云南省下关第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份云南省下关第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,则z的实部与虚部之和为( )
A.-1B.2C.1D.-2
2．设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．下列函数中,在区间上单调递减的是( )
A.B.C.D.
4．已知,,,则向量在向量方向上的投影向量是( )
A.B.C.D.
5．已知是奇函数,则( )
A.-1B.-2C.2D.3
6．已知某圆锥的底面半径为2,体积为,则该圆锥的母线长为( )
A.5B.C.1D.2
7．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则( )
A.B.C.2D.-2
8．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动tmin后距离地面的高度为Hm,如图以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系,在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式为( )
A.,
B.,
C.,
D.,
二、多项选择题
9．已知梯形,按照斜二测画法画出它的直观图,如图,其中,,,下列说法正确的有( )
A.线段平行于x轴B.
C.梯形是直角梯形D.梯形的面积是3
10．下列结论正确的是( )
A.圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B.长方体是直四棱柱,直四棱柱也是长方体
C.用一个平面截圆锥,必得到一个圆锥和一个圆台
D.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
11．下列命题中,正确的有( )
A.的最小值是4
B.“”是“”的充分不必要条件
C.若,则
D.函数（且）的图象恒过定点
12．已知函数是定义在R上的奇函数,是偶函数,当,,则下列说法中正确的有( )
A.函数的图象关于直线对称B.4是函数的周期
C.D.方程恰有4个不同的根
三、填空题
13．已知,且,则_____________.
14．某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形,则该圆柱底面的半径为____________.
15．正方体的12条棱中,与异面的棱有____________条.
16．已知（且）,则_________.（结果用a表示）
四、解答题
17．已知向量,.
（1）若与共线,求的值;
（2）若与垂直,求的值.
18．已知函数.
（1）把化为的形式,并求的最小正周期;
（2）求的单调递增区间.
19．如图,在正方体中,E是的中点.
（1）求证：平面;
（2）设正方体的棱长为1,求三棱锥的体积．
20．在中, 角A,B, C的对边分别为a, b, c,已知.
(1)求角A;
(2)若,,D为的中点, 求的长度.
21．已知函数,.
（1）若在R上恒成立,求a的取值范围;
（2）若方程在上有两个解,求a的取值范围.
22．设O为坐标原点,定义非零向量的“相伴函数”为,称为函数的“相伴向量”.
（1）设函数,求函数的相伴向量;
（2）记的“相伴函数”为,若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解,求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,的实部为-1,虚部为2,
所以实部与虚部之和为1,
故选：C.
2．答案：A
解析：由,得,
则是的充分不必要条件,
故选：A.
3．答案：C
解析：函数在区间上单调递增,A不是;
幂函数在上单调递增,B不是;
函数在上单调递减,C是;
函数在上单调递增,D不是,
故选：C.
4．答案：D
解析：,,
向量在向量方向上的投影向量为.
故选：D.
5．答案：A
解析：由题意得,即,从而,故选：A.
6．答案：B
解析：设圆锥的高为h,则由圆锥的底面半径为2,体积为,可得,,
故该圆锥的母线长为,
故选:B.
7．答案：D
解析：由余弦定理得.
又因为，所以，
故.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要,
所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周,大约需要,
又因为摩天轮最高点距离地面高度为,
所以时,,
对于A,时,,不符合题意;
对于B,时,,不符合题意;
对于C,时,,不符合题意;
对于D,时,,符合题意;
故选：D.
9．答案：ABC
解析：直观图还原为原图形,是直角梯形,
如图,其中,,,线段平行于x轴,
梯形的面积为,因此正确的选项有ABC,
故选：ABC.
10．答案：AD
解析：对于A：由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱,可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形,故A正确;
对于B：长方体是直四棱柱,直四棱柱不一定是长方体,故B错误;
对于C：用一个平行于底面的平面截圆锥,必得到一个圆锥和一个圆台,故C错误;
对于D：四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体,故D正确,
故选：AD.
11．答案：BD
解析：对于A,当时,（当且仅当时取等号）;
当时,（当且仅当时取等号）,
所以没有最小值,故A错误;
对于B,由,得或,所以“”是“”的充分不必要条件,故B正确;
对于C,当,时,,但,故C错误;
对于D,当时,,所以函数（且）的图象恒过定点,故D正确,
故选：BD.
12．答案：ABD
解析：对于A：因为是偶函数,所以,即,所以关于对称,故A正确;
对于B：因为,所以,所以,即周期,故B正确;
对于C：,,所以,故C错误;
对于D：因为,,且关于直线对称,根据对称性可以作出上的图象,又,根据对称性,可作出上的图象,又的周期,作出的图象与的图象,如图所示：所以与有4个交点,故D正确,
故选：ABD.
13．答案：
解析：由,得,而,因此,所以,故答案为.
14．答案：1
解析：如图,因为圆柱的侧面展开图是面积为的正方形,所以正方形的边长为,
设底面圆的半径为r,则底面圆的周长,得,
故答案为:1.
15．答案：4
解析：如图所示,在正方体的12条棱中与异面的直线有,,,共4条,故答案为:4.
16．答案：
解析：由且知,于是,即,
从而,由于,
因此.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为向量,,
所以,.
又与共线,所以,解得.
（2）,由于与垂直,
所以,解得.
18．答案：（1）
（2）,
解析：（1）,所以最小正周期为.
（2）由,,解得,,
所以的增区间为,.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为在正方体中,,,
所以四边形为平行四边形,所以,
又因为平面,平面,
所以平面.
（2）因为正方体的棱长是1,E是的中点,所以,
三角形ABC的面积,
三棱锥的体积.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理得,
在中,,则有,
,
,又,,,
,又,.
（2）根据余弦定理有,则有,
解得或(舍去),
为的中点,则,
,
.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,,解得,
即a的取值范围为.
（2）,.令,,
设,,,则.
因为,故,,故,
所以,即,
故在上为减函数,同理可证在上单调递增,
（也可直接利用对勾函数性质得出单调性）
而,,,
要使方程在上有两个解,则,
即a的取值范围为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
,
所以函数的相伴向量为.
（2）由题意,的“相伴函数”,
方程为,,
则方程,有四个实数解,
所以,有四个实数解.
令,.
①当,;
②当,.
据此作出的图象：
由图可知,当时,函数与有四个交点,
即实数k的取值范围为.