浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷

这是一份浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷，共11页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，若，则，设双曲线，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则等于（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A.B.C.3D.6
4.已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（ ）
A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件
C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件
5.在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为A.11B.13C.15D.17
6.若，则（ ）
A.B.
C.D.
7.如图，假定两点，以相同的初速度运动.点沿直线作匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（）.令与同时分别从，出发，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号来叙述，与的对应关系就是（），当点从线段靠近的三等分点移动到靠近的三等分点，经过的时间为（ ）
A.B.C.D.
8.设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为B.的图像关于对称
C.在上单调递减D.当时，
10.已知，，是一个随机试验中的三个事件，且，，下列说法正确的是（ ）
A.若与互斥，则与不相互独立
B.若与相互独立，则与不互斥
C.若，且，则与相互独立
D.若，则，，两两独立
11.已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则（ ）
A.当时，则的最小值为
B.过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
C.若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
D.当，时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为______.
13.已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为______.（写出一条即可）
14.已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在直角坐标平面内有线段，已知点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，……，点是线段（，）上靠近的三等分点，设点的横坐标为.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
16.（15分）
在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点.
（1）若异面直线与所成的角为45°，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
（2）若，，求直线与平面所成角的最大值.
17.（15分）
将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球.
（1）若每次取一个球，求：
（ⅰ）前两次均取到红球的概率；
（ⅱ）第2次取到红球的概率；
（2）若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：
（ⅰ）另一个也为红球的概率；
（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
19.（17分）
莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数.
（1）求，；
（2）已知，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值（用（）表示）.
2023学年第二学期北斗星盟高三适应性联考
高三年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. C 7. A 8. B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. CD 10. ABC 11. ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.280；13.或或；14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：（1）由题意 所以，
所以，又，所以
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）因为，，所以.
因为数列是公比为的等比数列.
所以时，.
由累加法可得时，
.
所以，当时，，
经检验，满足上式，所以.
16.解：（1）取的中点，连接，，
因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角，
①当时，在中，，，
由余弦定理可知，故，
，所以，又，
，，平面，
所以平面，.
②当，假设，则有平面，
因为平面，所以，，
这与相矛盾，故此时与不垂直.
综上所述，当时，；当时，与不垂直.
（2）由，可得，故，，
故可以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
故，，，，.
因为，设平面的法向量为，则有
设，则，又，所以有
令，则，故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
，
令，则
当时，；
当时，.
（当且仅当，时取“＝”）.又，所以.
综上所述，直线与平面所成角的最大值为60°.
17.记事件（）为第次取到红球，事件（）为第次取到白球.
（1）（ⅰ）前两次均取到红球即为事件，.
（ⅱ）
.
（2）（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，
即为事件，，
所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率.
（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为；
若换：换后取到红球的概率记为；
由于，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.
说明：本题亦可以用古典概型来解决，
18.解：（1）因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点，实轴长为2的双曲线，
由，，得，，所以的方程为.
（2）（ⅰ）设直线：（）
因为直线过定点，所以.
变形可得，即
所以
整理得（*）
设，则（*）式除以得
此时，是方程的两根，所以，
所以.
（ⅱ）设直线：，由，可得；
设直线：，同理可得；1
.
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
19.解：（1）因为，因为2的指数，所以；
又，易知，，，，，
所以；
（2）（ⅰ）（）的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，
因此的所有因数除1之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，
从个质数中任选（）个数的乘积一共有种结果，
所以
.
（ⅱ）方法一：
由（ⅰ）分析可知，因此的所有因数除1之外，只考虑，，…，中的若干个数的乘积构成的因数，所以
.
令，
则
（，），所以
.
所以，.
因为，所以
方法二：
.
由展开式原理可知，的展开式即为上式所求.
命题学校1：元济中学 命题学校2：天台中学 审题学校：玉环中学 做题学校：临平中学