天津市南开中学2023-2024学年高二下学期期中学情调查数学试卷（含答案）

这是一份天津市南开中学2023-2024学年高二下学期期中学情调查数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）一质点做直线运动，其位移s（t）（单位：m）与时间t（单位s）之间满足关系s（t）＝t3﹣2t2+3t﹣1，则该质点在第3s时的瞬时速度为（ ）
A．18m/sB．21m/sC．25m/sD．27 m/s
2．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．y＝f（x）在（﹣2，1）上单调递增
B．y＝f（x）在（1，3）上单调递减
C．当x＝4时，y＝f（x）取极大值
D．当x＝2时，y＝f（x）取极大值
3．（4分）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（ ）
A．120种B．240种C．480种D．600种
4．（4分）将一个边长为3cm的正方形铁片的四角截去四个边长均为xcm的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大为（ ）
A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．4cm3
5．（4分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则f（x）﹣x＞0的解集是（ ）
A．（﹣∞，ln2）B．（ln2，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）
6．（4分）若函数有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e]C．（0，1]D．（0，e]
7．（4分）形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ）
A．13B．16C．20D．25
8．（4分）已知函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+2a，其中，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9．（4分）已知函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣3，求f（1）+f′（1）＝ ．
10．（4分）若函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围为是 ．
11．（4分）从A，B等5名学生中随机选3名参加数学、物理、化学三项竞赛，被选中的同学每人仅参加三项竞赛中的一项，且每项竞赛均有人参加，则A和B至多有一名入选的方法有 种．（请用数字作答）
12．（4分）某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（图1），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答）
注：各位老师相邻情况如图2所示．
13．（4分）南开园中有很多地方沉淀着历史的印记，值得同学们在三年的时光里驻足留意．小南、小艾等6位即将毕业的同学在伯苓楼、范孙楼、瑞廷礼堂、翔宇楼4座标志性建筑中各选择一座拍照留念，若每座建筑至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一座建筑拍照，且小南、小艾不在同一座建筑拍照，则不同的拍照方式共有 种．（用数字作答）
14．（4分）已知方程有唯一实数解，则实数a的值为 ．
三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[﹣2，2]上的单调区间、最值．
（3）设g（x）＝f（x）﹣a在[﹣2，2]上有两个零点，求a的范围．
16．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求证：f（x）＜1；
（Ⅱ）若当x≥1时，f（x）≤a（x﹣1），求a的取值范围．
17．（16分）已知函数．
（1）讨论函数y＝g（x）的单调性；
（2）设函数f（x）＝g（x）﹣4x+2，若函数y＝f（x）的导函数有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），证明：．
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，每小题4分，共32分．
1．（4分）一质点做直线运动，其位移s（t）（单位：m）与时间t（单位s）之间满足关系s（t）＝t3﹣2t2+3t﹣1，则该质点在第3s时的瞬时速度为（ ）
A．18m/sB．21m/sC．25m/sD．27 m/s
【解答】解：由题意可得s′（t）＝3t2﹣4t+3，
令t＝3，则s′（3）＝3×32﹣4×3+3＝18．
故选：A．
2．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．y＝f（x）在（﹣2，1）上单调递增
B．y＝f（x）在（1，3）上单调递减
C．当x＝4时，y＝f（x）取极大值
D．当x＝2时，y＝f（x）取极大值
【解答】解：由导函数f'（x）的图象可得，
当x∈（﹣2，﹣1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（﹣1，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以A不正确；
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（2，3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以B错误；
当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（4，5）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
所以x＝4是函数f（x）的极小值点，f（4）为极小值，所以C不正确；
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以x＝2是函数f（x）的极大值点，即当x＝2时，y＝f（x）取极大值，所以D正确．
故选：D．
3．（4分）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（ ）
A．120种B．240种C．480种D．600种
【解答】解：将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，共有种排法，
其中A，B，C的顺序有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种，
A，B在C同侧的情况有ABC，BAC，CAB，CBA共4种，
即在A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行的排列中，A，B在C同侧的情况占比为，
则将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（种），
故选：C．
4．（4分）将一个边长为3cm的正方形铁片的四角截去四个边长均为xcm的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大为（ ）
A．1cm3B．2cm3C．3cm3D．4cm3
【解答】解：依题意方盒的底面边长为（3﹣2x）cm的正方形，高为xcm，
则，所以，
所以无盖方盒的容积为V（x）＝x（3﹣2x）2，，
所以V'（x）＝12x2﹣24x+9，
令V'（x）＝12x2﹣24x+9＞0，解得或；令V'（x）＝12x2﹣24x+9＜0，解得，
又函数V（x）的定义域为，
所以函数V（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即该方盒容积最大为2cm3．
故选：B．
5．（4分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）＜0，且f（2）＝2，则f（x）﹣x＞0的解集是（ ）
A．（﹣∞，ln2）B．（ln2，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）
【解答】解：令，则，
因为定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）＜0，
所以在（0，+∞）上恒成立，
所以函数在（0，+∞）上单调递减；
又f（2）＝2，所以，
由f（x）﹣x＞0，得，
所以g（x）＞1＝g（2），故0＜x＜2，
即不等式的解集是（0，2）．
故选：C．
6．（4分）若函数有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e]C．（0，1]D．（0，e]
【解答】解：函数，
当x＞1时，f（x）＝ex﹣a＞e﹣a；
当x≤1时，由f（x）＝﹣x3+3x2，得f′（x）＝﹣3x2+6x＝﹣3x（x﹣2），
所以x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，1）单调递增，
所以x≤1时函数f（x）有最小值为f（0）＝0；
要使函数f（x）有最小值，则e﹣a≥0，解得a≤e；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，e]．
故选：B．
7．（4分）形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ）
A．13B．16C．20D．25
【解答】解：依题意，由1，2，3，4，5构成的无重复数于的五位“波浪数”的十位，千位数字分别为5与4或5与3，
当十位，千位数字为5与4时，排十位，千位数有 种，排另三个数位有 种，共有 种；
当十位，千位数字为5与3时，则4与5必相邻，且4只能为最高位或个位，即4与5可视为一个整体，
1，2，3视为一个整体，且在与2的中间，因此不同排法有种，
所以构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为．
故选：B．
8．（4分）已知函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+2a，其中，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+2a，
令g（x）＝ex（2x﹣1），h（x）＝ax﹣2a＝a（x﹣2），
因为存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，
所以不等式ex（2x﹣1）＜a（x﹣2）存在唯一的整数解x0，
g'（x）＝ex（2x+1），
当时，g'（x）＜0，g（x）在上单调递减，
当时，g'（x）＞0，g（x）在上单调递增，
故当时，函数g（x）取得极小值也是最小值 ，
作出其大致图象如图：
h（x）＝ax﹣2a＝a（x﹣2）是斜率为a，且是过定点（2，0）的直线，
当a≤0时，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式ex（2x﹣1）＜a（x﹣2），不符合题意，
所以，
又g（0）＝﹣1＜0，g（1）＝e＞1，h（1）＝﹣a＜0，
所以需满足在g（x）图象上只有一个横坐标为整数的点在直线h（x）＝a（x﹣2）下方，
所以需满足，
解得，
所以实数a的取值范围是 ，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9．（4分）已知函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣3，求f（1）+f′（1）＝ 5 ．
【解答】解：由函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣3，
得f′（1）＝4，又函数y＝f（x）在x＝1处的切点为（1，f（1）），且切点也在切线上，
∴f（1）＝4×1﹣3＝1．
得f（1）+f′（1）＝5．
故答案为：5．
10．（4分）若函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围为是 （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） ．
【解答】解：f′（x）＝x2﹣2ax+1，
因为函数存在单调递减区间，
所以存在x，使得f′（x）小于零，
所以导函数的判别式Δ＝4a2﹣4＞0，解得a＜﹣1或a＞1，
所以实数a的取值范围为是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
11．（4分）从A，B等5名学生中随机选3名参加数学、物理、化学三项竞赛，被选中的同学每人仅参加三项竞赛中的一项，且每项竞赛均有人参加，则A和B至多有一名入选的方法有 42 种．（请用数字作答）
【解答】解：当A和B只有一名入选时，
则入选的方法＝36种；
当A和B都没入选时，
则入选的方法＝6种，
即A和B至多有一名入选的方法有36+6＝42种．
故答案为：42．
12．（4分）某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（图1），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 1050 种分配花朵的方式．（请用数字作答）
注：各位老师相邻情况如图2所示．
【解答】解：先在7种颜色花朵中选1种给教师A，
有7种选法；
然后在剩下的6种颜色花朵中选1种给教师E，
有6种选法；
最后在剩下的5种颜色花朵中选2朵给教师F和D，
有5×5＝25种选法，
结合分步乘法计数原理：共有7×6×25＝1050种分配花朵的方式．
故答案为：1050．
13．（4分）南开园中有很多地方沉淀着历史的印记，值得同学们在三年的时光里驻足留意．小南、小艾等6位即将毕业的同学在伯苓楼、范孙楼、瑞廷礼堂、翔宇楼4座标志性建筑中各选择一座拍照留念，若每座建筑至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一座建筑拍照，且小南、小艾不在同一座建筑拍照，则不同的拍照方式共有 1320 种．（用数字作答）
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将6人分为4组，要求小南、小艾不在同一组，
若分为3、1、1、1的四组，有﹣＝16种分组方法，
若分为2、2、1、1的四组，有﹣＝39种分组方法，
则有16+39＝55种分组方法；
②将四组安排在4座标志性建筑中拍照，有＝24种情况，
故有55×24＝1320种排法．
故答案为：1320．
14．（4分）已知方程有唯一实数解，则实数a的值为 2 ．
【解答】解：由题意知：＝有唯一解，x＞0，
设，
即，
设F（t）＝，则，
当t∈（0，e）时，F'（t）＜0，函数F（t）单调递减，
当t∈（e，+∞）时，F'（t）＞0，函数F（t）单调递增；F（t）min＝F（e）＝0，
故方程有唯一解t＝e，即＝e有唯一解，即alnx＝2x﹣2有唯一解，
设g（x）＝alnx﹣2x+2，，a＞0，
当x∈时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈，+∞）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x→0和x→+∞时，g（x）→﹣∞，故只需满足，
设h（a）＝aln﹣a+2，，
当a∈（0，2）时，h'（a）＜0，函数h（a）单调递减，
当a∈（2，+∞）时，h'（a）＞0，函数h（a）单调递增，
故h（a）min＝h（2）＝0，故a＝2成立．
故答案为：2．
三、解答题：本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[﹣2，2]上的单调区间、最值．
（3）设g（x）＝f（x）﹣a在[﹣2，2]上有两个零点，求a的范围．
【解答】解：（1）由题意知，，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即．
（2）由f′（x）＝x2﹣2x＝x（x﹣2）可知，
当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增；
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在[0，2]上单调递减．
所以函数f（x）在[﹣2，2]上的单调增区间为[﹣2，0]，单调减区间为[0，2]．
所以f（x）max＝f（0）＝1，又，
所以．
（3）g（x）＝f（x）﹣a在[﹣2，2]上有两个零点，即f（x）＝a有两个不等根，
由（2）知，a的范围为[﹣，1）．
16．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求证：f（x）＜1；
（Ⅱ）若当x≥1时，f（x）≤a（x﹣1），求a的取值范围．
【解答】证明：（I）令h（x）＝x+1﹣lnx，
则h′（x）＝1﹣＝，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
故h（x）≥h（1）＝2，
所以x+1＞lnx恒成立，
又x+1＞0，
所以＜1，即f（x）＜1；
解：（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，f（x）≤a（x﹣1）等价于lnx≤a（x2﹣1），
令g（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx，x∈[1，+∞），
因为lnx≤a（x2﹣1）恒成立，则g（x）≥0恒成立，
因为，
当a≤0时，g'（x）≤0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）≤g（1）＝0，不符合题意；
当时，
时，g'（x）≤0，函数g（x）单调递减，g（x）≤g（1）＝0，不符合题意；
当时，2a≥1，2ax2﹣1≥0，则g'（x）≥0，
所以函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）＝0，符合题意．
综上所述，a的范围为{a|}．
17．（16分）已知函数．
（1）讨论函数y＝g（x）的单调性；
（2）设函数f（x）＝g（x）﹣4x+2，若函数y＝f（x）的导函数有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），证明：．
【解答】解：（1）由已知函数y＝g（x）的定义域为（0，+∞），
又，
当a≥0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，g′（x）＝0解得或（舍去），
所以当时g′（x）＞0，函数g（x）在上是增函数；
当时g′（x）＜0，函数g（x）在上是减函数；
综上所述：当a≥0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）由已知f（x）＝g（x）﹣4x+2，即，
可得，
函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），即x2﹣4x+a＝0在（0，+∞）上有两个不等实根，
令h（x）＝x2﹣4x+a，只需，故0＜a＜4，
又x1+x2＝4，x1x2＝a，
所以
＝，
要证，
即证alna﹣a﹣8＞lna﹣10，a∈（0，4），
只需证（1﹣a）lna+a﹣2＜0，a∈（0，4），
令m（a）＝（1﹣a）lna+a﹣2，a∈（0，4），
则，
令n（a）＝m′（a），则恒成立，
所以m′（a）在a∈（0，4）上单调递减，又，
由零点存在性定理得，∃a0∈（1，2）使得m′（a0）＝0，即，
所以a∈（0，a0）时，m′（a）＞0，m（a）单调递增，
a∈（a0，4）时，m′（a）＜0，m（a）单调递减，
则，
令，x∈（1，2），则，
所以在（1，2）上单调递增，
所以，
所以m（a）＜0，即得证．