2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-函数-一次函数

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1. 在平面直角坐标系中，已知点，将点P向左或向右平移个单位长度，再向下或向上平移个单位长度，得到点，再将点P关于直线对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”．特别地，当M与重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．
(1)已知点，．
①若点M的坐标为，画出点，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；
②若，直线上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；
(2)半径为3的上有不重合的两点M，P，若半径为1的上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k的取值范围．
2. 在平面直角坐标系中，对于点（不与点重合）和线段，给出如下定义：连接，平移线段，使点与线段的中点重合，得到线段，则称点为线段的“中移点”．已知的半径为1．

(1)如图，点，点，
点为与轴正半轴的交点，，求的值；
点为上一点，若在直线上存在线段的“中移点”，求的取值范围；
(2)点是上一点，点在线段上，且．若是外一点，点为线段的“中移点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
3. 对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．在平面直角坐标系xOy中，点，，，，．
(1)点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是______；
(2)将点O关于线段AB的最佳衍生点记为T，
①直接写出点T的坐标；
②若直线上存在点O关于四边形ABTC的衍生点，求b的取值范围．
4. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点M，N，且，则称线段是的“倍弦线”．
(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是_____________；
(2)的“倍弦线”与直线交于点E，求点E纵坐标的取值范围；
(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出b的取值范围．
5. 在平面直角坐标系中，对于点，点和直线，点关于的对称点，点是直线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，如果线段与直线有交点，称点是点关于直线和点的“双垂点”.

(1)若，点中是点关于轴和点的“双垂点”的是___________；
(2)若点，点是直线上的点，点是点关于轴和点的“双垂点”，求点的坐标；
(3)点在以为圆心，1为半径的圆上，直线，若圆上存在点是点关于直线和点的“双垂点”，直接写出的取值范围.
6. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
7. 在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．
8. 在平面直角坐标系中，对于线段和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段，的中点，连接，我们称线段的中点Q是点P关于线段的“关联点”．

(1)已知点，点P关于线段的“关联点”是点Q．
①若点P的坐标是，则点Q的坐标是______；
②若点E的坐标是，点F的坐标是．点P是线段上任意一点，求线段长的取值范围；
(2)点A是直线上的动点．在矩形中，边轴，．点P是矩形边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q．过点A作x轴的垂线，垂足为点G．设点G的坐标是．当点A沿着直线运动到点时，点G沿着x轴运动到点，点Q覆盖的区域的面积S满足，直接写出m的取值范围．
9. 在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，其中点，给出如下定义：若点P关于直线的对称点在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．
例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线的“关联点”．
(1)如图2，在点中，是矩形OABC关于直线的“关联点”的为_____________；
(2)如图3，点是矩形OABC关于直线的“关联点”，且是等腰三角形，求t的值；
(3)若在直线上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线的“关联点”，请直接写出b的取值范围．
10. 在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”．
(1)如图，点，，，．
①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____；
②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围；
(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．
11. 在平面直角坐标系中，对于点P和直线l，过点P作于H，若点C与点D关于点H对称，则称点C与点D“关于P（直线l）垂足对称”．特别地，若点P在直线l上，则点H与点P重合．
(1)如图1，点，．

①若点C与点D“关于P（x轴）垂足对称”，则点D的坐标为 ；
②若点C与点“关于P（直线）垂足对称”，求k的值；
(2)如图2，⊙O的半径为2，直线l的解析式为．

①若点，⊙O上存在点E与点F“关于Q（直线l）垂足对称”，则EF的最大值为 ，此时直线l的解析式为 ；
②若点，在⊙O上存在点M与x轴上一点N“关于G（直线）垂足对称”，直接写出符合题意的g的取值范围： ．
12. 对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．
(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有 ．
②画出点关于四边形的“对称图形”；
(2)点是轴上的一动点．
①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；
②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围
13. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，我们定义点P关于线段的线段比
（1）已知点．
①点关于线段的线段比__________；
②点关于线段的线段比，求c的值．
（2）已知点，点，直线与坐标轴分别交于两点，若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，直接写出m的取值范围．
14. 在平面直角坐标系xOy中，A1，A2…Ak是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，p=m+n则称p为这k个点的“平面特征值”，记为T＜A1，A2，…Ak＞＝p．如：点M（2，1）点N（3，1），则T＜M，N＞＝2+1＝3
如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，直线l与直线AC，CD交y轴于点E，已知O为AB的中点，点B的坐标为（4，0）．
（1）T＜A，B＞＝ ，T＜A，B，E＞＝ ；
（2）点F（0，b）为y轴上一动点，过点P作直线l//x轴，直线l与直线AC、BD交于点P、Q，请直接写出T＜A，B，C，D，E，F，P＞的所有可能值以及相应的b的取值范围．
15. 对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．
（1）已知．
①在点中，是线段的“等幂点”的是_____________；
②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；
（2）已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分，若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．
16. 在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在轴下方，点关于原点的对称点为，我们称点为点关于点为直角顶点的“变换点”．

(1)①在图中分别画出点关于点和点直角顶点的“变换点”、；
②连结，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
(2)直线（）上存在点关于点为直角顶点的“变换点”，直接写出k的取值范围．
17. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们将|x1﹣x2|＋2|y1﹣y2|称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．
例如：点M（﹣2，7）与N（5，6）的“纵2倍直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|＋2|7﹣6|＝9，
（1）①已知点P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是 ；
②已知点P（x，y），其中y≥0，若点P与原点O的“纵2倍直角距离”dPO＝3，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形．
（2）若直线y＝2x＋b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，求b的取值范围；
（3）已知点A（1，1），B（3，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（t﹣，0），D（t，），E（t＋，0），F（t，﹣）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得dGH＝5，直接写出t的取值范围．
18. 在平面直角坐标系中，对于⊙内的一点，若在⊙外存在点，使得，则称点为⊙的二倍点．
（1）当⊙的半径为2时，
①在，，三个点中，是⊙的二倍点的是 ；
②已知一次函数与y轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙的二倍点，求a的取值范围．
（2）已知点，，，⊙的半径为2，若线段BC上存在点P为⊙的二倍点，直接写出m的取值范围 ．
19. 在平面直角坐标系中，的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交于点 B和点C（），，我们把点 B称为点A关于的“斜射点”．
（1）如图，在点中，存在关于 的“斜射点”的是_____________．
（2）已知若，点关于的“斜射点”为点B，则点 B的坐标可以是__________．（写出两个即可）
（3）若点A直线上，点A关于的“斜射点”为，画出示意图，直接写出 k的取值范围．
20. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，直线l和矩形w，定义如下：若点P关于直线l的对称点在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线1的“对矩点”．已知矩形ABCD的顶点A（1，0），B（8，0），C（8，4），D（1，4）．
例如，图中的点F和点G都不是矩形ABCD关于y轴的“对矩点”，点H是矩形ABCD关于y轴的“对矩点”．
(1)在点，，，中，是矩形ABCD关于直线l：x＝3“对矩点”的点是______；
(2)若在直线y＝2x＋6上存在点M，使得点M是矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”，求t的取值范围；
(3)若抛物线上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，请直接写出t的取值范围．
21. 正比例函数图象直线和一次函数图象直线都过点，，与轴围成的三角形面积为15，而，与轴围成的三角形面积为．

(1)求直线与的函数表达式；
(2)求与相交所成的锐角的度数．
22. 在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义：
如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．

(1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d．
(2)若点都在直线上，求d的值；
(3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围．
23. 对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：当时，；当时，叫做点的“斜值”．
(1)直接写出点的“斜值”的值________；
(2)若点的“斜值”，且，求点的坐标；
(3)如图，正方形中，，，，若正方形的边上存在两个点的“斜值”为，直接写出的取值范围．
24. 在平面直角坐标系中，对于点和线段，其中，给出如下定义：若存在实数，使得，则称点是点关于线段的“中旋点”．
(1)已知点，点是关于线段的“中旋点”．
①若点的坐标是，则点的坐标是______；
②若点的坐标是，点的坐标是，点是线段上任意一点，求线段长的取值范围；
(2)已知点，以为对角线构造正方形，在该正方形边上任取两点（包括顶点）构造线段，若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，直接写出的取值范围．
25. 在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别是，，，，点为正方形边上任意一点，点为线段上一点（点不与点、重合），且．若射线上存在一点，满足，则称线段是正方形关于点的倍拓展线段．
(1)如图2，当点的坐标为时，在，，中，______是正方形关于点的2倍拓展线段上的点；
(2)若点是正方形关于点的2倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围；
(3)已知点，，若线段上的所有点都是正方形关于点的倍拓展线段上的点，请直接写出的取值范围．