辽宁省大连市滨城高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市滨城高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．函数的导数为( )
A.
B.
C.
D.
2．函数的单调增区间是( )
A.B.C.D.
3．已知是可导函数,且对于恒成立,则( )
A.,
B.,
C.,
D.,
4．在正项等比数列中,为其前n项和,若,,则的值为( )
A.50B.70C.90D.110
5．已知某种零件的尺寸(单位:mm)在内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分布,且,则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为( )
A.1700B.1600C.1400D.600
6．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A.B.C.D.
7．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为( )
A.B.C.D.
8．已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.标准差越大,则反映样本数据的离散程度越小.
B.在回归直线方程中,当解释变量x每增加1个单位时,则预报变量y减少0.8个单位
C.在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合程度越好.
D.对分类变量X和Y来说,它们的随机变量的观测值k越大,“X和Y有关系”的把握程度越小
10．设为等差数列的前n项和，若，，，则( )
A.数列的公差小于0
B.
C.的最小值是
D.使成立的n的最小值是4045
11．甲,乙,丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,记n次传球后球在甲手中的概率为,则( )
A.
B.数列为等比数列
C.
D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种
三、填空题
12．数列,为其前n项和,则__________.
13．已知,则曲线在点处切线方程为__________.
14．已知函数在上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是______.
四、解答题
15．荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；
(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.
16．在数列中,,.
（1）证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
（2）设,若数列的前n项和是,求证:.
17．已知函数.
（1）当时,求函数的单调递减区间;
（2）若函数在上单调,求实数a的取值范围.
18．清明小长假期间,大连市共接待客流322.11万人次,游客接待量与收入达到同期历史峰值,其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查,其中的人只游览东方水城,另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城,记1分,若两项都游览,记2分.视频率为概率,解答下列问题.
（1）从到东港旅游的游客中随机抽取3人,记这3人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望;
（2）从到东港旅游的游客中随机抽取n人,记这n人的合计得分恰为分的概率为,求;
（3）从到东港旅游的游客中随机抽取10人,其中两处景点都去的人数为Y.记两处景点都去的人数为k的概率为,写出的表达式,并求出当k为何值时,最大?
19．已知函数.
（1）当时,求在处的切线方程;
（2）若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;
（3）求证:,.(参考数据:)
参考答案
1．答案：C
解析：.
故选:.
2．答案：B
解析：函数的定义域为R,
,
令,即,解得,
所以函数的单调递增区间为.
故选:B.
3．答案：D
解析：设,,则,
因为,所以,即在R上单调递增,
所以,即,整理得,
,即,整理得,
故选:D.
4．答案：B
解析：设的公比为q,则由,,得,,所以,,故选B.
5．答案：C
解析：因为X服从正态分布,且,
所以该企业生产的该种零件合格的概率,
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为,
故选:C.
6．答案：B
解析：设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，
事件B：表示第2次取到黑球，可得，，
则.
故选：B.
7．答案：B
解析：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A、B、C，
则，，，且A、B、C相互独立，
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件D，
则，
设乙没有达优秀等级为事件E，则，
所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为对任意都有，
所以数列在上是递减数列，
因为对任意都有，
所以数列在上是递增数列，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
9．答案：BC
解析：对于A,标准差越大,则反映样本数据的离散程度越大,故A不正确;
对于B,在回归直线方程中,当解释变量x每增加1个单位时,则预报变量y减少0.8个单位,故B正确;
对于C,在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合程度越好,故C正确;
对于D,对分类变量X和Y来说,它们的随机变量的观测值k越大,“X和Y有关系”的把握程度越大,故D不正确.
故选:.
10．答案：BD
解析：由，得，整理可得，所以等差数列为递增数列，公差大于0，A错误；又，所以，即，所以，，的最小值是，所以B正确，C错误；因为，，所以使成立的n的最小值是4045，D正确.故选BD.
11．答案：ABD
解析：由题意可知,要使得n次传球后球在甲手中,则第次球必定不在甲手中,
所以,,即,
因为,则,所以,,
则数列是以为首项,以为公比的等比数列,故B正确;
则,即,故C错误;
且,故A正确;
若第4次传球后球在甲手中,则第3次传球后球必不在甲手中,
设甲,乙,丙对应a,b,c,
则,
,
,
,
,
,
所以一共有六种情况,故D正确;
故选:ABD
12．答案：2277
解析：
.
故答案为:2277.
13．答案：
解析：,
所以,且,
所以曲线在点处切线方程为,即.
故答案为:.
14．答案：
解析：函数在上存在单调递增区间,
由,则在上有解.
令,因为,所以只需或,
即或,解得.
所以实数b的取值范围是.
故答案为:.
15．答案：(1)
(2)分布列见解析，
解析：(1)因各局比赛的结果相互独立，前3局比赛甲都获胜，
则前3局甲都取胜的概率为.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；
表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，
则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，
则；
表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，
则；
所以X的分布列为
故X的数学期望为.
16．答案：（1）证明见解析;;
（2）证明见解析.
解析：证明:（1）由题设得,又,
所以数列是首项为2,公比为的等比数列,
所以,
（2）由（1）知,
因为对任意,恒成立,
所以,
所以
故成立
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）函数的定义域是,
时,,
当时,,的单调递减区间是,
的单调递减区间是;
（2）,,
由题意当时,恒成立,或恒成立.
若,
则恒成立,
当时,,
即的最大值为0,;
若,,
当时,无最小值,不可能恒成立;
综上.
18．答案：（1）分布列见解析,
（2）
（3）,7
解析：（1）X的可能取值为3,4,5,6,则,
,,,
所以X的分布列为:
数学期望.
（2）由n人的合计得分为分,得其中只有1人两项都游览,则,
设,
则,
两式相减得,
所以.
（3）依题意,,,
设最大,则,即,
整理得,即,解得,而,因此,
所以当时,.
19．答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当时,,,,,
所以求在处的切线方程为:.
（2）,
若函数在上单调递增,
则当,,即对于恒成立,
令,则,则函数在上单调递增,
所以,故.
（3）法一:由（2）可知,当时,在上单调递增,
所以当时,,即,即在上总成立,
令得,,
化简得:,所以,,
累加得,即,,命题成立.
法二:可设数列的前n项和,
当时,,
当时,,时也成立,
所以,
本题即证,以下证明同法一.
法三:(i)当时,左式,右式显然成立;
(ii)假设当不等式成立,即,
那么当时,左式,
证明,即需证,
设,则,,
即只需证,即,
设,,
所以在单调递增,,可知不等式是也成立,
综上可知,不等式对于任意正整数都成立.
X
0
1
2
3
P
X
3
4
5
6
P