山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省大联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．某直线运动的物体从时刻t到的位移为,那么为( )
A.从时刻t到物体的平均速度
B.从时刻t到位移的平均变化率
C.当时刻为时该物体的速度
D.该物体在t时刻的瞬时速度
2．下列求导运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3．函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4．函数(其中)的单调增区间是( )
A.B.C.D.R
5．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
6．随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济和社会效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系,其中为时该放射性同位素的含量.已知时,该放射性同位素的瞬时变化率为,则该放射性同位素衰变至含量为4.5贝克时,所经历的时间为( )
A.20天B.30天C.45天D.60天
7．若点不在函数的图象上,且过点P有三条直线与的图象相切,则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
8．已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则下列结论中正确的个数是( )
①当时,
②函数有3个零点
③的解集为
④,都有
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、多项选择题
9．下列复合函数的导数计算正确的有( )
A.若函数,则
B.若函数,则
C.若函数,则
D.若函数,则
10．函数的定义域为,导函数在内的图象如图所示,则下列命题正确的是( )
A.函数在内一定不存在最小值
B.函数在内只有一个极小值点
C.函数在内有两个极大值点
D.函数在内可能没有零点
11．已知函数,,是其导函数,恒有,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．若,则______.
13．若函数有大于零的极值点,则实数a的取值范围是______.
14．已知则使恒成立的m的范围是______.
四、解答题
15．求下列函数的导数.
(1)(t为常数)；
(2).
16．已知函数.
(1)当时,求函数的单调递减区间;
(2)若函数在上单调,求实数a的取值范围.
17．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间部分是底面半径为r,长度为l的圆柱体,左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元,半球体部分每平方米建造费用为4万元.设该容器的总建造费用为y万元.
(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域;
(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.
18．已知函数.
(1)若,求曲线的斜率等于3的切线方程;
(2)若在区间上恰有两个零点,求a的取值范围.
19．已知定义在上的函数和.
(1)求证:;
(2)设在存在极值点,求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意,直线运动的物体,从时刻t到时,时间的变化量为,而物体的位移为,那么为该物体在t时刻的瞬时速度.故选:D.
2．答案：D
解析：对于A,,A错;对于B,,B错;对于C,,C错;对于D,,D对.故选:D.
3．答案：B
解析：由函数图象可知在上是单调递增,所以,在处切线的倾斜角和在处的倾斜角均为锐角,且在处切线的倾斜角比在处的倾斜角要小,如图,
所以,由于为两点连线的斜率,从图中可得,即.故选:B.
4．答案：B
解析：因为,所以,令,解得,故函数的单调增区间是.故选:B.
5．答案：C
解析：因为,,,所以构造函数.
因为,由,得,由,得,所以在上单调递减.因为,,,且,所以.故选:C.
6．答案：D
解析：由,
得,
因为时,该放射性同位素的瞬时变化率为,
即,解得,
则,
当该放射性同位素含量为4.5微克时,即,
所以,即,所以,解得.故选:D.
7．答案：A
解析：点不在函数的图象上,则,即.
设过点P的直线与的图象相切于,
则切线的斜率,
整理可得,
则问题可转化为有三个零点,,令,可得或,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以当时,有极大值,当时,有极小值,要使有三个零点,只需,即解得,所以实数m的取值范围为.故选:A.
8．答案：C
解析：对于①,当时,,则,因为为奇函数,所以,所以,所以,所以①错误.
对于②,因为是定义在R上的奇函数,所以,当时,由,得,当时,由,得,
所以函数有3个零点,所以②正确.
对于③,当时,由,得,得,当时,由,得,得,所以,
综上,或,所以的解集为,所以③正确.
对于④,当时,由,得,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,取得极小值,且当时,,当时,,
所以;
当时,由,得,所以当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以当时,取得极大值,当时,,当时,,
所以,
所以的值域为,所以,都有,所以④正确.故选:C.
9．答案：ABD
解析：根据复合函数的求导法则,
对于A.,,故A正确;
对于B,,,故B正确;
对于C.,,故C错误;
对于D.,,故D正确.
10．答案：BCD
解析：设的根为,,,且,则由图可知,函数在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,在内单调递减,所以函数在区间内有极小值,当,时,是函数在区间内的最小值,所以A错误,B正确;函数在区间内有极大值,,所以C正确;当,,时,函数在内没有零点,所以D正确.故选BCD.
11．答案：AD
解析：因为,所以,,又,所以,
构造函数,,
则,
所以在上为增函数,
因为,所以,
即,
即,故A正确;
因为,所以,
即,故,故
B错误;
因为,所以,即
,故,故C错误;
因为,所以(1),即1,故,故D正确.故选:AD.
12．答案：
解析：,令,
得,则,故答案为.
13．答案：
解析：,
当时,,此时在R上单调递增,无极值;
当时,令,解得,
当时,,当时,,
所以在)上单调递减,在
上单调递增,
所以函数存在极小值点,
依题意,,解得,
所以,实数a的取值范围是.故答案为:.
14．答案：
解析：因,令,,依题意,,,当时,,求导得,当时,,当时,,
因此在上单调递增,在上单调递减,当时,取得极大值;当时,,求导得,在上单调递减,,于是得函数在上单调递减,,因此,则,所以m的取值范围是.故答案为:.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,可得;
(2)由,
可得.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)函数的定义域是,时,,
当时,,单调递减,
所以的单调递减区间是;
(2),,
由题意,当时,恒成立,或恒成立.若,
则恒成立,
当时,,
即的最大值为0,;
若,则,
但当时,,无最小值,所以不可能恒成立.
综上.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由題意可知,,所以,又圆柱的侧面积为,两端两个半球的表面积之和为,
所以,
又,所以,
所以定义域为.
(2)因为,
所以令,得,令,得,
又定义域为,所以函数在上单调递䧕,在上单调递增,
所以当米时,该容器的建造费用最小,为万元,此时.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,,
则,
设切点为,则,解得或(舍),
,故切点为,
所求切线方程为,即.
(2),,,
令,得,
①当,即时,在上,
在上单调递减,此时在上不可能存在两个零点;
②当,即时,
在上,递减;在上,递增,
则在时取得极小值,
结合零点存在定理,要使在区间上恰有两个点,
得.
则
综上a的取值范围是.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:记,
所以,且仅当时等号成立,
因此在上单调递琙,,故.
(2),则,令,受使在,存在极值点,即有正的变号零点.
令,则,
当时,恒成立,即在上单
调递减,又,所以,在上单调递减,且,所以,不存在变号零点;当时,恒成立,即在上单调递增,又,所以,在上单调递增,且,所以,不存在变号零点;当时,由,得,当时,,即在上单调递减,
又,所以在上,在上单调遂减,且,所以,由(1)知,,所以,取,有,所以,使有变旦零点.综上,t的取值范用为.