2024年上海市浦东新区高三上学期期末高考一模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市浦东新区高三上学期期末高考一模数学试卷含详解，共22页。
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1 设全集，则=___________.
2. 若复数（其中表示虚数单位），则____________．
3. 已知事件与事件互斥，且，，则________．
4. 已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量______.
5. 已知是等差数列的前项和，若，则满足的正整数的值为____________．
6. 已知向量，向量，则向量在向量上投影向量为____________．
7. 已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为___________．
8. 在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为____________（结果精确到0.01）．
9. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________．
10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________．
11. 已知曲线 ，曲线 ，若的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则周长的最小值为____________．
12. 已知数列满足，且对任意正整数，关于实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为____________个．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分,否则一律得零分．
13. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则（ ）.
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本方差相同
C. 两组样本数据的样本中位数相同
D. 两组样本数据样本极差相同
15. 已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论：
①在区间上优于；
②当时，在区间上优于．
那么（ ）
A. ①、②均正确B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确D. ①、②均错误
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知函数，其中．
（1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
（2）当时，若关于不等式恒成立，求实数的取值范围．
18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离．
19. 某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．
（1）若，，求休闲步道总长（精确到米）；
（2）若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状．
20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围；
（3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
（3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
浦东新区2023学年度第一学期期末教学质量检测
高三数学试卷
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1. 设全集，则=___________.
【答案】
【分析】根据补集定义直接求解.
【详解】由题全集，所以，
故答案为：.
2. 若复数（其中表示虚数单位），则____________．
【答案】
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合虚部的定义即可求解.
【详解】由题意知，，
复数z的虚部为，所以.
故答案为：
3. 已知事件与事件互斥，且，，则________．
【答案】##
【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】因为随机事件与互斥，且，，
所以.
故答案：.
4. 已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】先求出直线的斜率，再根据垂直关系写出法向量即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，
所以直线的一个方向向量为，
所以直线的一个法向量为，（答案不唯一，只要满足与向量垂直即可）.
故答案为：（答案不唯一）
5. 已知是等差数列的前项和，若，则满足的正整数的值为____________．
【答案】
【分析】由等差数列的通项公式，然后利用等差数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意得等差数列，得，
所以其前项和为，
由，即，解得，（舍），
所以的值为.
故答案为：.
6. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为____________．
【答案】
【分析】根据题意，求得，结合投影向量公式，求得，即可求解.
【详解】由向量，，可得，可得，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
7. 已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为___________．
【答案】
【分析】由题意得到圆锥底面半径与高之间的关系，再根据圆锥的体积公式列方程即可求解.
【详解】圆锥的轴截面图如图所示：
由题意，解得，即圆锥的底面半径为.
故答案为：.
8. 在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为____________（结果精确到0.01）．
【答案】0.25
【分析】由题意先求出事件总数，再求出恰好有一件二等品的事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】从这批产品中抽取3件，则事件总数为，
其中恰好有一件二等品的事件有，
所以恰好有一件二等品的概率为.
故答案为：0.25
9. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________．
【答案】
【分析】把茎叶图的数据从小到大排列，结合百分数的计算方法，即可求解.
【详解】根据茎叶图中的数据从小到大排列为：，
则，所以这组数据的第60百分位数是.
故答案为：.
10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________．
【答案】
【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解.
【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，
则，且，得，
又，所以，
所以，又函数图象过点，
所以，由解得，
故，
所以.
故答案为：
11. 已知曲线 ，曲线 ，若的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则周长的最小值为____________．
【答案】##
【分析】画出图形利用抛物线的定义，圆的定义、三角形三边关系以及注意取等条件即可求解.
【详解】如图所示：
由题意抛物线的焦点、圆的圆心均为，
作直线为抛物线 的准线，作出 ，它为圆的一部分，
其中三点共线且垂直抛物线的准线，同理也三点共线且垂直抛物线的准线，其中，
所以，
在中令，则，即，
从而，等号同时成立当且仅当分别与（或与关于轴的对称点）重合，
所以当分别与重合时，周长有最小值，且最小值为.
故答案为：.
12. 已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为____________个．
【答案】
【分析】先根据题意得到(*)，记满足(*)式的不同实数个数为，再结合二次函数的性质即可逐个求得，，，，，...，再通过观察得到数列的递推公式，再构造等比数列，从而得到它的通项公式，进而即可求解．
【详解】依题意可得，即(*)，
记满足(*)式的不同实数个数为，
将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数，
当时，有一个交点，即有一个根；
当，有2个交点，即有两个不同的根和，且，
当，有2个交点，即有两个不同的根和，
由，则或，即；
则或或，即；
同理可得，，，...
通过观察可得，则，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为，即，，
所以满足(*)式的不同实数个数为，
故满足条件的不同实数的个数为个．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：记满足(*)式不同实数个数为，结合二次函数的性质求得，，，，，...，再观察得到递推公式，再构造等比数列是解答本题的关键．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分,否则一律得零分．
13. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断.
【详解】对A、B：由，不妨设，，则，，故A、B项错误；
对于C：由，所以，故C项错误；
对于D：由，所以，故D项正确.
故选：D.
14. 一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则（ ）.
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本方差相同
C. 两组样本数据的样本中位数相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
【答案】C
【分析】根据平均数，方差，中位数和极差的定义，逐个选项进行判断，可得答案.
【详解】去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据的平均数可能与原数据的平均数不同，新数据的方差变小，数据的中位数不变，数据的极差变小，故C正确.
故选：C
15. 已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【分析】建立如图空间直角坐标系，设，根据正n棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的x坐标，由可得对应的集合，进而得出对应的，即可求解.
【详解】如图，设AB所在的直线为x轴，过点A且与AB垂直的直线为y轴，
过点A且与平面垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，得，设，
则.
因为该几何体为正n棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等.
当时，该几何体为正三棱柱，作出其底面的示意图，如图，
则，所以，
即，共有5个元素；
当时，该几何体为正方体，作出其底面的示意图，如图，
则，所以，
即，共有3个元素；
当时，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图，如图，
则，所以，
即，共有9个元素；
当时，该几何体为正八棱柱，作出其底面的示意图，如图，
则，
所以，
即，共有9个元素；
综上，当时，中的元素数量最少.
故选：B
16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论：
①在区间上优于；
②当时，在区间上优于．
那么（ ）
A. ①、②均正确B. ①正确，②错误
C. ①错误，②正确D. ①、②均错误
【答案】B
【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解.
【详解】①：当时，；当时，，
所以函数图象都经过点，
则直线的方程为，即，
在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，
由图可知，，
即存在使得在区间上恒成立，
所以在区间上优于，故①正确；
②：当时，
在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，
由图可得，，即，
所以直线的方程为，即.
设曲线在处且平行于直线的切线为，
由，，得，解得，
则切点，
所以，即，
取，则，
所以切线位于直线的下方，则当时存在实数使得.
当时，切线l位于直线AB的上方，此时在区间上，
不等式不恒成立，
所以当时，在区间上不一定优于，故②错误；
故选：B
【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查函数的综合性质，主要考查函数不等式恒成立问题和导数的几何意义，考查运算能力，注重培养数形结合的思想，属于难题.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17 已知函数，其中．
（1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），证明见解析
（2）
【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可．
（2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题.
【小问1详解】
函数定义域为R，若是奇函数，则，解得，
此时，，符合题意，
故.
【小问2详解】
当时，，
由，则，当且仅当，即时等号成立，
所以，又不等式恒成立，得，
则实数的取值范围为.
18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】18. 证明见解析
19.
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面的法向量满足，即可证明；
（2）由（1）可得，利用向量法求点面距即可求解.
【小问1详解】
由平面，平面，
得，又，建立如图空间直角坐标系，
则，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以，故，
且平面PBC，即平面；
【小问2详解】
由（1）知，，所以点D到平面的距离为
，
即点D到平面的距离为.
19. 某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道．
（1）若，，求休闲步道总长（精确到米）；
（2）若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理得求得，再由弧长公式，求得的长，进而求得总周长，得到答案.
（2）若选择面积最小：设，得到，在中，由正弦定理，求得，，根据三角形的面积公式，结合三角恒等变换的公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解；
若选择周长最长：由正弦定理，求得，，利用三角恒等变换的公式，化简得到周长为，结合三角函数的饿性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意知，，所以，，
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，又由弧长公式，可得的长，
所以总周长为：.
【小问2详解】
解：若选择面积最小：
设，因为，可得，
由正弦定理知，
所以，
，
所以
，
因为，所以，
所以，当时，即时，面积取得最大值，最大值为，
又因为，
，
所以，.
若选择周长最长：
设，因为，可得，
由正弦定理知，
所以，
，
则的周长为
，
其中，
因为的最大值为，所以的周长的最大值为，
即时，即时，
所以时，
的周长的最大值为.
20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围；
（3）过点分别作双曲线两条渐近线垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2 （2）
（3）不存在满足题意的点P，理由见解析
【分析】（1）根据双曲线的方程直接得出a、b，结合公式和计算即可求解；
（2）易知直线l的斜率不为0，设，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，根据平面向量的坐标表示化简可得，求出的取值范围即可求解；
（3）设，由渐近线方程和点线距公式建立方程，解得，与题意中的矛盾，即可下结论.
【小问1详解】
由题意知，，则，
所以，得，
即双曲线的离心率为2；
小问2详解】
由（1）知，，
若直线l的斜率为0，则直线l与双曲线的两个交点分布在左、右支各一点，不符合题意；
所以直线l的斜率不为0，设，
，消去x，得，
，
，
则，
所以，
又，则，由，得，
所以，有，所以，
即，所以的取值范围为；
【小问3详解】
由题意可知双曲线的渐近线方程为，
即，设，
则点P到直线的距离为，点P到直线的距离为，
所以，
又点P位于直线的上方且直线的下方，所以，
则，解得，
又点P在双曲线上，则，与矛盾，
故不存点P使得.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用设线法得到韦达定理式，再代入计算出由向量得出的式子里，从而得出范围，第三问的关键是根据点与直线的位置关系去绝对值得到方程，解出方程即可.
21. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
（3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
【答案】（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析.
（2）
（3）
【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数；
（2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围；
（3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值.
【小问1详解】
函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
【小问2详解】
由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
【小问3详解】
因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.