宁夏回族自治区银川市永宁县上游高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份宁夏回族自治区银川市永宁县上游高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级：______姓名：______学号：______
时间：120分钟分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知一批产品的次品率为0.3，从中有放回地随机抽取50次，X表示抽到的次品的件数，则（ ）
A．9.5B．10.5C．11.5D．12.5
2．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.8B．0.3C．0.7D．0.2
3．的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A．B．10C．5D．
4．在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．学校计划于4月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年级的同学进行春季研学活动，每天只能有一个年级参加，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的安排方案有（ ）
A．18种B．24种C．30种D．32种
6．若随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
A．B．2C．D．
7．已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记作：，若，，则b的值可以是（ ）
A．2024B．2022C．2029D．2088
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
10．已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则（ ）
A．直接挑战第2关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少出现一个5点”，则
D．若直接挑战第4关，则过关的概率是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为______．
13．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是______．
14．在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为______；若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，则______．
四、解答题：本题共5小题共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）现有2位男生，3位女生去参加一个联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择．
（Ⅰ）为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．求这5人中恰好有3人去参加甲项目联欢的概率；
（Ⅱ）若从这5人中随机选派3人去参加甲项目联欢，设表示这3个人中女生的人数，求随机变量的分布列与数学期望．
16．（本题15分）据统计，某市一家新能源企业2022年近5个月的产值如下表：
（1）根据上表数据，计算y与x间的线性相关系数r，并说明y与x的线性相关性的强弱；（结果保留两位小数，若，则认为y与x线性相关性很强；若，则认为y与x线性相关性不强．）
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测该企业什么时候的产值为67.6亿元．
参考公式：，，．
参考数据：，，，，．
17．（本题15分）为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率．
（2）若该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
18．（本题17分）随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野．ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
（1）根据小概率的独立性检验，是否有99%的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值．
附：，其中．
19．（本题17分）某项团体比赛分为两轮：第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛．若挑战成功，参加第二轮攻擂赛与上任擂主争夺比赛胜利．现有甲队参加比赛，队中共3名事先排好顺序的队员参加挑战．
（1）第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．用X表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的期望；
（2）甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1-3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知，甲队三名队员，，每场比赛的胜率分别为：，，p，若要求甲队获胜的概率大于，问是否满足？请说明理由．
高二下学期月考数学答案
1-8 BACABDDD
9．BC10．BD
11．【答案】ACD
【详解】对于A：，所以两次点数之和应大于6，
点数之和大于6的情况有种，抛掷两次基本事件有种
即直接挑战第2关并过关的概率为，A正确；
对于B：，挑战第一关通过的概率为，
所以连续挑战前两关并过关的概率为，B错误；
对于C：抛掷三次基本事件有种，
抛掷3次至少出现一个5点的事件共有种，故，
而事件A，B同时发生包含：5，5，5的1种，4，5，6的有6种，共7种，
故，所以，C正确；
对于D：当时，，
而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：
含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，
含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，
含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，
含3，6，6，6的有4种，所以，D正确．故选：ACD．
12．【答案】
【详解】设男生人数为X，且，
，，，
则．故答案为：
13．【答案】
【详解】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，，，，
则，，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是．故答案：．
14．，
；
因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，若第一次中奖，此时第n次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖，此时第n次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖，
此时第n次抽奖中奖的概率为，
综上所述，对任意的，，
又，所以，，；则
15．（Ⅰ）依题意，这5个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为，
去参加乙项目联欢的概率为．
设“这5个人中恰有3人去参加甲项目联欢”为事件A，
则．
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1，2，3
（写公式的k的取值错误给3分）
或的分布列
16．【详解】（1），
因为，，，，
所以，
所以线性相关性很强．
（2）由题意，
，
所以y关于x的线性回归方程为．
当时，解得，即2023年5月的产值为67.6亿元．
17．【详解】（1）解：由样本频率分布直方图知，样本中获一等奖的人数为，
获二等奖的人数为，
若三等奖的人数为，
获奖人数共有，70人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为
设“抽取两名学生中有一名学生获奖”的事件为A，则事件A包含的基本事件的个数为，
因为每个基本事件出现的可能性相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
（2）解：由样本频率分布直方图得样本平均数估计值为
，
所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布
①因为，，
所以，参赛学生中成绩超过79分的人数约为；
②由，得，
即从所有学生中随机抽取1名学生，该生的成绩在64分以上的概率为，
所以随机变量，随机变量的可能值为0、1、2、3，
且，，
，
所以随机变量的分布列为
随机变量的数学期望
18．【详解】（1）零假设：IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，
因为，
所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关．
（2）由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用ChatGPT的概率为，没有广泛应用ChatGPT的概率为，
因为，
所以X的分布列为，且．
若是最大值，则且，
根据，
即，整理得，解得，
又且，所以．
即使取得最大值时k的值为18．
19．（1）X的所有可能取值为1，2，3．
1个人的情况为：1号胜胜，则概率为，
2个人的情况为：1号负2号胜胜或1号胜负2号胜，
概率为，
3个人的概率，
所以分布列为：
所以．
（2）分三种情况：
第一，一人全胜，该事件的概率设为，则，
第二，，两人参赛获胜，该事件的概率设为，
则，
第三，，，三人参赛获胜，该事件的概率设为，
则
由，
所以要甲队获胜的概率大于，即，化简得：，
当，代入可得：，成立．
若学生把代入进行计算，，也满分．
0
1
P
月份
7月
8月
9月
10月
11月
月份代码x
1
2
3
4
5
产值y（亿元）
16
20
27
30
37
ChatGPT应用广泛性
招聘人数减少
招聘人数增加
合计
广泛应用
60
50
110
没有广泛应用
40
50
90
合计
100
100
200
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
1
2
3
P
0
1
2
3
P
X
1
2
3
P