2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-代数式

这是一份2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-数与式-代数式，共10页。

1. 某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元．
（1）用含，的代数式表示；
（2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值．
2. 设x，y满足，，则______．
3. 在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是______，丙的三张牌上的数字是______．
4. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e的卡片写有数字_______．
5. 【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当时，的最小值为
(2)当时，的最小值为 ；
(3)当时，求的最大值．
6. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4，d＝2大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．
(3)化简：＝ （直接写出答案）．
7. 四个互不相等的实数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，其中，，为整数，．
（1）若，则，，中与距离最小的点为_________；
（2）若在，，中，点与点的距离最小，则符合条件的点有_________个．
8. 在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
(1)对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
(2)借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与的数量关系可用等式表示为_______；
(3)已知格点长方形ABCD，设其边长，其中m，n为正整数．请以格点长方形为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
9. 已知多项式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
(1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A．
(2)小红取a，b互为倒数的一对数值代入多项式A中，恰好得到A的值为0，求多项式B的值．
(3)聪明的小刚发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，B的值总比A的值大7，那么小刚所取的b的值是多少呢？
10. 若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）．
（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 ．
（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式．
（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式．
11. 在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．下列步骤：
（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1）），此正方形的面积为_______；
（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图（2），此图形的周长为_________；
（3）重复上述的作法，图（1）经过第_________次分形后得到图（3）的图形；
（4）观察探究：上述分形过程中，经过n次分形得到的图形周长是____，面积是____．
12. 目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．
(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元；
(2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元；
(3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？
13. 对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数．
例如，对于数组：1，2，3，因为，，，取为原点，为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．
已知是数组的收纳系数，此时线段的端点，表示的数分别为，．
(1)对数组：1，2，，在1，，这三个数中，可能是______；
(2)对数组：1，2，，若的最大值为，求的值；
(3)已知100个连续整数中第一个整数为，从中选择个数，组成数组．
①当，且时，直接写出的最大值；
②当时，直接写出的最大值和相应的的最小值．
14. 小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第________张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则________（用含n的代数式表示，其中n为自然数）．
15. 为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明，只需要证明；同样的，要证明，只需要证明．
例如：
小明对于命题：任意的实数a和b，总有，当并且只有时，等号成立，给出了如下证明：
证明：∵，
∴，当并且只有时，等号成立．
(1)请仿照小明 的证明方法，证明如下命题：
若a，b，x，，且，则．
(2)若，，且，
求的最大值．
16. 下列各题中，正确的是（ ）
①﹣[5a﹣(3a﹣4)]＝2a+4
②a﹣3b+c﹣3d＝(a+c)﹣3(b+d)
③a﹣3(b﹣c)＝a﹣3b+c
④(x﹣y+z)(x+y﹣z)＝[x﹣(y﹣z)][x+(y﹣z)]．
17. 为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形、、，要求每个菱形的两条对角线长分别为和．
（1）若使这块草坪的总面积是，则需要___个这样的菱形；
（2）若有个这样的菱形（，且为整数），则这块草坪的总面积是___．
18. 类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．
例如：与是“准同类项”
(1)给出下列三个单项式：
①，②，③．
其中与是“准同类项”的是______（填写序号）
(2)已知，，均为关于，的多项式，，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值．
(3)已知，均为关于，的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______．
19. 阅读学习，解决问题：
小高在学习中遇到一有趣的个问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
(1)我们知道：；，……
由此可归纳出结论1：若，则
(2)
……
由此可归纳出结论2：______．
(3)根据上面的结论计算：
∵
∴
类似的：
∵
∴______
由此可归纳出结论3：______（n为正实数）
(4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小
20. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．
(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；
(2)解决问题：如果，，求的值；
(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
21. 在数轴上，点A表示－2，点B表示6．
（1）点A与B的距离为_______________；
（2）点C表示的数为c，设，若，则c的值为___________；
（3）点P从原点O出发，沿数轴负方向以速度向终点A运动，同时，点Q从点B出发沿数轴负方向以速度向终点O运动，运动时间为t．
①点P表示的数为__________，点Q表示的数为___________（用含、、t的代数式表示）；
②点N为O、Q之间的动点，在P、Q运动过程中，NP始终为定值，设，，若，探究、满足的等量关系．
22. 在图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23．若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则表示的数是______；请按上述要求，将剩余的数填入图中（填出一种即可）．
23. 如图，某长方形广场的长为米，宽为米，四角铺上半径为米的扇形草地，则未铺草地的面积共有__________平方米．（用含的代数式表示）
24. （1）如果，那么m的值是 ，n的值是 ；
（2）如果，
①求的值；
②求的值．
25. 某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
(1)仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
(2)仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？
(3)根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
26. 甲、乙在下图所示的表格中从左至右依次填数．如图，已知表中第一个数字是1，甲、乙轮流从2，3，4，5，6，7，8，9中选出一个数字填入表中（表中已出现的数字不再重复使用）．每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字．甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．______
27. 某学校在七年级开展种植类的劳动课程．现需要购买仿生阳光房若干个．经调查发现，同一款式的仿生阳光房在甲、乙两家商店的标价均是100元．
新年将至，两家商店开展促销活动，优惠方式如下：
甲商店：每个仿生阳光房按9折（标价的90%）出售；
乙商店：购买的仿生阳光房的个数不超过10时，按标价出售；购买的仿生阳光房的个数超过10时，超过部分按8折（标价的80%）出售．
(1)若在甲商店购买10个该款式的仿生阳光房，则花费______元；
(2)若在乙商店购买m（）个该款式的仿生阳光房，则花费______元（用含m的代数式表示）；
(3)购买该款式的仿生阳光房的个数为多少时，在甲、乙两家商店的花费相同？
28. 为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确实其中感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为8，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出，需要经过4轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．
(1)的值为___________；
(2)若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值___________；
29. 计算：______．
30. 为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的2倍少4人，若使用超市塑料袋的为x人，则使用自带环保袋的人数为（ ）
多边形
面积S
内部格点数N
边上格点数L
Ⅰ
Ⅱ
7
4
8
8
Ⅲ
Ⅳ
9
5
10
10
Ⅴ
11
11
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度的部分
0.7
A．①②
B．②④
C．①②④
D．①③④
运输公司
起步价（单位：元）
里程价（单位：元/千米）
甲
1000
5
乙
500
10
1
A．
B．
C．
D．