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2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-二次根式
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这是一份2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-二次根式，共10页。试卷主要包含了 经研究发现， 阅读学习，解决问题， 阅读材料， 实数与满足．等内容，欢迎下载使用。
1. 【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当时，的最小值为
(2)当时，的最小值为 ；
(3)当时，求的最大值．
2. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
3. 经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得，则a的值为_________．
(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．
①若为“三元数组”，且，则________；
②若为“三元数组”，且，则________，________；
③“三元数组”共有_________个．
4. 对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：．
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果，那么x ＝ ；
（3）如果，求x的值．
5. 阅读学习，解决问题：
小高在学习中遇到一有趣的个问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
(1)我们知道：；，……
由此可归纳出结论1：若，则
(2)
……
由此可归纳出结论2：______．
(3)根据上面的结论计算：
∵
∴
类似的：
∵
∴______
由此可归纳出结论3：______（n为正实数）
(4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小
6. 在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
材料二：
通过以上材料，完成下列问题：
(1)解关于x的方程；
(2)解关于x的方程．
7. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
8. 阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若和为两个相邻整数，则____________.
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
9. 实数与满足．
(1)写出与的取值范围；
(2)已知是有理数．
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，将符合条件的的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第11个位置的数．
10. 快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：
已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．
11. 使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码．如，对于二次根式，计算结果为13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式产生的六位密码是__________．
12. 阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
13. 生活常用打印纸A4纸的长宽比为，此比值也叫白银比．现对于平面直角坐标系中的不同两点，给出如下定义：若，则称A，B互为“白银点”．例如，点互为“白银点”．
(1)在四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是：____________；
(2)已知，点B为点A的“白银点”，且面积为，求点B的坐标；
(3)已知，在（2）的条件下，将线段向y轴方向平移m个单位（m值为正则向上平移m个单位，m值为负则向下平移m个单位）得线段，若线段上存在线段中某个点的“白银点”，则m的取值范围为_______________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C是点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位而得到的点，过点C作直线平行于x轴，连接，．
(1)求点A和点B的坐标及三角形的面积；
(2)若点是y轴上一动点，当点P在y轴上什么位置时，的面积恰好等于的面积的3倍？
(3)若射线，分别绕C点、O点，以和 的速度匀速顺时针旋转，与重合后停止旋转．与重合后，继续以同样的速度绕O点逆时针旋转，返回后停止，已知旋转后，开始旋转；试问在旋转过程中，是否存在与平行？如果平行，试求出旋转多长时间后与平行．如果不可能平行，说明理由．
15. 如图，在直角△ABC中，AB=BC，点D是边AC上一动点，以BD为直角边作等腰直角△DBE，DE交BC于点F，连接CE．过点B作BQ⊥DE于点P，交CD于点Q．下面结论中正确的有（ ）个
①△ABD≌△CBE： ②∠CDE= ∠ABD；③AD2+CQ2=DQ2：
④当AD：DC=1：2，S△BEC+S△DCE=S△DBE； ⑤当时CD=BC时，BD：EF=．
16. （1）若，求的值．
（2）先化简，然后从2，1，中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
（3）已知：，，求．
17. 对于平面内三个点P，A，B，给出如下定义：将线段与线段长度的和叫做线段关于点P的折线距离，记为．例如下图中，A，B，C三点共线，，，则线段关于点B的折线距离，线段关于点C的折线距离．
(1)如图，中，，，D是中点．
①_______．
②P是线段上动点，确定点P的位置使得的值最小，并求出的最小值．
(2)中，，过点C作的垂线l，点Q在直线l上，直接写出的最小值的取值范围．
18. 阅读材料并回答问题
肖博睿同学发现如下正确结论：
材料一：
若，则；若，则；若，则；
材料二：
完全平方公式：（1）；（2）．
(1)比较大小：___________；
(2)___________；
(3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）．
19. 如图，若以米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
20. 观察猜想
(1)观察猜想：①；②；③．
通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想： ；
(2)验证结论：我们知道可以利用几何图形对一个等式进行验证，请你利用与下图全等的四个矩形，构造几何图形对你的猜想进行验证．（要求：画出构造的图形，写出验证过程）
(3)结论应用：如图，某同学在做一个面积为800cm2，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要 cm．
21. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
(1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）；
(2)写出根分式中x的取值范围______；
(3)已知两个根分式．
①若，求的值；
②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______．
22. 如图1，在平面直角坐标系中存在矩形ABCO，点A（﹣a，0）、点B（﹣a．b），且a、b满足：b12．
(1)求A、B点坐标；
(2)作∠OAB的角平分线交y轴于D，AD的中点为E，连接BE，作EF⊥BE交x轴于F，求EF的长；
(3)如图2，将矩形ABCO向左推倒得到矩形A'B'C'O'，使A与A'重合，B'落在x轴上．现在将矩形A'B'C'O'沿射线AD以1个单位/秒平移，设平移时间为t，用t表示平移过程中矩形ABCD与矩形A'B'C'O'重合部分的面积．
23. 若面积为S的矩形两条邻边比为2：3，求矩形的长和宽（用含S的代数式表示）．
打印为PDF小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；
小康同学：对，就是要往解的形式转化，现在关键就是要把根号化去；
小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；
小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根
……
解：两边平方得：．
解得：．
检验：将代入原方程，成立．
∴原方程的解为．
型号
长
宽
小号
中号
大号
A．2
B．3
C．4
D．5
1. 【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当时，的最小值为
(2)当时，的最小值为 ；
(3)当时，求的最大值．
2. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
3. 经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得，则a的值为_________．
(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．
①若为“三元数组”，且，则________；
②若为“三元数组”，且，则________，________；
③“三元数组”共有_________个．
4. 对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：．
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果，那么x ＝ ；
（3）如果，求x的值．
5. 阅读学习，解决问题：
小高在学习中遇到一有趣的个问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
(1)我们知道：；，……
由此可归纳出结论1：若，则
(2)
……
由此可归纳出结论2：______．
(3)根据上面的结论计算：
∵
∴
类似的：
∵
∴______
由此可归纳出结论3：______（n为正实数）
(4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小
6. 在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
材料二：
通过以上材料，完成下列问题：
(1)解关于x的方程；
(2)解关于x的方程．
7. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
8. 阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若和为两个相邻整数，则____________.
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
9. 实数与满足．
(1)写出与的取值范围；
(2)已知是有理数．
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，将符合条件的的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和第11个位置的数．
10. 快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：
已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．
11. 使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码．如，对于二次根式，计算结果为13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式产生的六位密码是__________．
12. 阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
13. 生活常用打印纸A4纸的长宽比为，此比值也叫白银比．现对于平面直角坐标系中的不同两点，给出如下定义：若，则称A，B互为“白银点”．例如，点互为“白银点”．
(1)在四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是：____________；
(2)已知，点B为点A的“白银点”，且面积为，求点B的坐标；
(3)已知，在（2）的条件下，将线段向y轴方向平移m个单位（m值为正则向上平移m个单位，m值为负则向下平移m个单位）得线段，若线段上存在线段中某个点的“白银点”，则m的取值范围为_______________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C是点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位而得到的点，过点C作直线平行于x轴，连接，．
(1)求点A和点B的坐标及三角形的面积；
(2)若点是y轴上一动点，当点P在y轴上什么位置时，的面积恰好等于的面积的3倍？
(3)若射线，分别绕C点、O点，以和 的速度匀速顺时针旋转，与重合后停止旋转．与重合后，继续以同样的速度绕O点逆时针旋转，返回后停止，已知旋转后，开始旋转；试问在旋转过程中，是否存在与平行？如果平行，试求出旋转多长时间后与平行．如果不可能平行，说明理由．
15. 如图，在直角△ABC中，AB=BC，点D是边AC上一动点，以BD为直角边作等腰直角△DBE，DE交BC于点F，连接CE．过点B作BQ⊥DE于点P，交CD于点Q．下面结论中正确的有（ ）个
①△ABD≌△CBE： ②∠CDE= ∠ABD；③AD2+CQ2=DQ2：
④当AD：DC=1：2，S△BEC+S△DCE=S△DBE； ⑤当时CD=BC时，BD：EF=．
16. （1）若，求的值．
（2）先化简，然后从2，1，中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
（3）已知：，，求．
17. 对于平面内三个点P，A，B，给出如下定义：将线段与线段长度的和叫做线段关于点P的折线距离，记为．例如下图中，A，B，C三点共线，，，则线段关于点B的折线距离，线段关于点C的折线距离．
(1)如图，中，，，D是中点．
①_______．
②P是线段上动点，确定点P的位置使得的值最小，并求出的最小值．
(2)中，，过点C作的垂线l，点Q在直线l上，直接写出的最小值的取值范围．
18. 阅读材料并回答问题
肖博睿同学发现如下正确结论：
材料一：
若，则；若，则；若，则；
材料二：
完全平方公式：（1）；（2）．
(1)比较大小：___________；
(2)___________；
(3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）．
19. 如图，若以米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
20. 观察猜想
(1)观察猜想：①；②；③．
通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想： ；
(2)验证结论：我们知道可以利用几何图形对一个等式进行验证，请你利用与下图全等的四个矩形，构造几何图形对你的猜想进行验证．（要求：画出构造的图形，写出验证过程）
(3)结论应用：如图，某同学在做一个面积为800cm2，对角线相互垂直的四边形玩具时，用来做对角线的竹条至少要 cm．
21. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．
(1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）；
(2)写出根分式中x的取值范围______；
(3)已知两个根分式．
①若，求的值；
②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______．
22. 如图1，在平面直角坐标系中存在矩形ABCO，点A（﹣a，0）、点B（﹣a．b），且a、b满足：b12．
(1)求A、B点坐标；
(2)作∠OAB的角平分线交y轴于D，AD的中点为E，连接BE，作EF⊥BE交x轴于F，求EF的长；
(3)如图2，将矩形ABCO向左推倒得到矩形A'B'C'O'，使A与A'重合，B'落在x轴上．现在将矩形A'B'C'O'沿射线AD以1个单位/秒平移，设平移时间为t，用t表示平移过程中矩形ABCD与矩形A'B'C'O'重合部分的面积．
23. 若面积为S的矩形两条邻边比为2：3，求矩形的长和宽（用含S的代数式表示）．
打印为PDF小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；
小康同学：对，就是要往解的形式转化，现在关键就是要把根号化去；
小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；
小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根
……
解：两边平方得：．
解得：．
检验：将代入原方程，成立．
∴原方程的解为．
型号
长
宽
小号
中号
大号
A．2
B．3
C．4
D．5
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