2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-方程与不等式-一元二次方程

这是一份2024北京中考名校密题：数学最后冲刺30题-方程与不等式-一元二次方程，共11页。试卷主要包含了 下面是小聪同学用配方法解方程， 列方程解应用题， 我们规定等内容，欢迎下载使用。


1. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
2. 2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．
3. 下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
(1)第②步二次项系数化为1的依据是什么？
(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
4. 某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
5. 如图，在中，，， (其中)．于点D，点E在边上， 设，，， 给出下面三个结论∶①；②；③的长是关于 x 的方程 的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
6. 列方程解应用题：某工厂一月份的产品产量为 100 万件，由于工厂管理理念更新，管理水平提高，产量逐月提高，三月份的产量提高到144万件，求一至三月该工厂产量的月平均增长率．
7. 图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．
8. 我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”．
在平面直角坐标系中，
(1)如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为 ；
(2)已知点，过点作平行于轴的直线．
①如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；
②是以为圆心，为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点，求的取值范围．
9. 对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
（1）已知点A，在点Q1，Q2，Q3中，______是点A的“直角点”；
（2）已知点，，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知点，，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
10. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ）
11. 对于平面直角坐标系xOy中的直线l：与矩形OABC给出如下定义：设直线l与坐标轴交于点M，N（M，N不重合），直线与矩形OABC的两边交于点P，Q（P，Q不重合），称线段MN，PQ的较小值为直线l的关联距离，记作，特别地，当MN＝PQ时，．
已知A（6，0），B（6，3），C（0，3）．
(1)若，则MN＝______，PQ＝______；
(2)若，，则b的值为______；
(3)若，直接写出的最大值及此时以M，N，P，Q为顶点的四边形的对角线交点坐标．
12. 某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行通道，如图所示，阴影部分为通道，其余部分种植花卉，同样宽度的通道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设通道的宽为x米，根据题意可列方程为______．

13. 阅读材料，并回答问题：
小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：．
①
②
③
④
⑤
⑥
问题：（1）上述过程中，从第_____________步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：_____________；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
14. 如图，矩形草地中，m，m，点为边中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（，），若草地总面积（两部分阴影之和）为，求甬路的宽．
15. 某校打算用的篱笆，在墙边（墙足够长）围成一个矩形区域，作为“养殖基地”（篱笆只围三边），当矩形区域的面积是时，求它的长和宽．

16. 在平面直角坐标系中，的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交于点 B和点C（），，我们把点 B称为点A关于的“斜射点”．
（1）如图，在点中，存在关于 的“斜射点”的是_____________．
（2）已知若，点关于的“斜射点”为点B，则点 B的坐标可以是__________．（写出两个即可）
（3）若点A直线上，点A关于的“斜射点”为，画出示意图，直接写出 k的取值范围．
17. 在平面直角坐标系中，已知二次函数．
（1）当时，
①若，求该函数最小值；
②若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值；
（2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值．
18. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________．
19. 某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表：
(1)在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？
(2)如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负______场．
20. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点．

给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是____________．
21. 小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为__________；
(2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；
(3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求a与c的值．
22. 我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程的正数解的步骤为：
（1）将方程变形为；
（2）构造如图1所示的大正方形，其面积是，其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为；
（3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即；
（4）由此可得方程：，则方程的正数解为．
根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程的正数解的构图是_____（只填序号）．
23. 如果方程满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足．例如有正整数解3和4，所以属于同族方程，所以
(1)如果同族方程中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有
(2)如果同族方程中的实数q满足如下条件：
①为一个两位正整数，y为自然数
②交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．
24. 世纪年代起，苏州河沿岸集中了大量工厂和棚户简屋，工业污水和生活污水未经处理直接排入河中，使苏州河的水质不断恶化，最终变成一条臭河．年代起，上海市政府加大监管力度，投放大量财力用于苏州河的治理，并对沿岸工厂的污水排放量实行监控．通过实践表明，若每天有吨污水排入苏州河，则每吨需要元来进行污水处理，并且每减少吨污水排放，每吨的污水处理费可以减少元，为了使每天的污水处理费用为万元，则沿岸的工厂每天的污水排放量是多少吨？
25. 2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出口贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率．
26. 为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2019年年底的藏书量为5万册，2021年年底的藏书量为7.2万册.
(1)求该校这两年藏书的年均增长率；
(2)假设2022年该校藏书的年均增长率与前两年相同，请你预测到2022年年底该校的藏书量是多少？
27. 阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如＝＝．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)将多项式变形为的形式；
(2)当x，y分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
(3)若，，则m与n的大小关系是______．
28. 已知是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)求的取值范围；
(2)已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
(3)阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．
29. 某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．

(1)分别求出y与x，W与x的函数解析式；
(2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价；
(3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？
30. 用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中////，设窗框的高度为米．
(1)设窗框宽度为米，则______米（用含的代数式表示）；
(2)当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计）A．
B．
C．
D．
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
A．
B．
C．
D．
队员号码
比赛场次
胜场
负场
积分
1
10
8
2
18
2
10
10
0
20
3
8
7
1
15
4
8
6
2
14
5
7
0
7
7