人教版数学七年级下期期末真题必刷压轴题01（原卷版+解析版）

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（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【分析】（1）每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
（2）①根据题意可得小客车辆运的人数大客车辆运的人数，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金即可．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生
根据题意，得，
解得，
，
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．
（2）①由题意得：，
，
、为非负整数，
或或，
租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：（元，
方案二租金：（元，
方案三租金：（元，
，
方案三租金最少，最少租金为3440元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程（组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
2．（2023春•盘山县期末）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800名学生．
（1）求平均每分钟一道正门的一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由．
【分析】（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，根据当同时开启一道正门和两道侧门时，每分钟可以通过280名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，每分钟可以通过200名学生．两个关系列方程组求解．
（2）根据（1）的数据，可以求出拥挤时5分钟四道门可通过的学生人数，与这栋楼学生数比较得出答案．
【解答】解：（1）设一个正门平均每分钟通过名学生，一个侧门平均每分钟通过名学生，
由题意，得
，
解得：．
答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生．
（2）共有学生：，
在拥挤的状态下5分钟通过：，
．
建造的这4道门是符合安全规定．
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是现根据已知列方程组求解，然后计算拥挤时，5分钟内4道门能通过的学生数与现有学生数比较．
3．（2022秋•永州期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求，的值．
（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
【分析】（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出、的值；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨．
【解答】解：（1）根据题意可得，
，
解得，，
即的值是2.2，的值是4.2；
（2）设小王家6月份用水吨，
根据题意知，30吨的水费为：，
，
小王家6月份计划用水超过了30吨
，
解得，
即小王家6月份用水量40吨．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
4．（2023春•围场县期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．
（1）若销售篮圆篮和篮方篮共收入8600元，求的值；
（2）当销售总收入为16760元时，
①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；
②若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求的值．
【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）①设圆篮共包装了篮，则方篮共包装 篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；
②设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于和的方程组，根据为正整数，可以求出的大致范围以及为9的倍数，从而得到的值．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得：，
答：的值为20．
（2）①设圆篮共包装了篮，则方篮共包装 篮，
由题意，得，
解得：，
答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮．
②设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，
则，
解这个关于和的方程组，可得：
，
为正整数，
，且应为9的倍数，
解得：，
又，
的值为9或18．
答：的值为9或18．
【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．
5．（2023春•兖州区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元（吨千米），铁路运价为0.5元（吨千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元．
求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
【分析】（1）设该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨，根据运费每吨每千米的运费运输重量结合这次运输共支出公路运输费960元、铁路运输费1900元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润销售收入成本运费，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨，
根据题意得：，
解得：．
答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨．
（2）（元．
答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据利润销售收入成本运费，列式计算．
6．（2023春•新邵县期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．
【分析】（1）设甲组单独工作一天需要元，乙组单独工作一天商店需付元，根据两组合作8天需付3520元，甲组单独做6天，乙组单独做12天，需付费用共3480元，据此列方程组求解；
（2）本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案．
【解答】解：（1）设甲组单独工作一天需要元，乙组单独工作一天商店需付元，
由题意得，，
解得：．
答：甲组单独工作一天需要300元，乙组单独工作一天商店需付140元；
（2）单独请甲组，需费用元，少盈利元，相当于损失6000元；
单独请乙组，需费用元，少盈利元，相当于损失8160元；
甲、乙两个装修组同时施工：（元，少盈利（元，相当于损失5120元；
，
甲、乙两个装修组同时施工更有利于商店经营．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
7．（2023春•永川区期末）小文在甲、乙两家超市发现他看中的篮球的单价相同，书包单价也相同，一个篮球和三个书包的总费用是400元．两个篮球和一个书包的总费用也是400元．
（1）求小文看中的篮球和书包单价各是多少元？
（2）某一天小文上街，恰好赶上商家促销，超市甲所有商品打九折销售，超市乙全场购物满100元返30元购物券（不足100元不返券，购物券全场通用），如果他只能在同一家超市购买他看中的篮球和书包各一个，应选择哪一家超市购买更省钱？
【分析】（1）设篮球的单价为元，书包的单价为元．根据一个篮球和三个书包的总费用是400元，得方程；根据两个篮球和一个书包的总费用是400元，得方程．联立解方程组即可求解；
（2）根据（1）知两件商品单价之和是240元，首先计算超市甲，打九折的价格是216元；再根据超市乙全场购物满100元返30元购物券（不足100元不返券，购物券全场通用），则先拿160元购买篮球，返还30元购物券，再拿50元现金即可购买，共花钱210元．然后比较两个超市的价钱，进行判断．
【解答】解：设篮球的单价为元，书包的单价为元．根据题意得
，
解得．
答：小文看中的篮球单价为160元，书包单价为80元．
（2）在超市甲购买一个篮球与一个书包共需花费现金：（元
在超市乙可先花费现金160元购买篮球，再利用得到的30元返券，加上50元现金购买书包，总计共需花费现金：
（元
因为，
所以在超市乙购买更省钱．
【点评】考查了二元一次方程组的应用．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．同时在（2）中，要理解透彻两个超市的优惠政策．
8．（2023春•黄梅县期末）某服装店用4400元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润售价进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数．
【分析】设种服装购进件，种服装购进件，根据用4400元购进、两种新式服装，按标价售出后获得毛利润2800元，列方程组求解．
【解答】解：设种服装购进件，种服装购进件，
由题意，得，
解得：．
答：种服装购进40件，种服装购进20件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
9．（2023春•兰陵县期末）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
【分析】（1）设需甲车辆，乙车辆列出方程组即可．
（2）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式．
【解答】解：（1）设需甲车辆，乙车辆，根据题意得
，
解得．
答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆．
（2）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，由题意得
，
化简得，
即，
、、均为正整数，
只能等于5，从而，，
甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
需运费（元．
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
10．（2023春•蕲春县期末）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据3台型号5台型号的电扇收入1800元，4台型号10台型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．
【解答】解：（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：，
解得：，
，
在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
11．（2022秋•包河区期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位：
（1）列出方程（组，求出图甲中与的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生型板材 64 张，型板材 张；
②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值．
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生型板材和型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的、两种型号板材的张数列出关于、的二元一次方程组，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中与的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个，
则型板材需要个，型板材需要个，
所以，
解得．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出、的值，根据图示列出算式以及关于、的二元一次方程组．
12．（2023春•武城县期末）在“五一”期间，某公司组织员工到扬州瘦西湖旅游，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人．
（1）请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
（2）若该公司有303名员工，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，请帮助旅行社设计租车方案．
②旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
【分析】（1）设甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人，根据租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载180人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载165人，列出方程组解答即可；
（2）①设租甲种客车辆，则租乙种客车辆，根据题意列出不等式解答即可；
②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各辆，辆，辆，列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人，根据题意得，解之得：
答：甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人；
（2）①设租甲种客车辆，则租乙种客车辆，
依题意得，解得
打算同时租甲、乙两种客车，，6，7
有三种租车方案：
方案一：租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆．
方案二：租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；
方案三：租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；
②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车各辆，辆，辆，
根据题意得出：，
整理得出：，
故符合题意的有：，，，
租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程的解等知识，找到相应的关系式是解决问题的关键．
二．一元一次不等式的应用（共8小题）
13．（2023春•梁园区期末）为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元．
（1）求，的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【分析】（1）购买型的价格是万元，购买型的设备万元，根据购买一台型号设备比购买一台型号设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型号设备少3万元，可列方程组求解．
（2）设购买型号设备台，则型为台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，进而得出不等式；
（3）利用每月要求处理污水量不低于1880吨，可列不等式求解．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：；
（2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据题意得，
，
，
取非负整数，
，1，2，3
，9，8，7
有四种购买方案：
①型设备0台，型设备10台；
②型设备1台，型设备9台；
③型设备2台，型设备8台．
④型设备3台，型设备7台；
（3）由题意：，
，
又，
为2，3．
当时，购买资金为（万元），
当时，购买资金为（万元），
为了节约资金，应选购型设备2台，型设备8台．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据购买一台型号设备比购买一台型号设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型号设备少3万元和根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1880吨，等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式求解．
14．（2023春•莒南县期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据3台型号4台型号的电扇收入1200元，5台型号6台型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；
（3）根据种型号电风扇的进价和售价、种型号电风扇的进价和售价以及总利润一台的利润总台数，列出不等式，求出的取值范围，再根据为整数，即可得出答案．
【解答】解：（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：，
是整数，
最大是37，
答：超市最多采购种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意得：
，
解得：，
，且应为整数，
在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台；
当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台．
【点评】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
15．（2023春•抚顺期末）某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价300元，领带每条的定价为50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案：
方案一：购买一套服装赠送一条领带；
方案二：服装和领带均按定价的九折出售．
某商店老板现要到服装厂采购服装30套，领带条，请根据的不同情况，帮助商店老板选择最省钱的方案．
【分析】由于题目结论中没有明确规定客户只能按厂方提供的两种方案中的某一种一次性购买，故在选择时可以不局限于上述两种方案，还可以采用分批购买的方案，即存在着“第三种”隐含方案，用方案（3）表示：先按方案（1）购买20套西装，再按方案（2）购买多于30条的那部分领带，设需付款元，则即显然当时，．令，则，．令，则，．令，则，．因为已知条件中，故应选择方案（3），即先按方案（1）购买20套西装，再按方案（2）购买多于30条的那部分领带的这种方案省．
【解答】解：按优惠方案（1）购买，应付款：（元，
按优惠方案（2）购买，应付款：（元，
设（元，
当时，即且为整数） 时．选方案（1）比方案（2）更省钱，
当时，即时．选两个方案一样省钱，
当时，即且为整数） 时．选方案（2）比方案（1）更省钱，
如果同时选择方案（1）和方案（2），那么为了获得厂方赠送领带的数量最多．同时享有9折优惠，
可考虑设计别的方案（3），就是：
先按（1）方案购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的条领带按优惠方案（2）购买，
应付款：（元．方案（3）与方案（2）比较，显然方案（3）更省钱，
方案（3）与方案（1）比较，当时．解得，即当时．方案（3）比方案（1）更省钱．
综上所述，当时，按方案（3）最省钱．
【点评】本题的关键是要避免直接比较两种方案就得出哪种方案更省钱，而忽略了隐藏的第三种方案．
16．（2023春•淮滨县期末）诚信商店购进甲、乙两种品牌的文具，若购进甲种文具80件，乙种文具40件，共需要800元；若购进甲种文具50件，乙种文具30件，共需要550元．
（1）求诚信商店购进甲、乙两种品牌的文具每件各需要多少元？
（2）若诚信商店准备800元全部用来购进甲、乙两种品牌的文具，计划销售每件甲种文具可获利润4元，销售每件乙种文具可获利润6元，且销售这两种文具的总利润不低于500元，那么诚信商店需要最多购进乙种品牌的文具多少件？
【分析】（1）设甲种品牌文具每个元，乙种品牌文具每个元，根据：①甲种品牌文具80个费用乙种品牌文具40个的费用元，②甲种品牌玩具50个费用乙种品牌玩具30个费用元，列方程组求解即可；
（2）设购进乙种品牌玩具个，则购进甲种品牌玩具（个，根据销售这两种品牌玩具的总利润不低于500元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设甲种品牌文具每个元，乙种品牌文具每个元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲种品牌文具每个5元，乙种品牌文具每个10元．
（2）设购进乙种品牌文具个，则甲种文具（个，
根据题意，得：，
解得：，
是正整数，
的最大值为70，
答：诚信商店需要最多购进乙种品牌文具70个．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
17．（2023春•巴彦淖尔期末）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．我市腾飞商场抓住商机，从厂家购进了、两种型号家用净水器共100台，型号家用净水器进价是150元台，型号家用净水器进价是250元台，购进两种型号的家用净水器共用去19000元．
（1）求、两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台型号家用净水器的毛利润是型号的2倍，且保证售完这100台家用净水器的毛利润不低于5600元，求每台型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润售价进价）
【分析】（1）设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，根据“购进了、两种型号家用净水器共160台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．”列出方程组解答即可；
（2）设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设种型号家用净水器购进了台，种型号家用净水器购进了台，
由题意得，
解得：，
答：种型号家用净水器购进了60台，种型号家用净水器购进了40台；
（2）设每台型号家用净水器的毛利润是元，则每台型号家用净水器的毛利润是元，
由题意得：，
解得：，
（元．
答：每台型号家用净水器的售价至少是190元．
【点评】此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
18．（2023春•卢龙县期末）某商场计划购进、两种商品，若购进种商品20件和种商品15件需380元；若购进种商品15件和种商品10件需280元．
（1）求、两种商品的进价分别是多少元？
（2）若购进、两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进种商品多少件？
【分析】（1）设两种商品的进价是元，两种商品的进价是元，根据题意列方程组即可得到结论
（2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设商品的进价是元，商品的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：商品的进价是16元，商品的进价是4元；
（2）设购进种商品件，则购进种商品件，
根据题意得：，
解得：，为整数，
的最大整数解为41，
最多能购进种商品41件
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
19．（2023春•鸡西期末）为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台型设备比购买3台型设备少6万元．
（1）求，的值．
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据“购买一台型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台型设备比购买3台型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解；
（2）可设购买污水处理设备型设备台，型设备台，则有，解之确定的值，即可确定方案；
（3）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有，解之即可由的值确定方案，然后进行比较，作出选择．
【解答】解：（1）根据题意得：，
；
（2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，
则：，
，
取非负整数，
，1，2，
有三种购买方案：
①型设备0台，型设备10台；
②型设备1台，型设备9台；
③型设备2台，型设备8台．
（3）由题意：，
，
又，取非负整数，
为1，2．
当时，购买资金为：（万元），
当时，购买资金为：（万元），
为了节约资金，应选购型设备1台，型设备9台．
【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．
20．（2023春•围场县期末）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？
【分析】（1）根据题意列出不等式，进行求解，确定购买方案．
（2）进行分类讨论，将每种方案的日租金求出，若日租金不低于1500元，即符合要求．
【解答】解：（1）设轿车要购买辆，那么面包车要购买辆，由题意得：
，解得：
又，则，4，5
购车方案有三种：
方案一：轿车3辆，面包车7辆；
方案二：轿车4辆，面包车6辆；
方案三：轿车5辆，面包车5辆．
（2）方案一的日租金为：（元
方案二的日租金为：（元
方案三的日租金为：（元
答：为保证日租金不低于1500元，应选择方案三．
【点评】本题考查不等式的应用，在解题过程中要用到分类讨论的方法．
三．解一元一次不等式组（共3小题）
21．（2023春•郾城区期末）已知关于、的方程组的解满足，．
（1）用含的代数式分别表示和；
（2）求的取值范围；
（3）在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？
【分析】（1）首先对方程组进行化简即可求得含的表示和得代数式；
（2）根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出的范围，然后求得的值；
（3）根据不等式的解集为，求出的取值范围，即可解答．
【解答】解：（1），
①②得，
所以，；
①②得，
所以，，
故含的代数式分别表示和为；
（2），
，
解，得；
（3），
原不等式的解集是，
，
，
又
，
为整数，
．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．
22．（2023春•石嘴山校级期末）已知方程组中为非正数，为负数．
（1）求的取值范围；
（2）在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为．
【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可；
（2）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案．
【解答】解：（1）解方程组得：，
方程组中为非正数，为负数，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2），
，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
，为整数，
，
所以当为时，不等式的解集为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
23．（2023春•淅川县期末）先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【分析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”
有①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
所以一元二次不等式的解集是或；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”
有①或②，
解不等式组①得：，
解不等式组②无解，
所以不等式的解集是．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．
四．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
24．（2023春•东湖区校级期末）若一个不等式（组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组对于不等式（组中点包含．
（1）已知关于的不等式组，以及不等式，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组和不等式组，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组和不等式组，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围．
【分析】（1）先求不等式组的解集，然后求得的中点值，最后判断；
（2）先求不等式组的解集和不等式组的解集，然后求得的中点值，最后根据定义求得的取值范围；
（3）先求不等式组和的解集，再求得中点值，然后根据定义得到和不等式，最后通过的条件求出的取值范围．
【解答】解：（1）不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含；
（2）对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组，得，
不等式组，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元吨
单价：元吨
17吨及以下
0.80
超过17吨不超过30吨的部分
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
类型价格
型
型
进价（元件）
60
100
标价（元件）
100
160
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨辆）
5
8
10
汽车运费（元辆）
400
500
600
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
型
型
价格（万元台）
处理污水量（吨月）
220
180
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
型
型
价格（万元台）
处理污水量（吨月）
240
200