2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-图形-图形的性质

这是一份2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-图形-图形的性质，共16页。试卷主要包含了 已知在中，，且=．作，使得．等内容，欢迎下载使用。


1. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．
（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；
（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；
（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．
2. 在平面直角坐标系中，已知点，将点P向左或向右平移个单位长度，再向下或向上平移个单位长度，得到点，再将点P关于直线对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”．特别地，当M与重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．
(1)已知点，．
①若点M的坐标为，画出点，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；
②若，直线上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；
(2)半径为3的上有不重合的两点M，P，若半径为1的上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k的取值范围．
3. 在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
(1)如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为_______；
(2)⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
(3)⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
4. 在平面直角坐标系中，对于和点(不与点重合）给出如下定义：若边，上分别存在点，点，使得点与点关于直线对称，则称点为的“翻折点”．
(1)已知，．
①若点与点重合，点与点重合，直接写出的“翻折点”的坐标；
②是线段上一动点，当是的“翻折点”时，求长的取值范围；
(2)直线与轴，轴分别交于，两点，若存在以直线为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为的“翻折点”，直接写出的取值范围．
5. 在平面直角坐标系中，对于点（不与点重合）和线段，给出如下定义：连接，平移线段，使点与线段的中点重合，得到线段，则称点为线段的“中移点”．已知的半径为1．

(1)如图，点，点，
点为与轴正半轴的交点，，求的值；
点为上一点，若在直线上存在线段的“中移点”，求的取值范围；
(2)点是上一点，点在线段上，且．若是外一点，点为线段的“中移点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
6. 小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，则小正方形的边长为 _____．
7. 已知在中，，且=．作，使得．
(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；
(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；
(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．
8. 对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．在平面直角坐标系xOy中，点，，，，．
(1)点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是______；
(2)将点O关于线段AB的最佳衍生点记为T，
①直接写出点T的坐标；
②若直线上存在点O关于四边形ABTC的衍生点，求b的取值范围．
9. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点M，N，且，则称线段是的“倍弦线”．
(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是_____________；
(2)的“倍弦线”与直线交于点E，求点E纵坐标的取值范围；
(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出b的取值范围．
10. 在平面直角坐标系中，对于点，点和直线，点关于的对称点，点是直线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，如果线段与直线有交点，称点是点关于直线和点的“双垂点”.

(1)若，点中是点关于轴和点的“双垂点”的是___________；
(2)若点，点是直线上的点，点是点关于轴和点的“双垂点”，求点的坐标；
(3)点在以为圆心，1为半径的圆上，直线，若圆上存在点是点关于直线和点的“双垂点”，直接写出的取值范围.
11. 在平面直角坐标系中，对于，其中，，给出如下定义：将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，与的过点A的高线交于点，将点关于直线对称得到点，我们称为的留缘点．

(1)若，，请在图中画出的留缘点，并求出点的坐标；
(2)已知，，若线段上存在的留缘点，求的取值范围．
12. 在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
13. 设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点，，，，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”．
(1)设是底边长为2的等腰直角三角形，则的“胖瘦度”______；
(2)设，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，直接写出点Q的坐标：______；
(3)以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为，且点A在第一象限，点，若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，直接写出a的取值范围：______．
14. 在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．
15. 在等腰Rt△ABC中，AB⊥AC，点D为AC边上一点，连接DB ．
(1)如图1，若∠ABD ＝15°，BD＝2，求线段AD的长度；
(2)如图2，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接BE、CE，将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接BF，线段CE、BF交于点G，连接AG，猜想线段AG、BG、CG的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，直接写出的最小值．
16. 我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”．
在平面直角坐标系中，
(1)如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为 ；
(2)已知点，过点作平行于轴的直线．
①如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；
②是以为圆心，为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点，求的取值范围．
17. 在平面直角坐标系中，对于线段和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段，的中点，连接，我们称线段的中点Q是点P关于线段的“关联点”．

(1)已知点，点P关于线段的“关联点”是点Q．
①若点P的坐标是，则点Q的坐标是______；
②若点E的坐标是，点F的坐标是．点P是线段上任意一点，求线段长的取值范围；
(2)点A是直线上的动点．在矩形中，边轴，．点P是矩形边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q．过点A作x轴的垂线，垂足为点G．设点G的坐标是．当点A沿着直线运动到点时，点G沿着x轴运动到点，点Q覆盖的区域的面积S满足，直接写出m的取值范围．
18. 在平面直角坐标系中，直线在x轴及其上方的部分记为射线．对于定点和直线，给出如下定义：同时将射线和直线分别绕点和原点顺时针旋转得到和，与的交点为点，我们称点为射线的“”双旋点．如图，点为的“”双旋点．
(1)若
①在给定的平面直角坐标系中，画出“”的双旋点；
②直接写出的双旋点的坐标 ；
③点、、是的“”双旋点的是 ；
(2)直线分别交轴、轴于点、，若存在，使直线的“”双旋点在线段上，求的取值范围；
(3)当时，对于任意的，若存在某个三角形上的所有点都是射线的“”双旋点，直接写出这个三角形面积的最大值．
19. 在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，其中点，给出如下定义：若点P关于直线的对称点在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．
例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线的“关联点”．
(1)如图2，在点中，是矩形OABC关于直线的“关联点”的为_____________；
(2)如图3，点是矩形OABC关于直线的“关联点”，且是等腰三角形，求t的值；
(3)若在直线上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线的“关联点”，请直接写出b的取值范围．
20. 在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的变换和变换．变换：将点A向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度；变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度
(1)若对点B进行变换，得到点（1，1），则对点B进行变换后得到的点的坐标为 ．
(2)若对点C（m，0）进行变换得到点P，对点C（m，0）进行变换得到点Q，，求m的值．
(3)点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F进行变换之后得到点G，若的最小值为2，直接写出点D的坐标 ．
21. 如图，线段与线段平行，是平面内一点，连接，，射线，分别平分，．

(1)当点在线段的延长线上时：
①在图1中，依题意补全图形；
②请直接写出直线与直线的位置关系：___________；
(2)如图2，当点在直线与直线之间时，射线，交于点，探究与的数量关系，并证明；
(3)若直线与直线平行，请直接写出点的位置：___________．
22. 在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”．
(1)如图，点，，，．
①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____；
②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围；
(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．
23. 在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．已知点，．
(1)在点，，中，______是线段的关联点；
(2)是以点为圆心，r为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求r的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线G的关联点都是的关联点，直接写出r的最小值．
24. 对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
（1）已知点A，在点Q1，Q2，Q3中，______是点A的“直角点”；
（2）已知点，，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点，，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
25. 在平面直角坐标系中，对于点P和直线l，过点P作于H，若点C与点D关于点H对称，则称点C与点D“关于P（直线l）垂足对称”．特别地，若点P在直线l上，则点H与点P重合．
(1)如图1，点，．

①若点C与点D“关于P（x轴）垂足对称”，则点D的坐标为 ；
②若点C与点“关于P（直线）垂足对称”，求k的值；
(2)如图2，⊙O的半径为2，直线l的解析式为．

①若点，⊙O上存在点E与点F“关于Q（直线l）垂足对称”，则EF的最大值为 ，此时直线l的解析式为 ；
②若点，在⊙O上存在点M与x轴上一点N“关于G（直线）垂足对称”，直接写出符合题意的g的取值范围： ．
26. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D为平面内一点，且AD＜AB，以A点为中心，将线段AD逆时针旋转180°－α，得到线段AE．
（1）如图1，当D点在线段BC上时，恰有AE∥BC，连接DE交AC于F点，求证：F为线段DE中点；
（2）连接BE、CD，取BE中点G，连接AG．
①如图2，当D点在△ABC内部时，用等式表示线段AG与CD之间的数量关系，并证明；
②令α＝90°，若当A、D、G三点共线时，恰有∠AGB＝120°，直接写出此时的值．
27. 在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是平面内一动点（不与A、C重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置．
(1)如图1，若D在△ABC的边AB上，AC＝2，则BE的最大值为________；
(2)如图2，若D在△ABC的边AB上，AD＝2，AE平分∠BAC，AE交BC于点P，则CP的长为_________；
(3)如图3，若D在△ABC的边AB上，取AE中点M，求证：CM＝BD
(4)若D是平面内任意一点（不与A、C重合），直线AD，BE交于点F，连接CF，请直接写出AF、BF、CF的数量关系________________________．
28. 如图，在中，点D在边上，连接．设．过点A作于点H，．．所以，．特别地，当时，
根据上述知识解决问题．
在中，E为的中点，点F在上，与交于点P．设，．
(1)如图1，若，则m与n的大小关系为：m______n（填“＞”，“＝”或“＜”）；
(2)如图2，若，则m、n之间满足的等量关系为______
(3)如图3，若，，求n的值．
29. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，我们定义点P关于线段的线段比
（1）已知点．
①点关于线段的线段比__________；
②点关于线段的线段比，求c的值．
（2）已知点，点，直线与坐标轴分别交于两点，若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，直接写出m的取值范围．
30. 在平面直角坐标系xOy中，A1，A2…Ak是k个互不相同的点，若这k个点横坐标的不同取值有m个，纵坐标的不同取值有n个，p=m+n则称p为这k个点的“平面特征值”，记为T＜A1，A2，…Ak＞＝p．如：点M（2，1）点N（3，1），则T＜M，N＞＝2+1＝3
如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，直线l与直线AC，CD交y轴于点E，已知O为AB的中点，点B的坐标为（4，0）．
（1）T＜A，B＞＝ ，T＜A，B，E＞＝ ；
（2）点F（0，b）为y轴上一动点，过点P作直线l//x轴，直线l与直线AC、BD交于点P、Q，请直接写出T＜A，B，C，D，E，F，P＞的所有可能值以及相应的b的取值范围．