2024年上海市徐汇区高三上学期期末高考一模数学试卷 含详解

这是一份2024年上海市徐汇区高三上学期期末高考一模数学试卷 含详解，共23页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。

2023.12
考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分．
2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息．
3．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．
4． 用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 已知全集，集合，则________________．
2. 不等式的解集为________．
3. 已知直线经过点，则直线倾斜角大小为___．
4. 若实数满足，则最小值为______________．
5. 某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为__．
6. 函数的零点是______________．
7. 已知，则___________.
8. 要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________．
9. 在中，，为边上的点，且，设，则=___________．
10. 某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过___米．
11. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为__ ．
12. 已知函数，其中，存在实数 使得 成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
14. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差
15. 已知集合，若对于任意，总存在与之相应（其中），使得成立，则称集合是“集合”． 下列选项为“集合”的是（ ）
A. B.
C D.
16. 已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①､②都是真命题D. ①､②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和．
18. 如图，某多面体的底面为正方形， ∥，，，，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
19. 2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米．
（1）将表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．
20. 已知双曲线的离心率为．
（1）若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
（2）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
（3）设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．
21. 若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
（1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
（2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
（3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
2023学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学 试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 已知全集，集合，则________________．
【答案】
【分析】根据补集的定义直接进行运算即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
2. 不等式的解集为________．
【答案】
【分析】由题设可得，利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】由题设，，
∴，解得，
∴解集为.
故答案为：
3. 已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为___．
【答案】
【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小.
【详解】由直线经过点，可得，解之得，
设直线倾斜角为，则，
又，则
则直线倾斜角的大小为
故答案为：
4. 若实数满足，则的最小值为______________．
【答案】
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由，
当且仅当时取得最小值，即的最小值为2.
故答案为：2
5. 某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为__．
【答案】
【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数.
【详解】图中成绩低于60分的频率为，
则该校成绩低于60分的学生人数为（人）
故答案为：
6. 函数的零点是______________．
【答案】##0.5
【分析】利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为.
，令可得，解得或（舍），
故答案为：.
7. 已知，则___________.
【答案】
【分析】令，利用赋值法可得出，即可得解.
【详解】令，
则，
因此，.
故答案为：.
8. 要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是___________．
【答案】
【分析】先排第一节，再利用插空法计算即可.
【详解】先排第一节有种排法，
再在其后排语数英中除第一节外的两科目，有种不同排列,
并形成3个空排艺术、体育两门科目，有种排法，
故不同的排课方法有种方法.
故答案为：24.
9. 在中，，为边上的点，且，设，则=___________．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标表示即可求解.
【详解】
根据题意，分别为线段的八分点，四分点，二分点，
以为坐标原点，所在直线为轴建立坐标系，设，
则，
，
所以.
故答案为：.
10. 某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道．若该设备水平截面矩形的宽为米，则该设备能水平通过直角型过道的长不超过___米．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用直线的方程求得设备的长的表达式，再利用均值定理求得的最小值，进而得到该设备能水平通过直角型过道时不超过的值.
【详解】分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系如图，
则，令，
则直线的方程为，
则在直线的上方，且到直线的距离为1，
即， 则，
整理得，
设，则，
则可化为，
令，则，则
,
由，得，
又在上单调递增，
则，
则（当且仅当时等号成立）
则该设备能水平通过直角型过道的长不超过米
故答案为：
11. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则实数的最大值为__ ．
【答案】2
【分析】先求得圆锥内切球半径，进而求得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值.
【详解】圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的高，
设圆锥的内切球半径，
由，可得，
即，解之得，
棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为，
令，解之得.
则实数最大值为2.
故答案为：2
12. 已知函数，其中，存在实数 使得 成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】设，得到，然后分类讨论的范围，解出即可.
【详解】设，
又因为，
所以，
则，
当时，，
则，
显然存在任意正整数使得成立；
当时，，
，
要使得正整数的最大值为8，则
，解得，
当时，，
，
显然存在任意整数使得成立；
当时，，
，
要使得正整数的最大值为8，则
，解得，
综上，则实数的取值范围是.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；
当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，故选B.
考点：复数概念，充要关系
14. 艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差
【答案】A
【分析】
根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.
【详解】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，
其平均数、极差、方差都可能会发生改变，
不变的数字特征数中位数.
故选：A.
【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、极差的概念，属于简单题.
15. 已知集合，若对于任意，总存在与之相应的（其中），使得成立，则称集合是“集合”． 下列选项为“集合”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据新定义，设，化简，即，故,即过原点的直线与曲线相交有两个不同的交点，由图象依次可判断选项.
【详解】根据新定义，设，化简，
得恒成立，
由基本不等式可知，当且仅当时取“=”，
即当时，恒成立，
故,即过原点的直线与曲线相交有两个不同的交点，
A选项：由图可知，过原点的直线与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；
B选项：如图，当过原点的直线斜率小于零时与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；
C选项：如图，当过原点的直线斜率大于1时与曲线相交只有一个交点，故不是“集合”；
D选项：如图，当过原点的直线与曲线相交都有两个不同的交点，故是“集合”；
故选：D.
16. 已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①､②都是真命题D. ①､②都是假命题
【答案】C
【分析】对于①：根据“阶弱减数列”的定义结合充分必要条件分析判断；对于②：分析可得对一切正整数恒成立，分、和三种情况，分析求解.
【详解】对于①：因为，
若该数列为“弱减数列”，
因为，则，
可得，即，
同理可得，所以；
当时，，
所以该数列为“弱减数列”；
综上所述：数列是“阶弱减数列”的充要条件是，故①是真命题；
对于②：因为，显然，
若存在使得数列为“2阶弱减数列”，
则，即，整理得，
所以对一切正整数恒成立，
若，当时，当，则；
当为奇数，；
可知不合题意，所以，
则，
当时，
则，
可得，不合题意；
若，取，则，符合题意；
若，则，则，
取，则，符合题意；
综上所述：存在，使得数列“阶弱减数列”，则．故②是真命题.
故选：C.
点睛】方法点睛：对于新定义问题时，可以通过举例或转化法理解新定义，进而根据新定义分析求解.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用等差数列前项和公式计算，结合，可求得公差，继而可求得通项公式；（2）根据等差等比数列的通项公式及前项和公式进行计算即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
又因为，且，
所以，故．
所以．
【小问2详解】
由（1）可知，，又，所以．
因为，可得，
所以，
．
18. 如图，某多面体的底面为正方形， ∥，，，，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）确定棱锥的底面积和高，利用公式直接求体积；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法解决问题.
【详解】解：（1）因为 ，//，所以，
因为，， 所以平面．
．
（2）因为四边形为正方形，所以，又，．
所以如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，则，即.
令，则，．于是．所以，平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，所以．
所以，二面角的平面角的正弦值为．
19. 2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米．
（1）将表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．
【答案】（1），
（2）
【分析】（1）在中，利用正弦定理表示出，然后可得解析式，注意到即可得的范围；
（2）变形，然后利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为点是弧的中点，
由对称性，知，，
又，，
由正弦定理，得，
．
因，所以，，
所以．
【小问2详解】
由（1）得：，．
因为，
且，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
即当时，三条轨道的总长度最小，此时.
20. 已知双曲线的离心率为．
（1）若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
（2）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
（3）设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．
【答案】20. ；
21. ；
22. .
【分析】（1）根据离心率和双曲线过点列方程组求解可得；
（2）利用点到直线的距离公式求出b，然后由双曲线定义和余弦定理可得；
（3）根据直线与圆相切可得m，k的关系，联立直线和双曲线方程消元，利用韦达定理代入整理即可得关于a，b，c的齐次式，然后可得离心率范围.
【小问1详解】
由，得，
又得，
因为双曲线经过点，有，所以，
所以，双曲线方程为．
【小问2详解】
由已知得，渐近线方程为，焦点坐标为
因为焦点到双曲线的渐近线的距离为，
所以，所以，，
由双曲线定义知，，
．
【小问3详解】
因为直线与圆相切，圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离为，化简得，
又 设，则，即，
则，（*）
联立得，
则，
代入（*），
得
整理得，
将代入，
化简得，则，
又，，得，
则，所以，离心率的取值范围．
【点睛】直线与圆锥曲线综合问题，主要采取设而不求的方法，联立直线和曲线方程消元，利用韦达定理将条件或所求化简整理即可求解.
21. 若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
（1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
（2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
（3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
【答案】（1）不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；
（3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解.
【小问1详解】
不具有“性质”．理由是：，，；
具有“性质”．理由是：，．
【小问2详解】
法一：，则，
由可得对恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，从而恒成立，
即有且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
函数在的极小值点为．
【小问3详解】
令，因为具有“”性质
，
，
（为常数），
法一：
① 若，是以为周期的周期函数；
②若，由，
当时，，这与矛盾，舍去；
③若，由，
当时，，这与矛盾，舍去．
综上，．，所以是周期函数．
法二：
当时，，所以是周期函数．
当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证），
若存在，这．
这与矛盾．
若存在，这．
这与矛盾．
若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去．
综上，．，所以是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.x
+
0
0
+
极大值
极小值
x
+
0
0
+
极大值
极小值