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    天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试卷(含答案)

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    天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试卷(含答案)

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    这是一份天津市第四十七中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试卷(含答案),共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.已知复数,则其共轭复数的虚部为( )
    A.B.C.D.
    2.圆锥的轴截面是正三角形,那么它的侧面积是底面积的( )
    A.4倍B.3倍C.倍D.2倍
    3.已知m,n为两条不同的直线,,为两个不同的平面,对于下列四个命题:
    ①,,,;
    ②,;
    ③,,;
    ④,.
    其中正确命题的个数有( )
    A.0个B.1个C.2个D.3个
    4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示,,,,则原平面图形的面积为( )
    A.B.C.D.
    5.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( )
    A.B.C.D.
    6.O为所在平面内一点,且满足,则O是的( )
    A.内心B.外心C.重心D.垂心
    7.以下4个命题,其中正确的命题的个数为( )
    (1)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数;
    (2)在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则是的充分必要条件;
    (3)已知向量,,,若,,则;
    (4)在平面内,A,B,C三点在同一条直线上,点O是平面内一点,若,,则.
    A.0B.1C.2D.3
    8.已知球O为正三棱柱的外接球,正三棱柱的底面边长为1,高为3,则球O的表面积是( )
    A.B.C.D.
    9.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知的面积为S,,,,则的最小值为( )
    A.2B.C.3D.
    二、填空题
    10.设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为_______________.
    11.已知点,,,则在上的投影向量为________.
    12.在中,,,,则________.
    13.已知与为互相垂直的单位向量,,,且与的夹角为钝角,则实数的取值范围是________________.
    三、双空题
    14.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且,,,则球的表面积为_____________,球的体积为___________.
    15.已知在中,,,且的最小值为3,则________,若P为边上任在一点,则的最小值为________.
    四、解答题
    16.已知向量,.
    (1)若,求k的值;
    (2)若.
    ①求与的夹角的余弦值;
    ②求.
    17.如图,在四棱锥中,底面是菱形,M为的中点,N为的中点.
    (1)求证:直线平面;
    (2)过点C,D,M的平面与棱交于点Q,求证:Q是的中点.
    18.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且与共线.
    (1)求B;
    (2)若,且,,求的面积.
    19.如图:在正方体中,M为的中点.
    (1)求三棱锥的体积;
    (2)求证:平面;
    (3)若为的中点,求证:平面平面.
    20.在中,内角的对边分别为,且,.
    (1)求B的大小;
    (2)若,求的面积;
    (3)求的最大值.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:因为.
    所以.
    所以的虚部为.
    故选:A
    2.答案:D
    解析:设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的轴截面是正三角形,所以母线,
    所以:.
    故选:D.
    3.答案:A
    解析:对于①:因为面面平行的判定定理要求m,n相交,若没有,则,可能相交,故①错误;
    对于②:因为线面平行的判定定理要求,若没有,则可能,故②错误;
    对于③:根据线、面位置关系可知://,或m,n异面,故③错误;
    对于④:根据线、面位置关系可知://,或m,n异面,故④错误;
    故选:A.
    4.答案:A
    解析:如图,在直观图中过点A,作交于点E,
    因为,,,
    所以,,即
    将直观图还原为平面图如下:
    则,,,
    所以.
    故选:A.
    5.答案:C
    解析:设正方体的棱长为a,球的半径为R,
    由6a2=4πR2得=,故
    故答案为C.
    6.答案:B
    解析:依题意,,
    ,
    ,
    则,于是,
    所以O是的外心.
    故选:B.
    7.答案:B
    解析:(1)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数;错误,虚轴上的原点所对应的复数不是纯虚数,错误;
    (2)在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c则,故是的充分必要条件,正确;
    (3)已知向量,,,若,,则;错误,当时,满足条件,但结论不成立,错误;
    (4)若O在A,B,C所在直线上不成立,错误;
    故正确的命题个数为1个.
    故选:B.
    8.答案:B
    解析:设三棱柱的高为h,底边边长为a.设球O的半径为R,
    则三棱柱底面三角形的外接圆半径r满足:,解得:
    由题知,,
    ,
    故球O的表面积为,
    故选:B.
    9.答案:D
    解析:,,
    由正弦定理得,
    ,,


    ,,当且仅当时取等号

    ,.故选D
    10.答案:2
    解析:,
    它为纯虚数,则且,解得.
    故答案为:2.
    11.答案:
    解析:因为,,,
    所以,,
    所以,
    所以在上的投影向量为.
    故答案为:
    12.答案:
    解析:在中,由余弦定理的推论:,
    又.
    故答案为:.
    13.答案:
    解析:不妨令,,
    所以,

    因为与的夹角为钝角,
    所以且与不反向,
    若,则,解得,
    若与共线,则,解得,
    综上可得实数的取值范围是.
    故答案为:.
    14.答案:;
    解析:在中,由,,得,则,
    外接圆半径,设球半径为R,依题意,,
    即,,
    所以球的表面积,体积.
    故答案为:;.
    15.答案:(1);/-3.0625
    解析:因为

    当且仅当时等号成立.
    又因为的最小值为,所以,
    解得,所以.
    如图所示建立直角坐标系,则,,,
    设,.
    所以,
    当且仅当时等号成立,所以的最小值为.
    故答案为:;.
    16.答案:(1)或
    (2)①;②.
    解析:(1)因为,所以或.
    (2)因为
    .
    此时,.
    ①,,.
    所以.
    ②因为,所以.
    17.答案:(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    解析:(1)取的中点E,连接,,
    因为M,N分别为,的中点,
    所以,,
    因为底面是菱形,即,所以,
    又平面,平面,
    所以平面,
    同理可得平面,
    又,,平面,
    所以平面平面,
    又因为平面,
    所以平面;
    (2)因为过点C,D,M的平面与棱交于点Q,
    又,平面,平面,所以平面,
    又平面平面,平面,
    所以,所以,
    所以Q为的中点,即Q与中点E重合,所以Q是的中点.
    18.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)在中,,
    因为向量与向量共线,则,
    由正弦定理可得,
    所以,,
    、,则,所以,,因此,.
    (2),且,,,,
    在中,由余弦定理有,
    即,即,,解得,
    所以,.
    19.答案:(1);
    (2)证明见解析;
    (3)证明见解析.
    解析:(1)正方体中,M为的中点,底面,;
    (2)证明:如图,连接BD,设交AC于点O,O是DB的中点,M是的中点,
    ,且平面,平面,
    平面;
    (3)证明:N是的中点,M是的中点,
    四边形为平行四边形,
    ,且平面,平面,
    平面由(1)知平面,且,
    平面平面.
    20.答案:(1);
    (2);
    (3).
    解析:(1)
    由正弦定理得
    .
    (2)由余弦定理得
    (3)由得
    (当且仅当时取等号)
    设,则
    设在区间上递增

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