2024年上海市杨浦区高三上学期期末高考一模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市杨浦区高三上学期期末高考一模数学试卷含详解，共19页。试卷主要包含了 函数最小值为________等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1. 已知全集为，集合，则的补集可用区间表示为________.
2. 若复数满足（其中为虚数单位），则________.
3 若，则__________．
4. 函数最小值为________.
5. 等差数列中，若，，则的前10项和为________.
6. 若椭圆长轴长为4，则其离心率为________.
7. 已知向量，，则在方向上的投影为________.
8. 甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为________.
9. 已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为________.
10. 函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件数对________.
11. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为________.
12. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nà）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________.
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（ ）
A. 甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定B. 甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
C. 甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定D. 乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定
15. 等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 函数满足：对于任意都有，（常数，）.给出以下两个命题：①无论取何值，函数不是上严格增函数；②当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，则（ ）
A. ①②都正确B. ①正确②不正确C. ①不正确②正确D. ①②都不正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.
（1）求证：平面平面；
（2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
18. 设函数，.
（1）求方程的实数解；
（2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
19. 某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.
（1）挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
（2）小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.
20. 已知双曲线，是双曲线上一点.
（1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；
（2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；
（3）当直线：（常数）与双曲线左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值.
21. 设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列；
（3）当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由.
杨浦区2023学年度第一学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1. 已知全集为，集合，则的补集可用区间表示为________.
【答案】
【分析】根据补集的概念直接求解出结果.
【详解】因为全集为，集合，
所以，
故答案为：.
2. 若复数满足（其中为虚数单位），则________.
【答案】
【分析】计算，再计算模长得到答案.
【详解】，则，故.
故答案为：
3. 若，则__________．
【答案】
【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.
【详解】.
故答案为：.
4. 函数的最小值为________.
【答案】
【分析】将函数写成分段函数形式，再结合分段函数的单调性，可得最小值.
【详解】由已知，
所以当时，函数单调递减，且，
当时，函数单调递增，且，
当时，，
所以函数的最小值为，
故答案为：.
5. 等差数列中，若，，则的前10项和为________.
【答案】
【分析】根据等差数列公式得到，再求和即可.
详解】等差数列，，，解得，
故，则的前10项和为.
故答案为：.
6. 若椭圆长轴长为4，则其离心率为________.
【答案】##
【分析】根据长轴长确定，计算，得到离心率.
【详解】椭圆长轴长为4，即，，，
故.
故答案为：.
7. 已知向量，，则在方向上的投影为________.
【答案】
【分析】直接利用向量的投影公式计算即可.
【详解】向量，，
则在方向上的投影为.
故答案为：
8. 甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为________.
【答案】##
【分析】利用独立事件的乘法公式分别求出“仅有一人命中目标”的概率和“两人同时命中目标”的概率，即可得出结果.
【详解】根据题意可知“至少一人命中目标”包括“仅有一人命中目标”和“两人同时命中目标”两个基本事件；
可得“仅有一人命中目标”的概率为；
“两人同时命中目标”的概率为；
所以至少一人命中目标的概率为.
故答案为：
9. 已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为________.
【答案】
【分析】由题得,，根据组合数公式和基本不等式即可求解.
【详解】,
=,
因，所以，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，
故答案为：.
10. 函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对________.
【答案】
【分析】由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案.
【详解】当时，在上必有增有减，不合题意，
故，此时，常值函数，由其图像关于原点对称，
所以，所以或，故满足条件的数对为，
故答案为：.
11. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为________.
【答案】
【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
又因为，所以，
因为都在第一象限，所以，
又因为且，
所以，所以，所以抛物线方程为，
故答案为：.
12. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nà）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________.
【答案】
【分析】先以平面为基准，在平面内取三点，然后判断一次一共可以确定多少个“鳖（biē）臑（nà）”，然后类比推理，将重复计算的舍去即可.
【详解】（1） （2）
（3） （4）
如图以平面为基准，在平面内取三点，显然（1）（2）合题意，（3）（4）不合题意，同理，将换成，，，各能找到两个“鳖（biē）臑（nà）”，所以当三点确定在一个平面上时，可以确定8个“鳖（biē）臑（nà）”，共有6个面，所以可确定个“鳖（biē）臑（nà）”.但上图（1）在以平面为基准时又被算了一次，图（2）在以平面为基准时又被算了一次，所以每一种情况都被重复计算了一次，故共能确定个“鳖（biē）臑（nà）”.
故答案为：.
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据函数的性质判断即可.
【详解】因为,是定义在上的偶函数，
所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意；
因为是定义在上单调递增的奇函数，
所以当实数满足时，则，故符合题意；
因为在上单调递减，
所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意.
故选：.
【点睛】判断不等式恒成立问题，方法有以下几种：1、可借助函数的单调性判断；2、可带特殊值说明不等式不成立；3、根据不等式关性质判断；4、作差比较大小；5、作商比较大小.对于选择题我们一般采用排除法.
14. 在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（ ）
A. 甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定B. 甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
C. 甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定D. 乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定
【答案】B
【分析】分别计算甲乙的平均值和方差，对比得到答案.
【详解】甲的平均值为：，
甲的方差为：
乙的平均值为：，
乙的方差为：.
故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定
故选：B
15. 等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】求出的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解.
【详解】
所以是以为首项，为公差的等差数列，
若当且仅当时，的前项和取得最大值，
所以
即，，
故选：C.
16. 函数满足：对于任意都有，（常数，）.给出以下两个命题：①无论取何值，函数不是上的严格增函数；②当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，则（ ）
A. ①②都正确B. ①正确②不正确C. ①不正确②正确D. ①②都不正确
【答案】A
【分析】对于①，由题得，然后反证法推出矛盾即可；对于②令，然后根据分别得出，判断为正确.
【详解】对于①：由题得，若函数是上的严格增函数，因为，，则当时，，当时，，均与矛盾，所以无论取何值，函数不是上的严格增函数，故①正确；
对于②：因为对于任意都有，令，当时，，且，
当时，，且，
当时，，且
，
以此类推，故当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，故②正确，
故选：A.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.
（1）求证：平面平面；
（2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）先证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；
（2）利用等体积法求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，
因为底面是正方形，所以，
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
因为四棱锥的体积为，
所以，解得，
又平面，所以，
所以，,
所以正三角形面积为，
设点到平面的距离为，
则由可得：，
即，解得.
即点到平面的距离为.
18. 设函数，.
（1）求方程的实数解；
（2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）转化为关于一元二次方程求解即可；
（2）分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解.
【小问1详解】
由知，方程为，
即，
解得，即.
【小问2详解】
不等式即，
原不等式可化为对于一切都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
故当时，，
所以.
19. 某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.
（1）挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
（2）小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.
【答案】（1）①平方米②平方米
（2）03米
【分析】（1）分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解；
（2）根据正弦定理求出，再由三角恒等变换求最大值即可得解.
【小问1详解】
①其为直线段且时， 米，
所以在中，，即（米）.
所以（平方米）；
②其为以为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米），
圆心角，所以圆弧的长，
所以（平方米）
【小问2详解】
由题意，，，
由正弦定理可得：，
即
，其中，
当，即时，（米）.
即有效遮挡区域高的最大值为米.
20. 已知双曲线，是双曲线上一点.
（1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；
（2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；
（3）当直线：（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）先确定双曲线的顶点坐标，由此求解出的值，结合的值可求，则椭圆方程可求；
（2）先设出点坐标，然后表示出点坐标，将点坐标代入双曲线可求坐标，计算出以及到的距离则可求；
（3）设出坐标，联立直线与双曲线得到对应韦达定理形式，然后将表示为坐标形式，结合韦达定理完成证明.
【小问1详解】
因为双曲线的方程为，所以双曲线的左右顶点为，
设椭圆方程为，所以，
所以，所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
因为双曲线的渐近线方程为，不妨设，
又，所以，所以，
又因为是双曲线上一点，所以，解得，
所以，所以，
又到直线的距离，
所以；
【小问3详解】
设，
联立可得，
所以，，
且，即，
又因为为左支上两点，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以为定值.
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆与双曲线性质的综合运用，其中涉及共焦点问题、三角形面积问题以及定值问题，难度较大.解答本题第三问定值问题的关键在于：利用联立思想得到的坐标的韦达定理形式去化简.
21. 设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列；
（3）当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由.
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）见解析 （3）存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是
【分析】（1）利用奇偶性的定义即可判定；
（2）反证法，假设假设数列是等差数列，公差为，然后结合等差数列的性质推出矛盾；
（3）根据递推关系得到与的关系，讨论公比与的大小关系，然后根据等比数列的性质即可得出答案.
【小问1详解】
任取，都有，
因此函数是奇函数．
【小问2详解】
反证法：假设数列是等差数列，公差为，
由数列是严格增数列可知．
因为，所以，即非零常数
因为，
所以（其中是正整数）．
因为，，所以．方程无解，矛盾．
假设不成立，即当时，数列不是等差数列．
【小问3详解】
若数列是等比数列，则其各项均非零，设其公比为
由 得 ，即．
考虑方程，均为该方程（记为①）的解．
由函数的值域为可知，即，
所以．若，则当充分大时（时），
，这与矛盾，从而不合题意．
若，函数在是严格增函数
由时，可知函数当时，均有，
因此函数的零点（即方程①的解）的绝对值均大于1，即．
但若，由，则当充分大时（时），
将有，这与矛盾，从而不合题意．
综上，只能有．此时方程①为，
记．因为，
所以存在，使是方程①的解．
进而由函数是奇函数，也是方程①的解．因此只需取
其中是正整数即可.
综合上述，存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是．