2023-2024学年广西防城港市防城区八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西防城港市防城区八年级（下）月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式是二次根式的是( )
A. 5B. −2C. 2−πD. 33
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 14B. 5C. 0.2D. 32
3.下列各式计算正确的是( )
A. 2 3− 3=2B. 3+ 2= 5
C. 3×2 2=2 6D. 4 2+ 2=2 2
4.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
5.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为( )
A. 5
B. 25
C. 27
D. 5 2
6.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB=15米，BC=12米，则A，C两点间的距离为( )
A. 3米
B. 6米
C. 9米
D. 10米
7.有两根长度分别为9cm和12cm的小木棒，在下列长度的小木棒中选取一根，使之能与已有的两根搭成一个直角三角形，那么应该选取( )
A. 21cmB. 20cmC. 15cmD. 10cm
8.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，则点C到斜边AB的距离是( )
A. 7
B. 125
C. 5
D. 3 74
9.已知n是正整数， 20n是整数，则n的最小值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
10.若x= 2+1，则代数式x2−2x+1的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 3−2 2
11.如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是
( )
A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm
12.若a，b为实数，对应点在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+ a2的结果是( )
A. 2a+bB. −2a+bC. bD. −2a−b
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若二次根式 a−7有意义，则a的取值范围为______．
14.若 8与最简二次根式 a+1可以合并，则a= ______．
15.比较大小：2 3 ______3.(填“>”、“<”或“=”)
16.把命题“如果a>b，那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：______
17.按一定规律排列的单项式： 2x2，2x2， 6x2，2 2x2， 10x2，2 3x2，……，第n个单项式是______．
18.如图，已知BA=BC，BD=BE，点D在AC上，∠ABC=∠EBD=90°，AD=1，AE=3，那么BD的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算2 12+ 6+ 6× 3− 8．
20.(本小题6分)
计算：3−8+|2− 5|+(1− 3)0+4× 52．
21.(本小题10分)
先化简，再求值：(aa−1−1)÷a2+aa2−1，其中a= 2．
22.(本小题10分)
已知x= 3+1，y= 3−1，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+y2；
(2)1x−1y．
23.(本小题10分)
某小区计划在花坛内一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境.已知一种草皮售价为70元/m2，∠CBA=90°，则购买这种草皮需要多少钱？
24.(本小题10分)
风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上.“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了.某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得BD的长度为8米；(注：BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的王明身高1.6米；
(1)求风筝的垂直高度CE．
(2)若王明同学想让风筝沿CD方向下降9米到点M的位置，则他应该往回收线多少米？
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB的C′点．
(1)求DC′的长度；
(2)求△ABD的面积．
26.(本小题10分)
概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形.如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，则四边形ABCD是垂直四边形；
新意应用：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；
性质探究：如图1，垂直四边形ABCD被对角线AC，BD分成了四个直角三角形，猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 2中被开方数2>0，是二次根式，故本选项符合题意；
B. −2中被开方数−2<0，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C. 2−π中被开方数2−π<0，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D.33的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式的定义，能数据二次根式的定义(当a≥0时，形如 a的式子叫二次根式)是解此题的关键．
2.【答案】B
【解析】解： 14=12， 32=4 2， 0.2= 55，
所以 14， 32， 0.2都不是最简二次根式， 5为最简二次根式．
故选：B．
根据最简二次根式的条件对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．把二次根式化简为最简二次根式是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.2 3− 3= 3，所以A选项不符合题意；
B. 3与 2不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 3×2 2=2 2×3=2 6，所以C选项符合题意；
D.4 2+ 2=5 2，所以D选项不符合题意．
故选：C．
利用二次根式的减法运算对A选项进行判断；利用二次根式的加法运算对B、D选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对C选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：因为32+42=2552=25，所以32+42=52，所以能构成直角三角形的是C．
故选C．
根据勾股定理的逆定理得到答案．
本题考查了直角三角形的判定的运用．
5.【答案】B
【解析】解：由勾股定理可知：SA=9+16=25，
故选：B．
由勾股定理即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，∠ACB=90°，
∵AB=15米，BC=12米，
∴AC= AB2−BC2= 152−122=9(米)，
故选：C．
由勾股定理求出ABAC的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出AC的长是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵92+122=225，
又∵212=441，202=400，152=225，
∴92+122=152，
故A，B选项不符合题意，C选项符合题意，
∵92+102=181，122=144，
∴92+102≠122，
故D选项不符合题意，
故选：C．
根据勾股定理逆定理判断即可．
本题考查了勾股定理得逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，AB=4，
∴CB= AB2−AC2= 7，
△ABC的面积=12×AC×BC=12×AB×CD，即12×3× 7=12×4×CD，
解得，CD=3 74，
故选：D．
根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算．
本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
9.【答案】D
【解析】解： 20n= 4×5n=2 5n，
∵ 20n是整数，
∴n的最小值是5，
故选：D．
首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵x= 2+1，
∴x−1= 2，
∴(x−1)2=2，即x2−2x+1=2，
故选：A．
利用条件得到x−1= 2，两边平方得x2−2x=1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，本题需注意的知识点为：最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形．
两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．
【解答】
解：长和宽组成的长方形的对角线长为 62+32 =3 5cm．
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是 (3 5 )2+22=7cm．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：根据数轴可知：a〈0，b〉0，|a|>|b|，
∴|a+b|=−a−b, a2=−a，
∴|a+b|+ a2
=−a−b+|a|
=−a−b−a
=−2a−b．
故选：D．
根据数轴表示出a〈0，b〉0，|a|>|b|即可得解．
本题考查了有关二次根式的性质、绝对值的性质，有理数的减法的题目，熟练掌握二次根式的运算性质是关键．
13.【答案】a≥7
【解析】解：由题意得，a−7≥0，
解得a≥7．
故答案为：a≥7．
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14.【答案】1
【解析】解：∵ 8=2 2，而 8与最简二次根式 a+1可以合并，
∴ 8与最简二次根式 a+1是同类二次根式，
∴a+1=2，
解得a=1．
故答案为：1．
根据最简二次根式的定义，同类二次根式的定义进行计算即可．
本题考查同类二次根式，最简二次根式，理解同类二次根式，最简二次根式的定义是正确解答的关键．
15.【答案】>
【解析】解：∵2 3= 4×3= 12，3= 9，而 12> 9
∴2 3>3，
故答案为“>”．
将2 3和3化为二次根式，然后比较被开方数即可比较大小
题主要考查了比较两个实数的大小，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
16.【答案】如果ac>bc(c≠0)，那么a>b
【解析】解：命题“如果a>b，那么ac>bc(c≠0)”的逆命题为：如果ac>bc(c≠0)，那么a>b，
故答案为：如果ac>bc(c≠0)，那么a>b．
根据逆命题的概念解答即可．
本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
17.【答案】 2nx2
【解析】解：由： 2x2，2x2， 6x2，2 2x2， 10x2，2 3x2可知： 2x2， 4x2， 6x2， 8x2， 10x2， 12x2总结规律得第n个单项式是 2nx2．
故答案为： 2nx2．
由： 2x2，2x2， 6x2，2 2x2， 10x2，2 3x2可知： 2x2， 4x2， 6x2， 8x2， 10x2， 12x2总结规律即可．
本题主要考查了数字变化规律，观察已知式子，总结规律是解题的关键．
18.【答案】 5
【解析】解：连接DE，如图，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=90°，
∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△BAE和△CBD中，
BA=BC∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△BAE≌△CBD(SAS)，
∴AE=CD=3，∠BAE=∠C=45°，
∵∠EAD=∠BAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴DE= AD2+AE2= 12+32= 10，
∵BD=BE，∠DBE=90°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∴BD= 22DE= 22× 10= 5．
故答案为 5．
连接DE，如图，先证明△BAE≌△CBD得到AE=CD=3，∠BAE=∠C=45°，则可得到∠EAD=90°，利用勾股定理可计算出DE= 10，然后利用△DBE为等腰直角三角形得到BD的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，找到全等和等腰直角三角形是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2×2 3+ 6+ 18−2 2
=4 3+ 6+3 2−2 2
=4 3+ 6+ 2．
【解析】根据相关公式和法则计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】解：原式=−2+( 5−2)+1+2 5
=−2+ 5−2+1+2 5
=3 5−3．
【解析】先化简和计算绝对值，然后合并即可．
本题考查了开立方，零指数幂，去绝对值以及合并同类二次根式．解题的关键是混合运算中要熟练掌握运算法则．
21.【答案】解：原式=a−a+1a−1⋅(a+1)(a−1)a(a+1)
=1a−1⋅a−1a
=1a，
当a= 2时，原式=1 2= 22．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵x= 3+1,y= 3−1，
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=( 3+1+ 3−1)2=(2 3)2=12；
(2)1x−1y=y−xxy
=( 3−1)−( 3+1)( 3+1)( 3−1)
=−22
=−1．
【解析】(1)将所求式子因式分解得到x2+2xy+y2=(x+y)2，再将已知代入即可；
(2)化简所求式子得到1x−1y=y−xxy，再将已知代入．
本题考查二次根式的化简；将所求式子进行合理的变形，再将已知代入求解是解题的关键．
23.【答案】解：∵∠CBA=90°，
∴AC2=AB2+BC2，
∴AC= BC2+AB2= 9+16=5m，
∵AC2+DC2=52+122=169，
∴AC2+DC2=132=AD2，
∴△ADC是直角三角形，且∠ACD为直角．
S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AB⋅BC+12AC⋅DC=12×3×4+12×12×5=36 m2，
购买这草皮需要的钱为：36×70=2520元．
答：购买这种草坪需要2520元．
【解析】连接AC，根据勾股定理求得AC，再根据勾股定理的逆定理可得△BAC是直角三角形，则四边形的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ABC的面积，由草皮的售价为70元/m2，即可计算出购买这种草皮需要多少钱．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积的相关知识．解决此类题要懂得常用辅助线，由直角三角形的性质来求解．
24.【答案】解：(1)由题意，得BD⊥CE，BC=17米，BD=8米，
在Rt△BCD中，
由勾股定理，得CD= BC2−BD2= 172−82=15(米)，
由题意，知DE=AB=1.6米，
∴CE=CD+DE=15+1.6=16.6(米)，
答：风筝的垂直高度CE长为16.6米；
(2)由题意，得CM=9米，
∴DM=CD−CM=15−9=6(米)，
在Rt△BMD中，
由勾股定理，得BM= BD2+DM2= 82+62=10(米)，
∴他应该往回收线BC−BM=17−10=7(米)，
答：他应该往回收线7米．
【解析】(1)在Rt△BCD中，利用勾股定理求出CD，再利用CE=CD+DE即可求出风筝的垂直高度CE；
(2)在Rt△BMD中，利用勾股定理求出BM，再利用BC−BM的长即可求出他应该往回收线多少米．
本题考查勾股定理的应用，理解题意，灵活运用勾股定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)在Rt△ACB中，
AB= AC2+BC2
= 82+62
=10，
设DC′=x cm，
由折叠得：∠BC′D=∠C=90°，
BC′=BC=6cm，
∴DC=DC′=x cm，
∴∠AC′D=90°，
AC′=AB−BC′=10−6=4(cm)，
AD=AC−DC=8−x，
在Rt△AC′D中，
AC′2+DC′2=AD2，
即：42+x2=(8−x)2，
解得：x=3，
∴DC′=3，
故DC′的长度3cm；
(2)S△ABD=12AB⋅DC′
=12×10×3
=15(cm2)，
故△ABD的面积为15cm2．
【解析】(1)由勾股定理得AB= AC2+BC2=10，设DC′=x，由折叠的性质得DC=DC′=x，从而可得AC′=4，AD=8−x，再由勾股定理得AC′2+DC′2=AD2，即可求解；
(2)由三角形面积公式得S△ABD=12AB⋅DC′，即可求解．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的面积，掌握折叠的性质，将相关线段长转移到一个直角三角形中，用勾股定理求解是解题的关键．
26.【答案】解：新意应用：四边形ABCD是垂直四边形，
理由：连接AC、BD，

∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
即四边形ABCD是垂直四边形；
性质探究：AB2+CD2=AD2+BC2，
理由如下：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2．
【解析】新意应用：连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
本题为四边形综合题，考查的是新定义“垂直四边形”、垂直的定义、勾股定理的应用等知识，正确理解垂直四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．