请分别求出点、的坐标；
（3）若的坐标为，记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数，使得无穷数列、、…、…严格减？若存在，求出实数的所有可能值；若不存在，请说明理由.
河南省2024年普通高考模拟测试
数学参考答案
一、选择题：
1.. D 2. B 3. C 4. D 5. A 6. B 7. B 8. A
二、选择题：
9. AC 10. AC 11. BC
11.【分析】根据百分位数定义判断A；由二项分布方差计算公式判断B；由条件概率公式和独立事件的定义判断C；由分层抽样样本方差的计算公式判断D.
【详解】对于A，由于，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为，故A错误；对于B，由于，则，故B正确；
对于C，若，根据条件概率公式则有，
变形可得，则与相互独立，故C正确；
对于D，分层抽样的平均数，
按分层抽样样本方差的计算公式，
，故D错误.
故选：BC
三、填空题
12. 3 13. 3 14.
14.
，检测的两件产品均为正品或均为次品，则
，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则
∴
15.（1）因为，由正弦定理得，
因为，代入上式得，
，
即，即.
因为，所以，所以，即，
又，所以.
（2）依题意，在中，，，，，
利用余弦定理的推论可得，，即，解得.
在中，，，故是等边三角形，故.
16（1）由表中的数据可知：，
∴，
∴所求得回归直线方程为
当时，
∴该小区10月份的对这款APP不满意人数预估为37人
（2）零假设为：是否使用这款APP与性别无关
由表中的数据可得.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否使用这款APP与性别有关，此推断的错误概率不大于0.01.
17（1）在三棱柱中，，，
则，，
由，，得，在中，，，，
由余弦定理，得，，
于是，由平面，平面，得，
而，，平面，因此平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知，，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，由，，得，
则，，，
于是，，
设为平面的一个法向量，
则，取，得，
显然为平面的一个法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
18.解：（1）由题意可得，即，，，
解得，，可得椭圆方程为；
（2），设的方程为，
代入椭圆方程，可得，
解得或，即有，
，令，可得，又，，
可得解得，解得，
可得的斜率为.
19.解：（1）已知，则，得分
故函数经过点的切线方程为，
其与函数图像无其他交点，所以原点不存在“上位点”
（2）设点的横坐标为，为正整数，
则函数图像在点处的切线方程为，
代入其“上位点”，得，
化简得，
进一步化简得（*），
又点的坐标为，
所以点的坐标为，点的坐标为.
（或者没有写出递推公式，直接求出的坐标给4分，的坐标给2分）
（3）将代入，解得，
由（*）得，.
即，所以，
.令，则严格减
因为，所以函数在区间上严格增.
当时，，于是当时，严格减，符合要求
当时，.
因为时，
所以当时，，
从而当时严格增，不存在正整数，
使得无穷数列，，…，严格减.
综上，.月份
1
2
3
4
5
不满意的人数
120
105
100
95
8
使用APP
不使用APP
女性
48
12
男生
22
18
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828